LMS算法的穩(wěn)定性分析和算法收斂條件

1、通過維納 ,以及再，這個維納 ,LMS算法以遞歸7 t其中k 為梯度矢量，此時的E e(n )2LMS算法的穩(wěn)定性分析和算法收斂條件1最小均方法LMS簡介LMS ( Least Mean Square算法是 Widrow和Hof于1960年首次提出的，目前 仍然是實際中使用的最廣泛的一種算法。LMS算法是在最陡下降法的基礎(chǔ)上實現(xiàn)的，它是維納濾波和最速下降算法互相結(jié)合而生成的一種新的算法。 濾波所求解的維納解，.必須在已知輸入信號與期望信號的先驗統(tǒng)計信息 對輸入信號的自相關(guān)矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算的情況下才能得以確定。因此 解僅僅是理論上的一種最優(yōu)解。但是通過借助于最速下降算法 的方式來逼近這個維納解，

2、從而避免了矩陣求逆運(yùn)算。2LMS算法的導(dǎo)出在LMS算法中用瞬時誤差的平方來代替均方誤差是 LMS算法最主要的思想，以瞬 時誤差信號平方的梯度作為均方誤差函數(shù)梯度的估計。在最陡下降法中其維納解方程如下(1-1)w (k + 1) = w (k)-同時又可以求得點(diǎn)e2(n)c we2(n)=2e(n) %(n)= -2e(n)x(n)(1-3)此時取性能函數(shù)二e2(n)來代替之前的性能函數(shù), 則新的維納方程變?yōu)槿缦滦问?1-2)w(n 十 1) = w(n) - r e2(n)所以LMS算法的權(quán)值更新方程可寫成下式w (n + 1)= w (n) + Ae(n)x(n)(1-4)為了了解LMS算法

3、與最速下降法所得到的權(quán)矢量之間的關(guān)系，需要重寫LMS算法 的遞推公式，因為e(n) = d(n) xT(n)w(n)代入LMS算法的權(quán)值更新方程可得w(n + 1) = w(n) + u(n )(d( n) - xT (n)w( n) x(n)即 w(n +1) =(1 - ux( n)xT (n)w(n) + ux(n)d(n)對上式求均值，又因為 w (n)和X (n)不相關(guān)，所以Ew(n + 1) = (I -uEx(n)xT(n)Ew(n) + uEx(n)d(n)(1-5)其中互相關(guān)矢量p = Ex(n)d (n) = p2,，p自相關(guān)矩陣R = E Lx( n )x T (n )把

4、P和R代入1-5式可得E w (n + 1) = (I - uR ) E w (n)中 uP( 1-6)由式1-6可知LMS算法的權(quán)矢量的平均值 Ew(n)的變化規(guī)律和最速下降法的權(quán) 矢量w(n)完全一樣。最速下降法根據(jù)確定性軌跡沿著誤差性能曲面計算權(quán)向量 w(n),最后終止于維納解wO。而在LMS算法中，由于每步迭代過程中梯度估值是帶 噪的，因而權(quán)值運(yùn)動軌跡并不是嚴(yán)格的與真正梯度方向一致。因此LMS算法的解不是終止于維納解。3 LMS算法的性能指標(biāo)及性能分析收斂性收斂性，即當(dāng)n趨于無窮大時，讓濾波器權(quán)矢量處于某個最優(yōu)值或者在它的一個 鄰域范圍內(nèi)而不是越來越遠(yuǎn)，也就是讓w(n)趨于w0所需滿足

5、的收斂條件。對任 意自適應(yīng)濾波系統(tǒng)，收斂性是實現(xiàn)其自適應(yīng)功能的根本保證。類似于最速下降法，定義權(quán)值誤差矢量v(n)=w0-w(n),并利用P=Rwo ,則將式(1-6)寫成v(n)的表達(dá)式為(2-1)(2-2)Ev(n + 1) = (I - uR )Ev(n)當(dāng)R為實數(shù)陣時有R = Q 2，代入上式可得Ev (n + 1) = Q(l - uA )Qt Ev( n)定義正交變換v(n) = QTv( n)則式2-2可變?yōu)镋v(n + 1) = (I - rn )Ev(n)(2-3)假設(shè)v(n)有初始值v(0)，則式2-3可寫為Ev(n) = (I - uA)nv(O)與最速下降法的收斂條件類似，要使LMS算法的收斂于均值，則要滿足(2-4)c2吒1可解的取值得步長U范圍是0 u V(2-5)其中幾max是相關(guān)矩陣R的最大特征值。當(dāng)?shù)螖?shù)波器系數(shù)矢量w(n)近似等于最佳維納解W0。LMS算法的收斂速度是濾波器權(quán)矢量 w(n)從初始值w(0)向最優(yōu)解w。收斂的 快慢，它是衡量LMS算法的一個重要指標(biāo)。由此我們可以看出，濾波器權(quán)系數(shù)對 濾波器的最優(yōu)解wo的偏差是呈指數(shù)衰減的。只要