相似專題精講

1、1、 專題精講 相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一線三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（6） 雙垂型： 2、 相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。 8字型拓展共享性 一線三等角的變形 一線三直角的變形二、專題過關(guān)題型1：母子型相似三角形1、已知：如圖，ABC中，點(diǎn)E在中線AD上, 求證：（1）； （2） ACDEB2、 已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜

2、邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDAB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且EPD=A設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，BEP的面積為y（1）求證：AE=2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)BEP與ABC相似時(shí)，求BEP的面積ACBPDE題型2：雙垂型1、如圖，在ABC中，A=60°，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED分析：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形互為相似三角形,兩邊對(duì)應(yīng)成比例,夾角相等的兩個(gè)三角形互為相似三角形根據(jù)此可進(jìn)行證明題型3：共享型相似三角形1、已知：如圖，在RtABC中，A

3、B=AC，DAE=45°求證：（1）ABEACD； （2）題型4：一線三等角型相似三角形1、如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE CADBEF2、（1）在中，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線段上（如圖），且，求線段的長(zhǎng)；若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABCPQABC備用圖ABC備用圖（2） 正方形的邊長(zhǎng)為（如下圖），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，求出線段的長(zhǎng).ABCDABCDABCD3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，

4、且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長(zhǎng)CDABP（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)題型5：一線三直角型1、在直角三角形ABC中，是AB邊上的一點(diǎn)，E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（與A,C不重合），與射線BC相交于點(diǎn)F.(1)、當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：(2)、當(dāng)，求的值（3）、當(dāng)，設(shè),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域1、 能力提升 1、如圖

5、，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BD交CE于點(diǎn)G，連接BE下列結(jié)論中：CE=BD； ADC是等腰直角三角形；ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正確的結(jié)論有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)。分析：利用SAS證明BADCAE，可得到CE=BD，利用平行四邊形的性質(zhì)可得AE=CD，再結(jié)合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形；利用SAS證明BAEBAD可得到ADB=AEB；利用得出GFD=AFE，以及GDF+

6、GFD=90°，進(jìn)而得出CGDEAF，得出比例式解答：解：BAC=DAE=90°，BAC+DAC=DAE+DAC，即：BAD=CAE，ABC和ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BADCAE（SAS），CE=BD，故正確；四邊形ACDE是平行四邊形，EAD=ADC=90°，AE=CD，ADE都是等腰直角三角形，AE=AD，AD=CD，ADC是等腰直角三角形，正確；ADC是等腰直角三角形，CAD=45°，BAD=90°+45°=135°，EAD=BAC=90°，CAD=45°，BAE=360&

7、#176;90°90°45°=135°，又AB=AB，AD=AE，BAEBAD（SAS），ADB=AEB；故正確；BADCAE，BAEBAD，CAEBAE，BEA=AEC=BDA，AEF+AFE=90°，AFE+BEA=90°，GFD=AFE，GDF+GFD=90°，CGD=90°，F(xiàn)AE=90°，GCD=AEF，CGDEAF，CDAE=EFCG故正確，故正確的有4個(gè)故選D2、如圖，在直角三角形ABC中（C=90°），放置邊長(zhǎng)分別3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為（）A5B6C7D12考點(diǎn)：相似

8、三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。分析：根據(jù)已知條件可以推出CEFOMEPFN然后把它們的直角邊用含x的表達(dá)式表示出來，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可推出x的值解答：解：在RtABC中（C=90°），放置邊長(zhǎng)分別3，4，x的三個(gè)正方形，CEFOMEPFN，OE：PN=OM：PF，EF=x，MO=3，PN=4，OE=x3，PF=x4，（x3）：4=3：（x4），（x3）（x4）=12，x=0（不符合題意，舍去），x=7故選C3、如圖，在平行四邊形ABCD中（ABBC），直線EF經(jīng)過其對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，交BA、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論：AO=BO；OE=OF

9、；EAMEBN；EAOCNO，其中正確的是（）ABCD考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)即可求得AOBO，即可求得錯(cuò)誤；易證AOECOF，即可求得EO=FO；根據(jù)相似三角形的判定即可求得EAMEBN；易證EAOFCO，而FCO和CNO不全等，根據(jù)全等三角形的傳遞性即可判定該選項(xiàng)錯(cuò)誤解答：解：平行四邊形中鄰邊垂直則該平行四邊形為矩形，故本題中ACBD，即AOBO，故錯(cuò)誤；ABCD，E=F，又EOA=FOC，AO=COAOECOF，OE=OF，故正確；ADBC，EAMEBN，故正確；AOECOF，且FCO和CNO，故EAO和

10、CNO不相似，故錯(cuò)誤，即正確故選B4、如圖，四邊形ABCD，M為BC邊的中點(diǎn)若B=AMD=C=45°，AB=8，CD=9，則AD的長(zhǎng)為（）A3B4C5D6考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；勾股定理。分析：由BMD=BMA+AMD=C+CDM，B=AMD=C=45°，可證得ABMMCD，然后由相似等于相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得MC與BM的值，然后延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)E，由勾股定理，即可求得AD的長(zhǎng)解答：解：BMD=BMA+AMD=C+CDM，B=AMD=C=45°，BMA=CDM，ABMMCD，M為BC邊的中點(diǎn)，MC=BM，AB=8，CD=9，B

11、M=MC=6，BC=12，延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)E，B=C=45°，E=90°，BE=CE，BE=CE=12，AE=BEAB=4，DE=CECD=3，在RtAED中，AD=5故選C5、如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分DAE，EFAE，則CF等于（）AB1CD2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；解一元一次方程；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=5，D=B=C=90°，根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)得到DF=EF，由勾股定理求出AE、BE，證ABEECF，得出=，代入求出即可解答：解：四邊形ABCD是矩形，

12、AD=BC=5，D=B=C=90°，AF平分DAE，EFAE，DF=EF，由勾股定理得：AE=AD=5，在ABE中由勾股定理得：BE=3，EC=53=2，BAE+AEB=90°，AEB+FEC=90°，BAE=FEC，ABEECF，=，=，CF=故選C6、在ABC中，AB=6，AC=9，點(diǎn)D在邊AB所在的直線上，且AD=2，過點(diǎn)D作DEBC交邊AC所在直線于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：此題可以分為當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上時(shí)去分析，由DEBC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得CE的長(zhǎng)解答：解：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上

13、時(shí)，AB=6，AC=9，AD=2，BD=ABAD=62=4，DEBC，即：，CE=6；如圖，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AB=6，AC=9，AD=2，BD=AB+AD=6+2=8，DEBC，即：，CE=12；CE的長(zhǎng)為6或12故答案為：6或127、如圖，ABC與AEF中，AB=AE，BC=EF，B=E，AB交EF于D給出下列結(jié)論：AFC=C；DE=CF；ADEFDB；BFD=CAF其中正確的結(jié)論是 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：先根據(jù)已知條件證明AEFABC，從中找出對(duì)應(yīng)角或?qū)?yīng)邊然后根據(jù)角之間的關(guān)系找相似，即可解答解答：解：在ABC與AEF中AB=AE，BC=EF，B=EAEFABC，

14、所以AF=AC，則AFC=C；由B=E，ADE=FDB，可知：ADEFDB；由于EAF=BAC，所以EAD=CAF，由ADEFDB可得EAD=BFD，所以BFD=CAF綜上可知：正確8、如圖，在平行四邊形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，DAE=20°，AED=90°，則B=70度；若=，AD=4厘米，則CF= 厘米考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：由DAE=20°，AED=90°可得B=70°，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得B=D=70°，由CDAB得FECFAB就可得到CF的長(zhǎng)解答：解：DAE=20

15、°，AED=90°B=70°B=D=70°又CDABCE：AB=CF：BF設(shè)CF=xcmCE：AB=x：（4+x）x=2cm9、如圖，在ABC中，D為AC邊上的中點(diǎn)，AEBC，ED交AB于G，交BC延長(zhǎng)線于F若BG：GA=3：1，BC=10，則AE的長(zhǎng)為 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：先根據(jù)平行線分線段成比例求出BF：AE的值，再根據(jù)D是AC的中點(diǎn)得到CF與AE相等，列出等式求解即可解答：解：AEBCAEGBFGBG：GA=3：1=BF：AED為AC邊上的中點(diǎn)AE：CF=1：1AE=CFBF：AE=（CF+BC）：AE=3：1（AE+10）：AE=

16、3：1解得：AE=510、如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于F（1）求證：DCP=DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PABF，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得CD=AD，CDP=ADP，證明CDPADP即可；（2）由菱形的性質(zhì)得CDBA，可證CPDFPB，利用相似比，結(jié)合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可證A為BF的中點(diǎn)，又PABF，從而得出PB=PF，已證PA=CP，把問題轉(zhuǎn)化到RtPAB中，由勾股定理，列方程求解解

17、答：（1）證明：四邊形ABCD為菱形，CD=AD，CDP=ADP，CDPADP，DCP=DAP；（2）解：四邊形ABCD為菱形，CDBA，CD=BA，CPDFPB，=，CD=BF，CP=PF，A為BF的中點(diǎn)，又PABF，PB=PF，由（1）可知，PA=CP，PA=PB，在RtPAB中，PB2=22+（PB）2，解得PB=，則PD=，BD=PB+PD=211、如圖，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰ACD和等腰BCE，CA=CD，CB=CE，ACD與BCE都是銳角且ACD=BCE，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD交于點(diǎn)P，連

18、接PC（1）求證：ACEDCB；（2）請(qǐng)你判斷AMC與DMP的形狀有何關(guān)系并說明理由；（3）求證：APC=BPC考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）證明ACE=DCB，根據(jù)“SAS”證明全等；（2）由（1）得CAM=PDM，又AMC=DMP，所以兩個(gè)三角形相似；（3）由（2）得對(duì)應(yīng)邊成比例，轉(zhuǎn)證AMDCMP，得APC=ADC；同理，BPC=BEC在兩個(gè)等腰三角形中，頂角相等，則底角相等解答：（1）證明：ACD=BCE，ACD+DCE=BCE+DCE，ACE=DCB，又CA=CD，CE=CB，ACEDCB（2）解：AMCDMP理由：ACEDCB，CAE=CDB，又AMC=DMP，AMCDMP（3）證明：分別過C作CHAE垂足為H，C作CGBD垂足為G，ACEDCBAE=BD，又全等三角形的面積相等即SACE=SDCB，所以AE和BD邊上的高相等