函數(shù)的零點問題

1、函數(shù)的零點問題函數(shù)零點問題的求解【教學(xué)目標】知識與技能：1 .理解函數(shù)零點的定義以及函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián)系，掌握用連續(xù)函數(shù)零點定理及函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間與方程的根所在的區(qū)間.2 .結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征，掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間法.3 .能根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的取值范圍.過程與方法：1 .函數(shù)零點反映了函數(shù)和方程的聯(lián)系，函數(shù)零點與方程的根能相互轉(zhuǎn)化，能把方程問題合理轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進行解決.2 .函數(shù)的零點問題的解決涉及到分類討論,數(shù)形結(jié)合,化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.情感、態(tài)度與價值觀：L培養(yǎng)學(xué)生認真、耐心、嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)；

2、3 .讓學(xué)生在自我解決問題的過程中，體驗成功的喜悅.【教學(xué)重點】理解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，形成用函數(shù)觀點處理問題的意識.【教學(xué)難點】根據(jù)函數(shù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)的取值【教學(xué)方法】發(fā)現(xiàn)、合作、講解、演練相結(jié)合.【教學(xué)過程】一、引例（1） .函數(shù)/=八L2的零點所在的一個區(qū)間是A.（T-i）B.（t，。）C（。，】）D.（丫）解法一:代數(shù)解法解：.因為。）“+0-2=-l<0,/（）=e,+l-2=e-l>0,所以函數(shù)2的零點所在的一個區(qū)間是二、基礎(chǔ)知識回顧1 .函數(shù)零點概念對于函數(shù),二/但，把使小卜。的實數(shù)工叫做函數(shù)廣”工）的零點.2 .零點存在性定理：如果函數(shù)k/在區(qū)間,上的圖

3、象是連續(xù)不斷一條曲線,并且有，那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(仙)內(nèi)有零點.即存在ce(a.b卜使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.111問題1：函數(shù)UX)=；，有f(-2)=-2<0，f(2)->0,那么在X22"，21上函數(shù)fX<有零點嗎？問題2：函數(shù)f(x)=x26x+8在區(qū)間0,1,1,5有零點嗎？引例除了用零點基本定理，還有其他方法可以確定函數(shù)零點所在的區(qū)間嗎？解法二：幾何解法(1).f(x尸eX+x-2可化為eX=-X+2.畫出函數(shù)y=ex和y=-x+2的圖象，可觀察得出C正確.12函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系函數(shù)y = F(x)=f

4、(x).g(x崎零點 方程F (x )=f (x)-g(x )=0 有實數(shù)根0函數(shù)丫1=，""2=9")圖像有交點.三、能力提升1.利用函數(shù)圖像求函數(shù)零點問題例1: (1)函數(shù)f(x)=lgx-cosx的零點有 ()A.4 4個 B . 3個20204變式1：若函數(shù)為f(x)=Mx-8sX,則有 個零2525百八、.變式2:若函數(shù)為f(x)=lgx-cosx,則有個零百?八、.解：由f(x)=lgxcosx=0,可化為lgx=cosx,畫出y=lgx和y=8sx的圖像，可得出B正確.Mxlgx-8sx有4個零點，f(x)=lgx-c0sx有6個零點.(2)函數(shù)y=

5、£與y=2s"x的圖像在-2,4有x1個交占,J,交點的橫坐區(qū)之和為3x)1x 681034解：函數(shù)y=(與y=2sin”x的圖像在匚2,4】有8個交點,因為圖像都關(guān)于(1,0)點對稱，故交點的橫坐標之和為4.(3):若關(guān)于x的方程a2x=x+a(a>0)有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍.解1:設(shè)y=a2x，y=x+a,分別畫兩函數(shù)的圖像，兩圖像有兩個不同的交點即方程a2x=x+a有兩個不同的實數(shù)根.丫=才*與丫="a的圖像，當a=1時，在第一象限平行，第二象限有一個交點，當a<1時只有一個交點在第二象限，當a,1時有兩個交點，故a1.解2:設(shè)y=x

6、，y=Jx+a，分別畫兩函數(shù)的圖像,兩圖像有兩個不同的交點即方程a2x=x+a有兩個不同262.利用零點性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍探究：f(x)=x3-6x2十9x+a在x/上有三個零點)求a的取值范圍.解：由f(x)=3x2-12x+9=3(x2_4x+3)=3(x-3)(x-1)得令f(x)A0)得x>3或x<1：fx)<0，得1<x<3f(x)在(1),(3,y)上單調(diào)遞增，在")上單調(diào)遞減二f(x)極大值=f(1)=4+a>0a>Tf(x)極小值=f(3)=aM0.-4：a二0.變式1：方程x3-6x2+9x+a=0在12，4】上有實數(shù)解，

7、求a的取值范圍.78解：由方程x3-6x2+9x+a=0在241上有實數(shù)解，即x3-6x29x由f(x)=x3-6x2+9x的圖像可得：-0<a<4變式2：x3-ax2+9x=0在口4上有實數(shù)解，求a的取值范圍.3解1：由a=1-r2S=x+x，x£2,4)a6,萬.xx變式3：若不等式x3-ax2+9xZ0在叵4】上恒成立，求a的取值范圍.解：轉(zhuǎn)化為a±(x1,3恒成立問題，即xa£(x9)min，x1小得ay961x數(shù)形結(jié)合、等四、課堂小結(jié)解決函數(shù)零點存在的區(qū)間或方程根的個數(shù)問題的主要方法有函數(shù)零點定理和應(yīng)用函數(shù)圖像進行判斷；根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)求解

8、參數(shù)的取值范圍主要有分類討論、價轉(zhuǎn)換等方法，注重導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和畫出函數(shù)的圖像的應(yīng)用可以有效解決和零點相關(guān)的問題.課后練習(xí)：1 .已知函數(shù)y=f(x)的周期為2當xJ-m時"x)=x那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=1gx的圖象的交點共有()A10個B9個C8個D.1個2.已知函數(shù)f(x)弋xC,若方程f(x戶x+a有且f(x-I)(x0)只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()(A)(-8,0(B)(-00,1)(C)0,1(D)0,+川3 .若函數(shù)f(x)=x3-3x+a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A.-2,2B.1-2,21C.-二，-1D.1,二4 .若xi滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x-1)=5,則x1+x2=()(A)52(B)3(C)彳(D)45 .已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x_3_a)如果函數(shù)y=f(x在區(qū)間51上有零點，求a的取值范圍.6 .已知x=3曷函數(shù)f(x)=aln(1x)x2-10x的一個極值百八、(I)求a；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(田)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖像有3個交點，求b的取值范圍.7 .設(shè)a為實數(shù))函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a.(I)求f(x)的極值；(口)當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點.8