圓度誤差的自適應(yīng)測評及應(yīng)用

1、圓度誤差的自適應(yīng)測評及應(yīng)用一、引言圓度誤差是機械零部件的一項重要參數(shù)，目前多在圓度儀上進(jìn)行測評，其標(biāo)準(zhǔn)評定準(zhǔn)則有四種，即最小二乘圓準(zhǔn)則，最小區(qū)域圓準(zhǔn)則，最小外接圓準(zhǔn)則和最大內(nèi)接圓準(zhǔn)則。在老式圓度儀上多在記錄儀記錄下來的輪廓圖上用對板法進(jìn)行估算，不僅估讀困難，而且有時對板極為不易，主觀誤差較大，不能嚴(yán)格按圓度誤差評定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評定?，F(xiàn)代圓度儀都配有數(shù)字計算機，一般由計算機根據(jù)數(shù)字采樣值用優(yōu)化方法進(jìn)行評定。按圓定誤差評定準(zhǔn)則，其目標(biāo)函數(shù)均是非線性的，求解過程屬非線性回歸問題，一般用帶有約束條件的或不帶約束條件的優(yōu)化方法求解，這就涉及到優(yōu)化控制精度問題。工件精度是不確定的，若按誤差大的工件設(shè)置控制精度

2、，則對高精度工件測評，得不到最優(yōu)結(jié)果，評定誤差大；若按高精度件設(shè)置控制精度，則對測試件精度低時，可能導(dǎo)致優(yōu)化過程發(fā)散，優(yōu)化不能成功。因此本文提出一種自適應(yīng)方法，自識別工件精度，自選取最優(yōu)控制值。另一方面，當(dāng)工件呈橢圓狀時，與圓形件的優(yōu)化方法不一致，若用統(tǒng)一的優(yōu)化方法，將使優(yōu)化過程發(fā)散，故需自識別工件形狀，自選取不同的優(yōu)化程序。此外，為滿足不同精度件的測量要求，圓度儀設(shè)有若干精度檔，人工干預(yù)的方法只能選取較大量程的固定檔，不一定是最佳檔位，測量誤差不能保證最小。為此采樣過程自識別工件精度，自切換最優(yōu)檔位，從而得到最優(yōu)數(shù)據(jù)。二、用微機進(jìn)行圓度誤差評定的數(shù)學(xué)方法1.用最小二乘圓準(zhǔn)則評定圓度誤差的數(shù)學(xué)

3、方法最小二乘圓準(zhǔn)則評定方法是四種方法中唯一有明確公式的方法，公式如下：R=（1/n）ria=（2/n）ricosib=（2/n）risinii=ri-R-acosi-bsinif=max-min式中，a，b為最小二乘圓圓心坐標(biāo)；n為總采樣點數(shù)；ri為第i個采樣點至測量中心的徑向距離；i為第i個采樣點至最小二乘圓的徑向距離；f為圓度誤差值。推導(dǎo)過程從略。2.最小區(qū)域圓、最小外接圓和最大內(nèi)切圓準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式最小區(qū)域圓要求包容實際輪廓的兩同心圓半徑之差為最小，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （2）最小外接圓要求和實際輪廓外接的圓為最小，故表達(dá)式為 （3）最大內(nèi)切圓要求和實際輪廓內(nèi)切的圓為最大，故表達(dá)式為 （4）式

4、（2）、（3）中，Rmax、Rmin分別為圓心到實際輪廓最遠(yuǎn)點和最近點的距離，相應(yīng)的坐標(biāo)分別為（xmax、ymax）和（xmin、ymin）。根據(jù)式（2）、（3）可求得各評定準(zhǔn)則下相應(yīng)的圓度誤差值為f=Rmax-Rmin （5）值得注意的是，三種方法的最終表達(dá)式都為式（5），即使對同一工件，幾種方法評定的結(jié)果會有差異，但誤差不會太大。為方便起見，將式（4）加上負(fù)號，則四種評定準(zhǔn)則可統(tǒng)一成求最小值問題，對最小區(qū)域圓準(zhǔn)則、最小外接圓準(zhǔn)則和最大內(nèi)切圓準(zhǔn)則，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)只和圓心坐標(biāo)有關(guān)，故優(yōu)化矢量是二維的： （6）將式（6）分別代入式（2）、（3）可得到三種評定準(zhǔn)則的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為 （7） （8） （

5、9）3.優(yōu)化方法求解上述無約束最小值問題，通常用優(yōu)化方法，諸如單純形法、梯度法等。現(xiàn)以最簡單的梯度法求解式（8）為例說明計算步驟如下：（1）設(shè)定控制精度及hi hi=Hx（i）m（H為控制梯度常數(shù)，i=12）。（2）用式（1）確定圓心初始值x（1）m，x（2）m。（3）由式（8）計算F3m=F3x（1）m，x（2）m。（4）當(dāng)F3m<時，則x（1）m，x（2）m即為式（8）的解.否則計算：（5）計算式中，（6）重復(fù)（3）（5）過程?？梢?，當(dāng)測試件精度較低，設(shè)定過小時，F(xiàn)3m<始終不能成立，使優(yōu)化過程發(fā)散。過大，高精度件得不到最優(yōu)結(jié)果，hi的設(shè)置也會影響到收斂速度。此外，當(dāng)工件為橢圓

6、狀時，優(yōu)化過程也易于發(fā)散。三、自適應(yīng)評定簡要原理1.用最小二乘圓準(zhǔn)則辨識工件精度自動確定最優(yōu)值自適應(yīng)評定簡要原理是自辨識工件精度，據(jù)此自動確定最優(yōu)值和hi，其方法步驟如下：（1）用式（1）計算圓度誤差f和最小二乘圓心作為初始值x（1）m，x（2）m。（2）令=f×k1，hi=k2×f。其中k1、k2為比例常數(shù)，例如可取k1=1%等。（3）設(shè)置計數(shù)變量J<最小值變量fmin，圓心變量a、b，其初值分別為0，1000和最小二乘圓心。其余同前（7）當(dāng)F3m>時，如果F3m<fmin，則令fmin=F3m，a=x（1）m，b=x（2）m，J=J+1；否則J=J-1

7、。若J>50，fmin，a，b即為式（8）最優(yōu)解，再由式（5）即可算出圓度誤差f值。否則重復(fù)上述（3）（5）步及第（7）步。2.用諧波分析和模糊方法自辨識工件形狀實際工件呈現(xiàn)各種形狀，對不同形狀的圓特別是橢圓，用統(tǒng)一的優(yōu)化模式，往往使優(yōu)化過程發(fā)散或得不到最優(yōu)結(jié)果。因此必須建立對徑準(zhǔn)則的橢圓優(yōu)化方法。通過辨識工件形狀，自動選取相應(yīng)的優(yōu)化程序。本研究用下述諧波分析和模糊方法完成工件形狀的辨識。（1）富氏級數(shù)表達(dá)式圓度誤差的一個顯著幾何特征是圓度誤差變化具有“周期性”，因為圓形零件的橫截面的實際輪廓是一個復(fù)雜的封閉曲線輪廓，輪廓上各點徑向誤差的大小不同，而且在圓周的一圈上以2為周期隨機連續(xù)變化

8、，故圓度誤差的周期性可以用富氏級數(shù)表示，在極坐標(biāo)中（也可用直角坐標(biāo)）可表示為（）=r0+aicosi+bisini=r0+cisini（i+i） （10）式中，（）為任一角的向量半徑；ro為富氏級數(shù)常量，在此為平均半徑；ai，bi為富氏系數(shù)；ci為i次諧波振幅，為i次諧波相位，i=arctg（ai/bi）。（2）諧波分量意義i=1，級數(shù)展開中的a1cos+b1sin項決定了平均半徑圓心在極坐標(biāo)中的位置，當(dāng)有偏心存在時，在極坐標(biāo)系中得到的是一個偏心的平均半徑圓，偏心量為初相位 =arctg（ai/bi）。i=2，級數(shù)展開中的a2cos2+b2sin2項反映在在極坐標(biāo)系中是一個橢圓。i=3，級數(shù)展

9、開中的a3cos3+b3sin3項反映在在極坐標(biāo)系中是一個三棱圓，以此類推。根據(jù)圓度誤差的國標(biāo)定義，從式（10）中剔除掉偏心影響，粗糙度影響（高次諧波分量），和表面波度的影響，即為另一種形式的圓度誤差函數(shù)，表示為r（）=aicosi+bisini（3）諧波分量的求解諧波分量可用最小二乘法求解，其方法是把信號周期分為N個相等的子區(qū)間，然后在區(qū)間0，T中的第n個結(jié)點處獲得測得值xn，n=0，1，N-1。據(jù)此列出殘差方程，根據(jù)最小二乘理論，組成正規(guī)方程，由三角函數(shù)的正交性即可解得ak，bk，由于推導(dǎo)過程較繁，此處從略。（4）用模糊方法辨識工件形狀當(dāng)工件是橢圓、準(zhǔn)橢圓或半橢圓時，用N棱圓（N>2

10、）的優(yōu)化方法，會導(dǎo)致優(yōu)化過程發(fā)散或收斂速度太慢或得不到最優(yōu)結(jié)果。為此，我們設(shè)置了四種優(yōu)化程序分別對應(yīng)處理橢圓、準(zhǔn)橢圓、半橢圓和圓類工件。問題是如何識別工件的形狀？上述諧波分析給出了答案，即a2項表征了橢圓成分，但橢圓或半橢圓等并沒有確切的界線，是一些模糊的概念，因此用模糊方法可以較好的解決這一問題。設(shè)以工件形狀作為論域。E=a21，a22，a23，a2ia2n，橢圓A、準(zhǔn)橢圓B、半橢圓C和圓D四個模糊子集，隸屬度函數(shù)如圖1所示。圖中橫坐標(biāo)為表示橢圓成分的諧波分量a2k，其分界點可通過對上述四類不同形狀的工件進(jìn)行測量實驗獲取。圖1為原理示意。其縱坐標(biāo)表示隸屬度。識別時，在上述諧波分析的基礎(chǔ)上，將

11、a2k模糊化，也就是根據(jù)圖1找出其對應(yīng)的隸屬度，例如，a2=0.8時，從圖1可求出該工件屬于橢圓的程度為0.7（隸屬度為0.7），屬于準(zhǔn)橢圓的程度為0.5，屬于半橢圓和圓的程度均為0。本問題的模糊推理非常簡單，例如，如果屬于橢圓則轉(zhuǎn)基于對徑準(zhǔn)則的橢圓優(yōu)化程序等等。判定時應(yīng)用最大法，如本例，MAX0.7，0.5，0，0=0.7，應(yīng)判為橢圓。圖13.采樣過程的自適應(yīng)分檔采樣過程自適應(yīng)分檔的實現(xiàn)，首先必須在傳感器接口電箱中加裝分檔控制繼電器或直接采用可編程增益放大器，由軟件可以控制進(jìn)行分檔。我們用一個例子來說明自適應(yīng)分檔原理。設(shè)某設(shè)備共分三檔，其滿量程值分別為m1，m2，m3。其中m1<m2<m3，初始化時設(shè)為m1檔。分檔過程如圖2示。圖2圖中，快速采樣指直接讀A/D轉(zhuǎn)換器的端口，而不進(jìn)行任何變換和計算，這樣完成一次判斷僅需數(shù)十微秒，mi×0.7是用軟件模擬一個遲滯觸發(fā)器的功能，以避