高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1.4概率的基本性質(zhì)學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

1、10. 1.4 概率的基本性質(zhì)考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)概率的性質(zhì)理解并識(shí)記概率的性質(zhì)數(shù)學(xué)抽象概率性質(zhì)的應(yīng)用會(huì)用互斥事件、對(duì)立事件的概率求解實(shí)際問題數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)邏輯研讀導(dǎo)學(xué)宴陋 .問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P239 P242的內(nèi)容，思考以下問題：1 .概率的性質(zhì)有哪些？2 .如果事件A與事件B互斥，則P(AU B)與P(A), RB)有什么關(guān)系?3 .如果事件A與事件B為對(duì)立事件，則 P(A)與RB)有什么關(guān)系？概率的性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)任意的事件 A,都有RA)>0;性質(zhì)2：必然事件的概率為 1,不可能事件的概率為 0,即P(Q) = 1, P(?) = 0;性質(zhì)3:如果事件 A與事件B互斥，那么RAU

2、E) = RA) + R B);性質(zhì)4：如果事件 A與事件B互為對(duì)立事件，那么 P(B) =1-P(A) , RA) = 1P(B);性質(zhì)5:如果A? B,那么P(A)WP(E),由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A,因?yàn)椋?A?所以 0WP(A) W1.性質(zhì)6:設(shè)A B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有p(au B) = RA) + R B) P(An Bl.判斷(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“x”) 任意事件A發(fā)生的概率 RA總滿足0<RA)<1.()(2)若事件A為隨機(jī)事件，則 0<RA)<1.()(3)事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率.()(4)事件A與B互斥，則有

3、RA=1 RB).()答案：(1) X (2) V (3) X (4) X已知A與B互斥，且 RA) =0.2 , P(B)=0.1 ,則P(AU B).解析：因?yàn)?A與 B互斥.所以 RAU B)=P(A) +P(B) = 0.2 +0.1 =0.3.答案：0.3(2019 廣西欽州市期末考試)某產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、合格品、次品三個(gè)等級(jí)，生產(chǎn)中出現(xiàn)合格品的概率為0.25,出現(xiàn)次品的概率為 0.03,在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為.解析：由題意，在該產(chǎn)品中任抽一件，“抽到優(yōu)質(zhì)品”與“抽到合格品或次品”是對(duì)立事件，所以在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為P= 1 -0.25 -0.03

4、 =0.72.答案：0.72解惑探究突破互斥事件與對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用一名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)，7環(huán)以下的概率分別為 0.24 ,0.28, 0.19, 0.16, 0.13.計(jì)算這名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率.【解】 設(shè)“射中10環(huán)” “射中9環(huán)” “射中8環(huán)” “射中7環(huán)” “射中7環(huán)以下”的 事件分別為 A, B, C, D, E,可知它們彼此之間互斥，且 P(A) = 0.24 , R B) = 0.28 , R C)= 0.19 , P(D) = 0.16 , P(E) =0.13.(1) P( 射中

5、 10 環(huán)或 9 環(huán))=P(AUB)=P(A+P(B)=0.24 +0.28 =0.52 ,所以射中10 環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.(2)事件“至少射中 7環(huán)”與事件E “射中7環(huán)以下”是對(duì)立事件，則P(至少射中7環(huán))=1- P( E) = 1 -0.13 =0.87.所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.變問法在本例條件下，求射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)的概率.解：事件“射中環(huán)數(shù)小于 8環(huán)”包含事件 D “射中7環(huán)”與事件E “射中7環(huán)以下”兩個(gè)事件，則 P( 射中環(huán)數(shù)小于 8 環(huán))=P(DU E) =P(D) + P(E) =0.16+0.13 = 0.29.規(guī)律忻法互斥事件、對(duì)立事件概率的求解方法(1)

6、互斥事件的概率的加法公式 R AU B)= P(A) + PB1 .(2)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是這些簡(jiǎn)單事件的概率的和.(3)當(dāng)求解的問題中有“至多” “至少” “最少”等關(guān)鍵詞語時(shí)，常?？紤]其反面，通過求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.nn注意 有限個(gè)彼此互斥事件的和的概率，等于這些事件的概率的和，即P(iS 1A)=與1RA)某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示:人數(shù)012345概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出醫(yī)生至多 2人的概率；(2)求派出醫(yī)生至少 2人的概率.解：設(shè)“不派出醫(yī)生

7、”為事件 A, “派出1名醫(yī)生”為事件 B, “派出2名醫(yī)生”為事件 C, “派出3名醫(yī)生”為事件 D, “派出4名醫(yī)生”為事件 E, “派出5名及5名以上醫(yī)生”為事件F,事件 A, B, C D, E, F 彼此互斥，且 P(A) =0.1 , P(B) = 0.16 , R C) = 0.3 , P(D) = 0.2, P(E) =0.2 , P(F) = 0.04.(2) “派出醫(yī)生至多2 人”的概率為 P(AU BU Q = P(A)+P(B) +P(C) =0.1 +0.16 +0.3= 0.56.(2)法一：“派出醫(yī)生至少2 人”的概率為 RCU DU EU F) = P( C)

8、+ P( D) + P(E) + P( F)=0.3 + 0.2 + 0.2 +0.04 = 0.74.法二：“派出醫(yī)生至少2人”的概率為1P(AU 3=1 0.10.16=0.74.互斥、對(duì)立事件與古典概型的綜合應(yīng)用某學(xué)校的籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)各有10名隊(duì)員，某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì)， 具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，求：(1)該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；(2)該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率.【解】 分別令“抽取一名隊(duì)員只屬于籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)”為事件A, B, C由圖知3支球隊(duì)共有球員20名.534則 P(A)=25, P(B)=25, P(C) = 20.(1)令

9、“抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)”為事件D.則D= A+ B+ C,因?yàn)槭录?A, B, C兩兩互斥，所以 RD=P(A+ B+ C)=P(A) + P(B)+PC)5343=+ + = 一20 20 20 5 . . . . . . . _ _. . ' .(2)令“抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件E,則E為“抽取一名隊(duì)員，、，一2 9該隊(duì)員屬于3支球隊(duì)”，所以P(E) = 1-P( E) =1-=.規(guī)律忻法求復(fù)雜事件的概率常見的兩種方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件；(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí)，需要分類太多，而其對(duì)立面

10、的分類較少，可考慮利用對(duì)立事件的概率公式，即“正難則反”，它常用來求“至少”或 “至多”型事件的概率.一個(gè)盒子里有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1, 2, 3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取 3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a, b, c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a, b, c不完全相同”的概率.解：(1)由題意知，(a,b, c)所有的可能結(jié)果為(1, 1, 1), (1, 1,2), (1, 1,3), (1,2, 1) ,(1 ,2, 2) , (1,2,3) , (1 ,3,1) ,(1 ,3,2)

11、, (1 ,3,3) ,(2 , 1,1) ,(2 , 1,2) , (2,1,3) , (2 , 2,1), (2 , 2,2) ,(2,2,3),(2, 3,1),(2,3, 2),(2,3, 3),(3,1,(1) (3,1, 2),(3,1, 3),(3,2,1),(3,2, 2),(3,2, 3), (3,3, 1), (3,3, 2) , (3 , 3, 3),共 27 種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A,則事件A包(1 , 1, 2) , (1 , 2, 3),一.31(2, 1, 3),共 3種.所以 P(A)=-.2 7 9即“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c

12、”的概率為1.9(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a, b, c不完全相同”為事件 B,則事件B的對(duì)立事件B包才(1 , 1, 1) , (2, 2, 2) , (3 , 3, 3),共 3 種.所以 RB) =1 R B) = 1 H2 7 9即“抽取的卡片上的數(shù)字 a, b, c不完全相同”的概率為 日91 .若A與B為互斥事件，則()驗(yàn)怔反情達(dá)標(biāo) A. RA) +RB)<1B. P(A) +F(B)>1C. P(A) +P(B) =1D. P(A) +P(B)<1解析：選D.若A與B為互斥事件，則 P(A) + P(B) W1.故選D.2.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 J

13、,乙獲勝的概率是 則甲獲勝的概率是()231 A.-B.62D.3iC.6解析：選C.因?yàn)榧讋俚母怕示褪且也粍?，故甲勝的概率?匚+1 ；=1.故選C.2363. (2019 黑龍江省齊齊哈爾市第八中學(xué)月考)從一箱蘋果中任取一個(gè)，如果其重量小于200克的概率為 0.2 ,重量在200 , 300內(nèi)的概率為 0.5 ,那么重量超過300克的概率為解析：設(shè)重量超過 300克的概率為P,因?yàn)橹亓啃∮?00克的概率為0.2,重量在200 ,300內(nèi)的概率為 0.5,所以 0.2+0.5+P= 1 ,所以 P= 1 0.20.5=03答案：0.34 .一盒中裝有各色球 12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2

14、個(gè)白球、1個(gè)綠球.從中隨機(jī) 取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.解：記事件 A = 任取1球?yàn)榧t球; A2=任取1球?yàn)楹谇?5 一. 4_ .2A3=任取1球?yàn)榘浊? A4=任取1球?yàn)榫G球,則P(A1) = , P(A2) =, P(A3)=,1RAO = 12.根據(jù)題意知，事件 A, A, A A4彼此互斥.法一：(1)由互斥事件概率公式，得取出 1球?yàn)榧t球或黑球的概率為RA + A) = P(A) +-14 -54(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為RA1 + A+A3)= RA) + P(A2)+RA3)=N + 12211+ -=

15、一12 12法二：(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即 A + A的對(duì)立事件為A3+A4,所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A+A2) = 1-P(A3+A4) =1-P(A3) -P(A4)219 3=i -12 12 12 4111 A + A + A3 的對(duì)“事件為 A4,所以 R A + A + A3) = 1 P( A4) = 1 12 = 12.A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .某射手在一次射擊中，射中 10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是 0.20, 0.30, 0.10.則此 射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為()A. 0.40B. 0.30C. 0.60D. 0.90解析：

16、選 A.依題意，射中8環(huán)及以上的概率為0.20 +0.30 +0.10 =0.60,故不夠8環(huán)的概率為 1 0.60 =0.40.2. (2019 陜西省咸陽市檢測(cè)(一)某校高三(1)班50名學(xué)生參加1 500 m體能測(cè)試，其 中23人成績(jī)?yōu)锳其余人成績(jī)都是 B或C從這50名學(xué)生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4 , 則抽得C的概率是()A. 0.14B, 0.20C. 0.40D. 0.60. .一 23.解析：選A.由于成績(jī)?yōu)锳的有23人，故抽到c的概率為1-50-。.4 = 0.14.故選A.3.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取 3個(gè)球，則所取的 3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的3B.10概率

17、是()3C.51 A. 109 D. 10解析：選D.記3個(gè)紅球分別為a,a2,as,2個(gè)白球分別為b,b2,從3個(gè)紅土2個(gè)白球中任取3個(gè)，則所包含的基本事件有(a,a2,a3),(a,a2,b), (a,a2,b2),，a3,b1),(a1, a3, b2), (a2, a3, b), (a, a3, b2), (ab bb b2), (a2, bb b2), (a3, b, b2),共 10 個(gè).由于每個(gè)基本事件發(fā)生的機(jī)會(huì)均等， 因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的. 用A表示“所 取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”，則其對(duì)立事件 A表示“所取的3個(gè)球中沒有白球”，則事一,-1 ,19件A包含的基本

18、事件有 1個(gè)：(a1, a2, a3),所以P( A)=而.故P( A = 1 R A) = 1而=而4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3"，則P(AU B) = ()1A. 一22 B.-3D. 1解析：選B.法一：A包含向上點(diǎn)數(shù)是1, 3, 5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1, 2, 3的情況，所以AU B包含了向上點(diǎn)數(shù)是 1, 2,4 23, 5的情況.故RAU場(chǎng)。=3.法二：P(AU B) =RA1 + P(B) RAR=;+ 1-2= 1-1=2. 2 2 63 35.從1, 2, 3,，30這30個(gè)數(shù)中任意摸出一個(gè)數(shù)，則事

19、件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”的概率是()3B.57A.而1D.10解析：選B.法一：這30個(gè)數(shù)中“是偶數(shù)”的有 15個(gè)，“能被5整除的數(shù)”有6個(gè)，這兩個(gè)事件不互斥，既是偶然又能被5整除的數(shù)有3個(gè)，所以事件“是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)”包含的樣本點(diǎn)是18個(gè)，而樣本點(diǎn)共有30個(gè)，所以所求的概率為18 3=30 51 一法二：設(shè)事件A “摸出的數(shù)為偶數(shù)”， 事彳B “摸出的數(shù)能被5整除”，則P(A)=2, P(B)6 131=RACl B)=30 530 101113所以 RAU B) = R A) + P(B) P( API B) =+t. = 7.2 5 10 56.已知 RA) =0.4

20、, P(B) =02(1)如果 B? A,則 P(AU B) =, P(A§ =;(2)如果 A, B 互斥，則 F(AU 廿=, F(AB =.解析：(1)因?yàn)锽?A,所以 RAU B)=P(A) = 0.4 ,P(AB»=P(B) = 02(2)如果 A, B互斥，則 RAU 廿=P(A)+P(B) =0.4+0.2 =0.6.P(AB = P( ?) = 0答案：(1)0.40.2(2)0.602 1-7 .事件A, B互斥，它們都不發(fā)生的概率為且RA) = 2P(B),則P(A)=.5解析：因?yàn)槭录?A, B互斥，它們都不發(fā)生的概率為所以P(A)+P(B) = 12

21、 = 3.又因55 5為 P(A) = 2P(B),1-3所以 RA) +/A =- 25所以RA) =2. 5答案：2 58 .某商店月收入(單位：元)在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：月收入1 000 , 1 500)1 500 , 2 000)2 000 , 2 500)2 500 , 3 000)概率0.12ab0.14已知月收入在1 000 , 3 000)內(nèi)的概率為 0.67 ,則月收入在1 500 , 3 000)內(nèi)的概率為解析：記這個(gè)商店月收入在 1 000, 1 500) , 1 500, 2 000) , 2 000, 2 500) , 2 500, 3 000)范圍內(nèi)的事件分

22、別為 A, B, C, D,因?yàn)槭录?A, B, C, D互斥，且 P(A) + RB)+P(。 + R D) = 0.67 ,所以 R B+ O D) = 0.67 P(A) = 0.55.答案：0.559 .已知數(shù)學(xué)考試中，李明成績(jī)高于90分的概率為0.3,大于等于60分且小于等于90分的概率為0.5 ,求：(1)李明成績(jī)大于等于 60分的概率；(2)李明成績(jī)低于60分的概率.解：記A:李明成績(jī)高于90分，B:李明成績(jī)大于等于 60分且小于等于90分，則不難看 出 A與 B 互斥，且 P(A) =0.3 , RB=0.5.(1)因?yàn)椤袄蠲鞒煽?jī)大于等于60分”可表示為AUB,由A與B互斥可知

23、R AUB)= P(A)+ P( B) = 0.3 +0.5 =0.8.(2)因?yàn)椤袄蠲鞒煽?jī)低于60分”可表示為AUB,因此F(AU B)=1-P(AUB)= 1 - 0.8 =0.2.10 .某飲料公司對(duì)一名員工進(jìn)行測(cè)試以便確定其考評(píng)級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料.若該員工3杯都選對(duì)，則評(píng)為優(yōu)秀；若 3杯選對(duì)2 杯，則評(píng)為良好；否則評(píng)為不合格.假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別能力.(1)求此人被評(píng)為優(yōu)秀的概率；(2)求此人被評(píng)為良好及以上的概率.解：將5杯飲料編號(hào)為1, 2,

24、3, 4, 5,編號(hào)1, 2, 3表示A飲料，編號(hào)4, 5表示B飲 料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為(123) , (124) , (125) , (134) , (135) , (145), (234) , (235) , (245) , (345),共有10種.令D表示此人被評(píng)為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評(píng)為良好白事件，F(xiàn)表示此人被評(píng)為良好及以上的事件.則1(1) RD,一 _ 37(2) PE)=- P(F) = RD)+RE) =行. 510B 能力提升11 .已知A,B,C兩兩互斥，且P(A)=0.3 ,P(B) =0.6 , RQ = 0.2 ,則P(AUBUC)=解析：因

25、為 P( B) = 0.6 ,所以 RB)=1RB)=0.4.所以 RAU BU C) = RA)+P(B) + P(C)= 0.3 +0.4 +0.2 =0.9.答案：0.91，一12 .圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為7,從中取出2粒都是白子的概率為12.那么，現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是35解析：設(shè)“從中任意取出 2粒都是黑子”為事件 A, “從中任意取出2粒都是白子”為事 件B, “任意取出2粒恰好是同一色”為事件 C,則 O A+ B,且事件A與B互斥.1 12 17所以 PQ=P(A) + PB)=- + =-7 35 35一,，一 17即

26、“任意取出2粒恰好是同一色”的概率為 .173件,當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至 3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率，則當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率為解析：商店不進(jìn)貨即日銷售量少于 2件，顯然“日銷售量為1件”與“日銷售量為 0件”不可能同時(shí)發(fā)生，彼此互斥，分別計(jì)算兩事件發(fā)生的頻率，將其視作概率，利用概率加法公 式可解.記“當(dāng)天商品銷售量為 0件”為事件A, “當(dāng)天商品銷售量為1件”為事件B, “當(dāng)天商店153不進(jìn)貨”為事件 C,則 P(Q=RA)+P(B)=20+20 = .答案:旦1014.近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物 和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī) 抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì) 1 000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下 (單位：噸廣“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率.解：(1)設(shè)“廚余垃圾"箱里廚余垃圾量為m噸，廚余垃圾總量為 n噸，則m= 400, n=400+ 100+ 100 = 600.m 400 2所以廚余垃圾投放