一元二次方程韋達定理根與系數的關系練習+答案

1、韋達定理與根與系數的關系練習題一、填空題1、關于x的方程2x23x+m=0 ,當 時,方程有兩個正數根；當m 時,方程有一個正根,一個負根；當m 時,方程有一個根為 0o2、一元二次方程2x2 -3x -1=0的兩根為xi、X2,貝U xi+X2 =.3、如果x1, x2是方程x2-5x+6 =0的兩個根,那么x1 ,x2 =.4、xi, x2是方程x2+6x+3=0的兩實數根,那么x2十上的值為. xi x25、設 x1、 x2 是方程 2x2 +4x3 =0 的兩個根,貝 (x1+1)(x2+1) =.6、假設方程 2x2 -4x -3 =0 的兩根為 a、P ,貝U a2 -2a 0+.

2、1 I7、x1、x2是關于x的方程(a-1)x +x+a -1 = 0的兩個頭數根,且x1 + x2 = -,那么x1,x2 =38、關于x的一元二次方程mx24x-6 = 0的兩根為x1和x2 ,且x1 + x2 =-2 ,貝U m =,(為 +x2 f1 x =.9、假設方程2x2 5x+k =0的兩根之比是2: 3,那么卜=.10、如果關于x的方程x2 +6x+k =0的兩根差為2,那么k=.11、方程2x2 +mx4 =0兩根的絕對值相等,貝m=.12、方程x2 -mx+2=0的兩根互為相反數,那么 m=.13、關于x的一元二次方程(a2 -1)x2 -(a+1)x+1 = 0兩根互為

3、倒數,那么a=.14、關于x的一元二次方程x2 -2(m-1)x + m2 =0.假設方程的兩根互為倒數,那么 m=假設方程兩根之和與兩根積互為相反數,那么m=.15、一元二次方程 px2+qx+r=0 (p#0)的兩根為 0 和一1,貝Up：q=.1316、萬程3x2+x-1=0,要使方程兩根的平方和為一,那么常數項應改為 .917、方程x2+4x-2m =0的一個根a比另一個根B小4,貝口=; m=.18、關于x的方程x2 3x+k =0的兩根立方和為0,貝(Jk=113 一19、關于x的萬程x2 -3mx+2(m-1)=0的兩根為、x2,且' + ' = 那么m= .x1

4、 x24精品資料歡送下載20、假設方程x2 4x+m =0與x2 x 2m =0有個根相同,貝 m=.21、一元二次方程2x2 3x+1 =0的兩根與x23x+ 2 = 0的兩根之間的關系是 .22、請寫出一個二次項系數為1,兩實根之和為3的一元二次方程：.23、一元二次方程的兩根之和為 5 ,兩根之積為6 ,那么這個方程為.24、假設a、P為實數且也+P3|+(2殍)2=0,那么以a、P為根的一元二次方程為 .(其中二次項系數為1)25、求作一個方程,使它的兩根分別是方程 x2+3x2 = 0兩根的二倍,那么所求的方程為 .二、解做題1、m, n是一元二次方程x2-2x-5 = 0的兩個實數

5、根,求2m2+3n2+2m的值.2、設x1、x2是方程2x2 -4x+1 =0的兩個根,求|x1-x2|的值.3、x1、x2是方程x2 -2x+a =0的兩個實數根,且x#2x2=3-6.(1)求 x1、x2及a 的值；(2)求 x3-3x12+2x1+x2 的化4、 x1、x2是一元二次方程 x2 + Vx+n = 0 的兩個實數根,且 x12+x；+(x1+x2)2 =3 , _2_+_22=5, Xx2求m和n的值.5、 a2=1a, b2=1b,且 arb,求(a 1)(b 1)的值.6、設：3a2-6a-11=0, 3b2-6b-11 =0 且 a # b ,求 a-b 的值.7、：

6、a、P是關于x的二次方程：(m2)x2+2(m_4)x + m_4 = 0的兩個不等實根.(1)假設m為正整數時,求此方程兩個實根的平方和的值；假設u2+P2=6時,求m的值8、關于x的二次方程x2+mx-1 =0的一個根是J51,求另一個根及m的值.9、方程5x2+mx-10=0的一根是一5,求方程的另一根及m的值10、2+J3是x24x+k=0的一根,求另一根和k的值11、(1)方程x2-3x+m =0的一個根是 后,那么另一個根是 o(2)假設關于y的方程y2 -my+n=0的兩個根中只有一個根為0,那么m、n應滿足12、如果x =1是方程2x2-3mx+1 = 0的一個根,那么m =,

7、另一個根為13、關于x的方程2x2+5x = m的一個根是一2,求它的另一個根及m的值.14、關于x的方程3x2 -1 =tx的一個根是一2,求它的另一個根及t的值15、在解方程x2 +px+q = 0時,小張看錯了 p,解得方程的根為1與3;小王看錯了 q,解得方程的根為4與-2.這個方程的根應該是什么？16、一元二次方程 8y2 _(m+1)y + m-5=0 0(1) m為何值時,方程的一個根為零？(2) m為何值時,方程的兩個根互為相反數？(3)證實：不存在實數m ,使方程的兩個相互為倒數.17、方程x2+3x+m=0中的m是什么數值時,方程的兩個實數根滿足：(1) 一個根比另一個根大

8、2;(2) 一個根是另一個根的3倍；(3)兩根差的平方是17.18、一元二次方程8x2-(2m+1)x+m-7 =0 ,根據以下條件,分別求出 m的值:(1)兩根互為倒數；(2)兩根互為相反數；(3)有一根為零；(4)有一根為1;20、關于x的一元二次方程x2+mx+12=0的兩根之差為11,求m的值21、關于x的二次方程x2 -2(a-2)x + a2 -5=0有實數根, 且兩根之積等于兩根之和的2倍,求a的值.22、方程x2+bx+c=0有兩個不相等的正實根,兩根之差等于3,兩根的平方和等于29,求b、c的值23、關于x的方程2x2(m1)x+m+1=0的兩根滿足關系式x1-x2=1,求m

9、的值及兩個根.24、關于x的方程x2 -(k +1)x+k +2=0的兩個實數根的平方和等于6,求k的值.25、口、P是關于x的一元二次方程(m-1)x2 -x+1=0的兩個實數根,且滿足(.+1)(P+1) =m+1 ,求實數m的值.26、a、B是關于x的方程4x2 -4mx+m2+4m = 0的兩個實根,并且滿足(a -1)( P -1)-1 =,求m的值.10027、：a、B是關于x的方程x2+(m2)x+1 =0的兩根,求(1+ m£+a2)(1 + mB + B2)的值.28、關于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0,問：是否存在正實數m ,使方程的兩個實數根的平方和 等

10、于56,假設存在,求出m的值；假設不存在,請說明理由.29、關于 x 的一元二次方程 3x2 -(4m2-1)x + m(m+ 2) = 0 的 兩實根之和等于兩個實根的倒數和,求 m的值.30、關于x的一元二次方程ax2+bx+c = 0 ( a = 0)的兩根之比為2:1,求證：2b2 = 9ac.31、方程x2+mx+4 =0和x2-(m-2)x-16 =0有一個相同的根,求m的值及這個相同的根.精品資料歡送下載32、關于x的一元二次方程ax2+bx+c = 0的兩根為a、P ,且兩個關于x的方程x2+(a+1)x +儼=0與x2+( P+1)x+a 2 = 0有唯一的公共根,求a、b、

11、C的關系式.33、x1、x2是關于x的方程x2 + px +q =0的兩根x1 +1、x2 +1是關于x的方程x2 + qx + p = 0的兩根,求常數p、q的值.34、方程x2+mx+12 =0的兩實根是x1和x2,方程x2mx + n =0的兩實根是+7和*2 + 7,求m和n的值.35、2s2+4s-7 =0 , 7t2 -4t -2=0, s、t為實數,且st # 1.求以下各式的值:st 1t(2)3st -2s 3t36、x1、x2是關于x的方程x2+m2x+n =0的兩個實數根；y1、y2是關于y的方程y2+5my + 7 = 0 的兩個實數根,且x1-y1 =2 , x2-y

12、2 =2 ,求m、n的值.37、關于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有兩個乘積為1的實根,x2 +2(a +m)x +2a -m2 +6m -4 =0有大于0且小于2的根,求a的整數值.38、關于x的方程mx2-nx+ 2 = 0兩根相等,方程x2-4mx +3n = 0的一個根是另一個根的3倍求證：方程x2 -(k +n)x +(k -m) =0 一定有實數根.精品資料歡送下載39、關于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m1 =0 .(1)求證：不管m為任何實數,方程總有兩個不相等的實數根；(2)假設方程兩根為xi、X2,且滿足= -1,求m的化x1 x2240、關于x的方程x

13、2 -2mx +二n2 = 0 ,其中m、n分別是一個等腰三角形的腰長和底邊長.4(1)求證：這個方程有兩個不相等的實根；(2)假設方程兩實根之差的絕對值是8,等腰三角形的面積是12,求這個三角形的周長.41、關于y的方程y2 -2ay-2a-4=0o(1)證實：不管a取何值,這個方程總有兩個不相等的實數根；(2) a為何值時,方程的兩根之差的平方等于16?42、方程2x2 5mx +3n =0的兩根之比為2:3,方程x2-2nx +8m = 0的兩根相等(mn# 0).求證：對任意實數k ,方程mx2+(n+k-1)x+k+1 =0恒有實數根.43、如果關于x的實系數一元二次方程x2+2(m

14、+3)x + m2+3 = 0有兩個實數根口、P ,那么(a -1)2 +(P -1)2的最小值是多少？44、方程x2+ax+b =0的兩根為x1、x2,且4x1+x2=0,又知根的判別式=25,求a、b的值45、求一個一元二次方程,使它的兩個根是 2 +V6和2 -v16 o精品資料歡送下載46、方程x2 +5x7=0,不解方程,求作一個一元二次方程,使它的兩個根分別是方程的兩個根的負倒數.47、方程2x23x-3=0的兩個根分別為a、b,利用根與系數的關系,求一個一元二次方程,使它的兩個根分別是： a+1、b+1(2) 2b、空a b48、兩數之和為7,兩數之積為12,求這兩個數.49、兩

15、數的和等于6,這兩數的積是4,求這兩數.50、一個直角三角形的兩條直角邊長的和為 6cm,面積為1cm2,求這個直角三角形斜邊的長 . 251、關于x的方程x2 -(2a-1)x+4(a-1)=0的兩個根是斜邊長為5的直角三角形的兩條直角邊的長,求這個直角三角形的面積.52、試確定使x2+(a-b)x+a=0的根同時為整數的整數a的值.53、一元二次方程(2k-3)x2+4kx + 2k-5=0,且4k+1是腰長為7的等腰三角形的底邊長,求：當k取何整數時,方程有兩個整數根.54、關于x的一元二次方程x2+2x + p2 =0有兩個實根和x2 ( x 二xz),在數軸上,表示x2的點在表示x1

16、的點的右邊,且相距p +1 ,求p的值.答案一、填空題91、0 <m £一 ;< ;=82、323、64、105、一526、107、-18、 -2 ; -89、310、811、012、013、2 一、2舍去-1 -J3 _1+j3 舍去14、-1 1 舍去;15、116、-2 17、-4; 0; 018、31 19、1320、 3或 021、互為倒數 22、x2 -3x =0,答案不唯一23、x2-5x+6 =0,答案不唯一24、x2 -3x 2 = 025、*2+6*-8=0,答案不唯一二、解做題1、m2 = 2m 5、n2 = 2n 5原式=2 m2 3n2 2m =

17、6m 6n 25 =372、| x1 -x2 1= x1 x22 -4x1x2 = 2x1 + x2 = 2xi = 1 一 V23、(1) 3x1x2=a解N, , X2 = 1 + 2.x1 +2x2 =3-42 a=-1(2) x2 =2刈 +1 ;原式=xi+x21=1,、2 一一一一一一2(x1+x2) -2x1x2 =2m _2n = 31214、% +x2 =布、x1x2 =n , <2(x1+x2),x2 =二,t = 6 -2xx22(m-2n) 解之 廠"5 或?m = 10 (舍去)、(xx2)2n2n = -1n = 355、(a -1)(b -1) =

18、ab - (a b) 1 =16、a.b = *37、0 >0>m<4,且 m 盧2(1) m=1 時,x2+6x+3 = 0, ct2+p2=30；m = 3時,x2-2x-1=0, a2+p2 = 6；(2) a2 + P2 =(a +P)2 -2aP=6,即：也畫一 m-2化簡得 m2 -m -6=0,解得 m1 =3, m2 = -28、x2 -2 -1, m -29、又25,m =2314、11215、q =儼(卻=-3p=4+(2)=2所以原方程為x2-2x-3=0 ,解得 Xi =7, x2 =310、x2 =2 - ,3, k =111、 (1) 3-<

19、I ；(2) n=0且m#0 ;12、1213、x2 = -, m = -2216、1方程的一個根為0,即c=0,此時m=5;2方程的兩根互為相反數,即b=0,止匕時m = -1;3方程的兩根互為倒數,即a=c,止匕時m = 13,原方程為8y2-14y+8 = 0 , =-60<0X+x2 = -3,.、52717、11m =-；2m=；3m=-2Kx2 =m41618、(1)方程的兩根互為倒數,即a=c,此時m=15, A = 4(m -7)2+176 > 021(2)萬程的兩根互為相反數,即b=0,止匕時m = 1;2(3)方程的一個根為0,即c=0,止匕時m = 7;(4)

20、方程的一個根為1,止匕時8 2m1+m 7 = 0 ;解得m = 0;19、x1 x2 = -m20、Jx1x2 =12x1 -x2 =11X =12,解之x2 -1m - -1321、_0>.9a w ,4由題意可得X +x2 =2(a -2)2 Ux x2 a 5x1x2 =2(x1 +x2)即 a25 = 4(a2),解得 a = 1 或a = 3 (舍).：022、不相等的兩正根,那么b>0£ A0由題意解得,b = _7c = 1022m -1 2 m 1 /23、(x1 -x2) =(x1 +x2) 4x1x2=( ) _4父 =122即 m2-10m -11

21、 = (m -11)(m 1)=0當 m =11 時,x2 -5x+6=0,解得 乂=減3;當 m = -1 時,x2 + x = 0 ,解得 x = 0或 -124、x2 +x2 =(x1 +x2)2 2x1x2 =(k +1)2 2(k +2) = 6 ,化簡得 k29 = 0,所以 k = 3或 k = 3 (舍)1125、=(a +1)( B +1) =aP +a + B +1 = m +1 ,十=m ,解得 m = -1或 m = 2 (舍)m -1 m -1226、(a -1)( P -1) -1-(a + B) =-m =.解得 m = - 或 m = -(舍)4100 '

22、;5527、x2+mx+1 =2x ,貝(J 有 a2+ma +1 =2b、P2+mP+1=2P 原式=2» ,2P = 4 父1 = 428、x12 +x； =(x1 +x2)2 2xx2 =2(m -2)2 -2m2 =56 ,化簡得 m28m 20 = 0, m=2 或 m = 10 (舍)29、 x1 +x2 =+ = x2 即(x1+x2)(1) = 0x x2xx2陷21 .1 一當 x1+x2=0 時,4m -1 =0 ,解得 m =-一或 m=一(舍)；22當 x +x2 #0 時,1 一 = 0 , x1x2 =mm-2) =1 ,解得 m = 一3或m = 1 (

23、舍)；xx23,、一 、1綜上所述,巾=或巾=-32x1 +x2 =3x2 30、不妨設x1 =2x2,那么有aC 2 x1x2 = =2x2 . a得b-=9,即 2b2=9ac2ac 231、方法一：-得：2m2x+20=0,即 mx = x10代入中得：x2+x6=0,解得xi = 7、X2=2, 一. 13 、一 . . .4 、一 . . .16 一 . 一 、當x = -3時,m =13,方程的解為-3、-4 ;方程的解為-3、16,符合題意;333當x=2時,m=N,方程的解為2、2;方程的解為2、-8,符合題意；13 .綜上所述,當m= 一時相同根為-3 ;當m = -4時相同

24、根為2;3方法二：10 一-得：2m2x+20=0,即 x = 1 - m2代入中得：e+U+4=°,化簡為3m2-m-52=°,13解得m = 或m = -43當m =13時由,相同根為3；當m = -4時相同根為2； 332、-得：(a P)x-(a2 P2) =0 ,由題意得 a,所以 x=u +P 代入中化簡得：2(a +P)2 -aP +Q +P )=0 ,即 2'bl +=la.) a la)2b2 = ac ab33、p = -1, q = 334、m=7, n=5435、7t24t2=0,兩邊同除t2得己+47=0,所以s、1是同一方程2x2+4x-

25、7 = 0的兩根.t2 ttS2、(1)(2)St 119=s +- = -2 ；t t3st -2s 33 s7、.=3s -2=3 (-2) -2 (一)二1 t t236、由于 xyL?、x2y2=2,兩式相加得：(x1+x2)-(y1 + y2) = 4即m25m =4 ,整理得 m25m+4 = 0,解得 m = 4或m=1 舍37、,.,方程有兩個乘積為1的實根,.二“*2=7=1,解得m=1或m=-1 舍 m當m=1時,方程化為x2+2(a+1)x+2a+1=0即(x 1)x (2a 1) =0解得Xi =_(2a+1), X2 = -1 (不符合題意,舍去)2 1所以 0<

26、;(2a+1)<2,解得2<a<； 又 : a 是整數, a = 13 238、方程有兩根相等,=n2-8m=0、且m#0X1 +X2 =- =4X2方程中不妨設X1 =3x2,那么有aaX1X2 二=3x2a詈得仁皿(2)ac 3n=,即 m23綜上,m=2、n=4;此時原方程化為x2-(k+4)x+k-2 = 0 =(k+4)2 -4 (k -2) =(k +2)2 +20 >0 ,所以該方程一定有實數根.39、(1) A=(4m+1)2-4 (2m-1)=16m2+5：>0,所以該方程總有兩個不相等的實數根;(2)1 1 x1 x2 -(4m 1)r =x1

27、x2x1x22m 7240、 (1)o 1, =(-2m) -4 -n = (2m+n)(2m-n) >0 ,所以該方程總有兩個不相等的頭數根; 4(2)|x1 -x2 |= (x1 x2)2 -4x1x2 = . 4m2 -n2 =8S"2解得n=6, m = 5,所以三角形周長C4=2m + n=1641、(1) =(-2a)2-4 (2a-4)=4(a+1)2十12>0,所以該方程總有兩個不相等的實數根;(2) & X2)2 =(x+x2)24xX2 =(2a)2-4(2a-4) =16 ,解得 a = 0,或a = 242、方程不妨設x1 =2-,-X2,那么有3X1x2cX1X2 =_ ab 5一 二x2a 3 2223X2222(1)陽 b 25m(2) ac 6n生,即m2 = n6方程中有兩根相等,.二=4n2-48m=0,即n2 =8m綜上,m=2、n=4;此時原方程化為2x2+(3+k)x+ k+1 = 0 =(3+k)2 -4 M2 M(k +1) =(k-1)2 20 ,所以該方程一定有實數根.43、a + P = 2(m+3)22,口 2, A=4(m+3)2 4(m2+3)=24m+2420 ,即 m1aA =m +3原式=(：-'-)2 -2： -2(：'-) 2 =4