一元一次方程學(xué)生講義

1、3.1從算式到方程3.1.1 一元一次方程知識點(diǎn)1定義1:含有未知數(shù)的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x,未知數(shù)x的指數(shù)都 是1(次),這樣的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800, 2 (x+1.5x) =5等都是一元一次方程.1、如果(m-1)x 1m1 +5=0是一元一次方程,那么 m=.2、以下各式：3x+2y=1 m-3=6®x/2+2/3=0.5 x2+1=2z/3-6=5z(3x-3)/3=4 5/x+2=1x+5中,一元一次方程的個(gè)數(shù)是()A、1 B、2 C、3 D、43、假設(shè)(a 1)x 1a1+3= 6是關(guān)于x的一元一次方

2、程,那么a=; x知識點(diǎn)2方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解.注： 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果,它是一個(gè)數(shù)值或幾個(gè)數(shù)值,而解方程的含義是指求出方程的解或 判斷方程無解的過程. 方程的解的檢驗(yàn)方法,首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值,其次比擬兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論.1、假設(shè)x=1是方程k x-2 =2的解,那么k=.2、2021 蕪湖方程 3xx2-9x+m=0的一個(gè)根是1,那么 m的值 是.解：把x=1代入原方程,得3Xi2-9xi+m=0解得m=6答案：613、y=1是方程2-m-y =2y的解,求關(guān)于x的方程m

3、x+4 = 2mx +3的 解.3224、2004 吉林m是萬程x -x-2=0的一個(gè)根,那么代數(shù)式m -m的 值等于.3.1.2 等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1:等式兩邊都加上或減去同個(gè)數(shù)或式子, 結(jié)果仍相等.等式的性質(zhì)1用式子形式表示為：如果a=b,那么a士 c=b± c2等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等,等式的性質(zhì)2用式子形式表示為：如果a=b,那么a bac=bc;如果 a=bc ?0,那么一二一 c c1、等式2-±1 = 1變形,應(yīng)得3A. 6-x+1=3B. 6-x-1=3C. 2-x+1=3 D. 2-x-1=3五、解方程的一般步

4、驟1.去分母方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)2,去括號按去括號法那么和分配律3 .移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊,其他項(xiàng)都移到方程的另一邊,移項(xiàng)要變號4 .合并把方程化成ax = b a *0形式5 .系數(shù)化為1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù) a,得到方程的解x=b. a1、要解方程4.5x+0,7=9x ,最簡便的方法應(yīng)該首先A、去括號 B、移項(xiàng) C、方程兩邊同時(shí)乘以1 0 D、方程兩邊同時(shí)除以4,5分析：由于9是4.5的2倍,所以選擇D最簡便.2、 IO6 8x-125x -1 =8 -26x-9 323解：去括號8x2 0x+6 =8 4 x+ 6移項(xiàng)8 x 2 0 x+4x=8 + 66

5、合并系數(shù)化為1- 8 x= 8x= - 13、如果 2005200.5 =x20.05,那么 x等于(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45分析與解：移項(xiàng),得2005-200.5+20.05=x ,解得：x=1824.55.答案為A.4、(2021 ,江蘇)解方程： x - -8 = x4 324 ；2解：去括號,得W6 j移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得以叫,系數(shù)化為1得x=-645、2003-黃州解方程:g(x -1)0.4(x 1)3 一 0.2x 56、斛萬程17十6=03 y -12 1 -y =4 5 y-1(3) x-x-0.7 -0.1x 0.

6、1 x-1(4 ) = x 10.30.4(5) x-1 12-6 '-+1 ?=-x-2(6) 2x1+3 = 8615力73.4實(shí)際問題與一元一次方程(1)用方程思想解決實(shí)際問題的一般步驟1 .審：審題,分析題中什么,求什么,明確各數(shù)量之間的關(guān)系.2 .設(shè)：設(shè)未知數(shù)(可分直接設(shè)法,間接設(shè)法)3 .歹U:根據(jù)題意列方程.4 .解：解出所列方程.5 .檢：檢驗(yàn)所求的解是否符合題意.6 .答：寫出答案(有單位要注明答案)(2)有關(guān)常用應(yīng)用類型題及各量之間的關(guān)系1 .和、差、倍、分問題：(1)倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍,增加幾倍,增加到幾倍, 增加百分之幾,增長率來表達(dá).(2)多少關(guān)系

7、：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、缺乏、剩余 來表達(dá).2 .等積變形問題：“等積變形是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關(guān)系為:形狀面積變了,周長沒變；原料體積=成品體積.3 .調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化,常見題型有：(1)既有調(diào)入又有調(diào)出；(2)只有調(diào)入沒有調(diào)出,調(diào)入局部變化,其余不變；(3)只有調(diào)出沒有調(diào)入,調(diào)出局部變化,其余不變(1)有兩個(gè)工程隊(duì),甲工程隊(duì)有 32人,乙工程隊(duì)有28人,如果是甲 工程隊(duì)的人數(shù)是工程隊(duì)人數(shù)的 2倍,需從乙工程隊(duì)抽調(diào)多少人到 甲工程隊(duì)？(2)某班同學(xué)利用假期參加夏令營活動,分成幾個(gè)小組,假設(shè)每組 7人 還余1人,假設(shè)每組8人還缺6人,問該班分成幾個(gè)小組

8、,共有多少名同 學(xué)？4 .數(shù)字問題(1)要搞清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a,十位數(shù) 字是b,個(gè)位數(shù)字為c (其中a、b、c均為整數(shù),且1WaW9, 0 <b<9, 0<c<9)那么這個(gè)三位數(shù)表示為：100a+10b+c.(2)數(shù)字問題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系,較大的比擬 小的大1;偶數(shù)用2n表示,連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示；奇數(shù)用 2n+1或2n1表示.(1)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是2004,求這三個(gè)偶數(shù)各是多少？(2) 一個(gè)兩位數(shù),十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小 5,假設(shè)此兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字位置交換,得一新兩位數(shù),那么新兩位數(shù)與原兩位數(shù)大45, 求新

9、兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是多少？5 .工程問題:工程問題中的三個(gè)量及其關(guān)系為：工作總量 =工作效率x工作時(shí)間工程問題有三個(gè)根本量：工作量、工作時(shí)間、工作效率,其根本關(guān)系為: 工作效率=工作量=工作效率X工作時(shí)間；工作時(shí)間.一般情況下把全部工作量看作1.(1) 一個(gè)水池安有甲乙丙三個(gè)水管,甲單獨(dú)開 12h注滿水池,乙單獨(dú)開8h注滿,丙單獨(dú)開24h可排掉滿池的水,如果三管同開,多少小時(shí)后剛好把水池注滿水？(2)某工程,甲單獨(dú)完成續(xù) 20天,乙單獨(dú)完成續(xù)12天,甲乙合干6天后,再由乙繼續(xù)完成,乙再做幾天可以完成全部工程 ？6 .行程問題：(1)行程問題中的三個(gè)根本量及其關(guān)系：路程=速度x時(shí)間.(2)根本

10、類型有相遇問題； 追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道 問題.水上(空中)問題.此類問題主要涉及四個(gè)量：靜水船速、水速、逆水船速、順?biāo)?基 本關(guān)系為：順?biāo)?靜水船速+水速；逆水船速=靜水船速-水速.(1)甲乙兩個(gè)人在400米的環(huán)形跑道上同時(shí)同點(diǎn)出發(fā),甲的速度是6米/秒,乙的速度是4米/秒,乙跑幾圈后,甲可超過乙一圈?(2)甲乙兩站相距300km, 一列慢車從甲站開往乙站,每小時(shí)行40km,一列快車從乙站開往甲站,每小時(shí)行 80km,慢車先行1.5h,快車7 .商品銷售問題有關(guān)關(guān)系式：商品利潤=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)x折扣率一商品進(jìn)價(jià) 商品利潤率=商品利潤/商品進(jìn)價(jià)商

11、品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折扣率再開出,問快車開出多少小時(shí)后與慢車相遇？(1)某產(chǎn)品按原價(jià)提升40%后打八折銷售,每件商品賺 270元,問該商品原標(biāo)價(jià)多少元？現(xiàn)銷售價(jià)是多少？(2)甲乙兩件衣服的本錢共 500元,商店老板為獲取利潤,決定將家服裝按50%的利潤定價(jià),乙服裝按40%的利潤定價(jià),在實(shí)際銷售時(shí),應(yīng)顧客要求,兩件服裝均按 9折出售,這樣商店共獲利157元,求甲乙兩件服裝本錢各是多少元？8 .儲蓄問題 顧客存入銀行的錢叫做本金,銀行付給顧客的酬金叫利息,本 金和利息合稱本息和,存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù),利息與本金的比叫做 利率.利息的20%寸禾I息稅利息=本金x利率x期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利

12、息>< 稅率(20%9、增長率問題(降低率)增長率問題有三個(gè)根本量：凈增量、根底量、增長率,根本關(guān)系澤減宣根底量X100%增長率二毫襄X10咻1、(2021 福州)某班學(xué)生為希望工程共捐款 131元,比每人平均2元還多35元,設(shè)這個(gè)班的學(xué)生有x人,根據(jù)題意列方程為解題思路：此題的相等關(guān)系是捐款總數(shù)相等,解決此題的關(guān)鍵是用學(xué)生人數(shù)、平均數(shù)與余數(shù)35元表示出捐款總數(shù)(2x+35)元.答案：2x+35=1312、某校初三年級學(xué)生參加社會實(shí)踐活動,原方案租用30座客車假設(shè)干輛, 但還有15人無座位.(1)設(shè)原方案租用30座客車x輛,試用含x的代數(shù)式表示該校初三 年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)；(2)現(xiàn)決

13、定租用40座客車,那么可比原方案租 30座客車少一輛,且 所租40座客車中有一輛沒有坐滿,只坐35人.請你求出該校初三年級 學(xué)生的總?cè)藬?shù).分析：此題表示初三年級總?cè)藬?shù)有兩種方案,用30座客車的輛數(shù)表示總?cè)藬?shù)：30x+15用40座客車的輛數(shù)表示總?cè)藬?shù)：40 (x-2) +35.解：(1)該校初三年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)為：30x+15(2)由題意得：30X+15=40 (x-2) +35解得：x = 630X+ 15=30X6+ 15= 195 (人)答：初三年級總共195人.3.某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳.經(jīng)過測試：同時(shí)開放1個(gè)大餐 廳、2個(gè)小餐廳,可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開放2個(gè)大餐廳、1

14、個(gè)小 餐廳,可供2280名學(xué)生就餐.(1)求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；(2)假設(shè)7個(gè)餐廳同時(shí)開放,能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請說明理 由.分析：可以先設(shè)1個(gè)小餐廳可供y名學(xué)生就餐,這樣的話,2個(gè)小 餐廳就可供2y個(gè)學(xué)生就餐,因此大餐廳就可共(1680-2y)名學(xué)生就餐. 然后在根據(jù)開放 2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳可以就餐的人數(shù)列出方程2(1680-2y) +y=2280解：(1)設(shè)1個(gè)小餐廳可供y名學(xué)生就餐,那么 1個(gè)大餐廳可供 (1680-2y)名學(xué)生就餐,根據(jù)題意,得2 (1680-2y) +y=2280解得：y=360 (名)所以 1680-2y=960 (名)答：

15、(略). 由于 960M5+360父2 =5520 >5300 ,所以如果同時(shí)開放7個(gè)餐廳,能夠供全校的5300名學(xué)生就餐.【點(diǎn)撥】第問屬于直接列方程解應(yīng)用題,而第問屬于說理題, 關(guān)鍵是求出這7個(gè)餐廳共能容納多少人就餐,然后比擬即可.4、工藝商場按標(biāo)價(jià)銷售某種工藝品時(shí),每件可獲利 45元；按標(biāo)價(jià)的八 五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤 相等.該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？分析：根據(jù)利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)與售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折扣率這兩個(gè)等量關(guān)系 以及按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品 8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝 品12件所獲利潤相等,就可以列出一元一次方程.解：設(shè)該

16、工藝品每件的進(jìn)價(jià)是x元,標(biāo)價(jià)是45+x元.依題意,得:845+x X 0.85-8x= 45+X-35 X 12-12x解得：x=155 元所以 45+x=20O 元答：略.【點(diǎn)撥】這是銷售問題,在解答銷售問題時(shí)把握以下關(guān)系即可：商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折扣率商品利潤=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折數(shù)一商品進(jìn)價(jià)商品利潤率=商品利潤商品進(jìn)價(jià)x 100%5、2006 益陽市八年級三班在召開期末總結(jié)表彰會前,班主任安排班長李小波去商店買獎品,下面是李小波與售貨員的對話：李小波：阿姨,您好！售貨員：同學(xué),你好,想買點(diǎn)什么？李小波：我只有100元,請幫我安排買10支鋼筆和15本筆記本.售貨員：好,每支鋼筆

17、比每本筆記本貴 2元,退你5元,請清點(diǎn)好,再見.根據(jù)這段對話,你能算出鋼筆和筆記本的單價(jià)各是多少嗎？分析：這是一道情景對話問題,具有一定的新奇性.解答這類問題的關(guān)鍵是要從對話中捕捉等量關(guān)系.從對話中可以知道每支鋼筆比每本筆記本貴2元,同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)買 10支鋼筆和15本筆記本共消費(fèi)100-5 =95元.根據(jù)上述等量關(guān)系可以得到相應(yīng)的方程.解：設(shè)筆記本每本x元,那么鋼筆每支為x+2元,據(jù)題意得10 x+2 +15x=100-5解得,x=3 元所以x+2=5 元答：略6、某工廠方案26小時(shí)生產(chǎn)一批零件,后因每小時(shí)多生產(chǎn) 5件,用24 小時(shí),不但完成了任務(wù),而且還比原方案多生產(chǎn)了60件,問原方案生產(chǎn)多少零件？7、甲、乙兩種商品的單價(jià)之和為 100元,由于季節(jié)變化,甲商品降價(jià) 10%乙商品提價(jià)5%調(diào)價(jià)后,甲、乙兩商品的單價(jià)之和比原方案之和學(xué)習(xí)必備 歡送下載提升2%求甲、乙兩種商品的原來單價(jià)？8、甲、已兩個(gè)團(tuán)體共120人去某風(fēng)景區(qū)旅游.風(fēng)景區(qū)規(guī)定超過 80人的 團(tuán)體可購置團(tuán)體票,每張團(tuán)體比個(gè)