六年級奧林匹克數(shù)學(xué)講義三 新定義與新運(yùn)算（二）

1、三、新定義與新運(yùn)算（二） 1.規(guī)定:ab=(b+a)×b,那么(23)5= .2.如果ab表示,例如34,那么,當(dāng)a5=30時, a= . 3.定義運(yùn)算“”如下:對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根據(jù)上面定義的運(yùn)算,1812= . 4.已知a,b是任意有理數(shù),我們規(guī)定: ab= a+b-1,那么 .5.x為正數(shù),<x>表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個數(shù),如<5.1>=3,即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2,3,5共3個.那么<<19>+<93>+<4>×

2、;<1>×<8>>的值是 . 6.如果ab表示,例如45=3×4-2×5=2,那么,當(dāng)x5比5x大5時, x= . 7.如果14=1234,23=234,72=78,那么45= .8.我們規(guī)定:符號表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算,例如:53=35=5,符號表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算,例如:53=35=3.請計算: . 9.規(guī)定一種新運(yùn)算“”: ab=.如果(x3)4=421200,那么x= .10.對于任意有理數(shù)x, y,定義一種運(yùn)算“”，規(guī)定:xy=,其中的表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算.又知道12=3,23=4,xm=x(

3、m0),則m的數(shù)值是 .11.設(shè)a,b為自然數(shù),定義ab. (1)計算(43)+(85)的值;(2)計算(23)4;(3)計算(25)(34).12.設(shè)a,b為自然數(shù),定義ab如下:如果ab,定義ab=a-b,如果a<b,則定義ab= b- a.(1)計算:(34)9;(2)這個運(yùn)算滿足交換律嗎?滿足結(jié)合律嗎?也是就是說,下面兩式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc). 13.設(shè)a,b是兩個非零的數(shù),定義ab.(1)計算(23)4與2(34). (2)如果已知a是一個自然數(shù),且a3=2,試求出a的值.14.定義運(yùn)算“”如下:對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差

4、記為ab.比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則1014=70-2=68.(1)求1221,515;(2)說明,如果c整除a和b,則c也整除ab;如果c整除a和ab,則c也整除b;(3)已知6x=27,求x的值. 三、新定義與新運(yùn)算（二） (答案）第1道題答案： 100.因為23=(3+2)×3=15,所以(23)5=155=(5+15)×5=100.第2道題答案： 8. 依題意,得,解得.第3道題答案： 42.1812=(18,12)+18,12=6+36=42.第4道題答案： 98. 原式 第5道題答案： 11.<19>為不超過19的質(zhì)數(shù),有

5、2,3,5,7,11,13,17,19共8個.<93>為不超過的質(zhì)數(shù),共24個,易知<1>=0,所以原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.第6道題答案： 6.x5-5x=(3 x-2×5)-(3×5-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.第7道題答案： 45678.第8道題答案： .因為,0.625,所以,原式.第9道題答案： 2.令x3=y,則y4=421200,又421200,所以y=24,即x3=24.又24=,故x=2.第10道題答案： 4.

6、由題設(shè)的等式xy=及xm=x(m0),得 , 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得 解得a=5,c=1. 所以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.第11道題答案： (1)原式; (2)原式4=74=; (3)原式13 .第12道題答案： (1)原式=(4-3)9=19=9-1=8; (2)因為表示ab表示較大數(shù)與較小數(shù)的差,顯然ab= ba成立,即這個運(yùn)算滿是交換律,但一般來說并不滿足結(jié)合律,例如:(34)9=8,而3(49)=3(9-4)=35=5-3=2.第13道題答案： (1)按照定義有23,34. 于是(23)44=.

7、 2(34)=2. (2)由已知得 若a6,則2,從而與矛盾.因此a5,對a=1,2,3,4,5這5個可能的值,一一代入式中檢查知,只有a=3符合要求.第14道題答案： (1)為求1221,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,因此1221=84-3=81,同樣道理515=15-5=10. (2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù),則c整除a,b的最大公約數(shù),顯然c也整除a,b最小公倍數(shù),所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差,即c整除ab. 如果c整除a和ab,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù),再由c整除ab推知, c整除a,b的最大公約數(shù),而這個最大公約數(shù)整除b,所以 c整除b. (3)由于運(yùn)算“”沒有直接的表達(dá)式,解這個方程有一些困難,我們設(shè)法逐步縮小探索范圍. 因為6與x的最小公