離散時間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性與判別法

1、5.4離散時間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性及判別法1.離散時間系統(tǒng)的平衡狀態(tài)(點)設(shè)x(k1)Ax(k),x(0)x0,k0,1,2,L,(5.17)稱AXe0的Xe為(5.17)的平衡狀態(tài)(點).當(dāng)A奇異時,有無數(shù)個平衡狀態(tài).2 .平衡狀態(tài)(點)的穩(wěn)定性穩(wěn)定：0,0,使當(dāng)|x.X時,有l(wèi)|x(k)xell,k0；(2)漸近穩(wěn)定：0,使當(dāng)反Xe|時,有kim|x(k)Xell0；(3)全局漸近穩(wěn)定：任意X0Rn,都有l(wèi)im|x(k)x|0；一k、j,(4)不穩(wěn)定：00,無論多小正數(shù),總有ki0,使對定常系統(tǒng),漸近穩(wěn)定全局一致漸近穩(wěn)定.3.穩(wěn)定性判別對定常系統(tǒng)x(k1)Ax(k)假設(shè)xe0穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定),那

2、么其它xe也穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定);假設(shè)xe0漸近穩(wěn)定,那么xe必為一致全局漸近穩(wěn)定；簡單介紹xe0穩(wěn)定性條件設(shè)(5.17)的解那么漸近穩(wěn)定lim|x(k)0|lim卜*|0函0),kklimAk0limTJkT10limJk0kkkA的所有特征值的模全小于1A的所有特征值都位于復(fù)平面上的單位圓內(nèi)其中J為A的假設(shè)當(dāng)形.J1如Jk且再如A的所有特征值的模全小于1A的所有特征值都位于復(fù)平面上的單位圓內(nèi)例設(shè)A有互不相同特征值1,2,L,n,那么T,使由此可得kimAk0.JrJrk定理5.12系統(tǒng)為(5.17)的穩(wěn)定性判定如下：(i) Xe0穩(wěn)定A所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值對應(yīng)的約

3、當(dāng)塊是一階的；(ii)Xe0漸近穩(wěn)定A的所有特征值模全小于1.對一般非線性系統(tǒng)x(k1)F(x(k),k0,1,2,L(5.18)在Xe0(設(shè)F(0)0)的穩(wěn)定性判定方法有定理5.13對(5.18),假設(shè)x(k)的標(biāo)量函數(shù)V(x(k),滿足(i) V(x(k)為正定；(ii)V(x(k)V(x(k1)V(x(k)負(fù)定；(iii)當(dāng)|x(k)|時,有V(x(k).那么xe0全局漸近穩(wěn)定的.假設(shè)無(iii),那么xe0是漸近穩(wěn)定的；再假設(shè)(ii)中V(x(k)為半負(fù)定,那么xe0僅是穩(wěn)定的.定理用于定常系統(tǒng)(5.17),即得定理5.14線性定常離散(5.17)的xe0為漸近穩(wěn)定對Q0,李雅普諾夫方程有唯一正定解P.證只證充分性,即已有對Q0,ATPAPQ有唯一解P令V(xJxTPXk,那么有XT(ATPAP)XkxTQXk,顯見V(Xk)為負(fù)定,故Xe0漸近穩(wěn)定.例5.6設(shè)試分析穩(wěn)定的條件.解選Q=I,那么有ATPAPI,即整理且比擬,得0,要P為正定,需滿足|a|1,|b|1,(5.19)解出11Pii-2