數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：不等式

1、數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：不等式編稿：林景飛 審稿：張揚(yáng) 責(zé)編：嚴(yán)春梅知識網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。2會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型。3通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的了解。4會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計(jì)求解的程序框圖。5會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二 元一次不等式組；會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。重點(diǎn)：不等式性質(zhì)的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，求線性目標(biāo)函數(shù)

2、在線性約束條件下的最優(yōu)解。難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的應(yīng)用，求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：不等式的相關(guān)概念1、不等式：用不等號連接兩個(gè)數(shù)學(xué)解析式所成的式子叫不等式。其中，兩個(gè)解析式可以是代數(shù)式，指 數(shù)式，對數(shù)式，三角式等。不等號可以是, 等，而“”和“”往往分別理解成“”或 “=”和“”或“=”來展開討論。2、在兩個(gè)不等式中： 若每個(gè)的左邊都大于右邊，或每個(gè)的左邊都小于右邊，則稱它們?yōu)橥虿坏仁健?若一個(gè)不等式的左邊大于右邊，而另一個(gè)不等式的左邊小于右邊，則稱它們?yōu)楫愊虿坏仁健?、按不等式在字母允許取值范圍內(nèi)是否成立，可以把不等式分為： 絕對不等式：在字母允許取值范圍內(nèi)恒成立；我們本章中將討

3、論這類不等式的證明問題。 條件不等式：在字母允許取值范圍內(nèi)有些值使不等式成立，而另外一些值使不等式不成立；我們本 章中將討論這類不等式的求解問題。即尋找那些使不等式成立的字母的取值。 矛盾不等式：在字母取值范圍內(nèi)恒不成立。知識點(diǎn)二：不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)（1） （2）（3） （4）不等式的運(yùn)算性質(zhì)（）加法法則： （）減法法則：（）乘法法則： （）除法法則：（）乘方法則：（）開方法則：3不等式的概念和性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換，證明不等式和解不等式的依據(jù)，應(yīng)正確理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì)，弄清每條性質(zhì)的條件與結(jié)論，注意條件與結(jié)論之間的關(guān)系。基本不等式可以在解題時(shí)直接應(yīng)用。知識點(diǎn)三：一元二次不等

4、式的解法1一元二次不等式或的解集：一元二次不等式ax2+bx+c0 (或0)的解可以了解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(a0)，圖象在x軸上方部分對應(yīng)的x值為不等式ax2+bx+c0的解，圖象在x軸下方部分對應(yīng)的x值為不等式ax2+bx+c0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).求解一元二次不等式的步驟，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再解對應(yīng)的一元二次方程，最后根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向，寫出不等式的解集.設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根R注意：若，可以轉(zhuǎn)化為的情形解決.

5、2一元二次不等式的步驟（1）先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)：（2）計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況： 時(shí)，求根（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）； 時(shí)，求根； 時(shí)，方程無解 （3）寫出解集.知識點(diǎn)四：簡單的線形規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法因?yàn)閷υ谥本€Ax+By+c=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x ,y)，實(shí)數(shù)Ax+By+c的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0, y0)（若原點(diǎn)不在直

6、線上，則取原點(diǎn)(0,0)最簡便）.把它的坐標(biāo)代入Ax+By+c，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+c0(或0)表示直線的哪一側(cè).3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在一個(gè)問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by(a，bR)是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目

7、標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解3解線性規(guī)劃問題總體步驟：設(shè)變量找約束條件，找目標(biāo)函數(shù)作圖，找出可行域求出最優(yōu)解規(guī)律方法指導(dǎo)1、不等式的性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換、證明不等式和解不等式的依據(jù)，應(yīng)正確理解和運(yùn)用不等式的性 質(zhì)，弄清每條性質(zhì)的條件與結(jié)論，注意條件與結(jié)論之間的關(guān)系。2、注意對一元二次不等式的認(rèn)知： ax2+bx+c0的解集為（x1, x2）a0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根。 ax2+bx+c0的解集為（-, x1）（x2,+）a0且x1,x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根。3、在應(yīng)用線性規(guī)劃的方法時(shí)，一般具備下列條件： 一定要能夠?qū)?/p>

8、目標(biāo)表述為最大化（極大）或最小化（極?。┑囊?。 一定要有達(dá)到目標(biāo)的不同方法，即必須要有不同的選擇的可能性存在； 所求的目標(biāo)函數(shù)是有約束（限制）條件的； 必須將約束條件用代數(shù)語言表示成為線性等式或線性不等式（組），并將目標(biāo)函數(shù)表示成為線性 函數(shù)。經(jīng)典例題精析類型一：不等式的性質(zhì)1如果 （ ）A B. C. D. 解析：由題可知：又不一定成立，因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)候，取等號，故選C.總結(jié)升華：判別不等式成立與否，應(yīng)緊扣不等式性質(zhì)，當(dāng)出現(xiàn)字母代數(shù)式最常用賦值法.舉一反三：【變式1】已知，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B；特殊值法：令，【變式2】對于實(shí)數(shù)，判斷以下命題的真假.

9、（1）若, 則； （2）若，則；（3）若, 則； （4）若, 則;（5）若，則 ； （6）若且, 則（7）若，則； （8）若，則【答案】（）因?yàn)榈姆柌欢?，所以無法判定和的大小，故原命題為假命題.（）因?yàn)? 所以, 從而，故原命題為真命題.（）因?yàn)?，所?；又，所以 綜合得，故原命題為真命題.（）兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對值大的反而小故原命題為真命題（）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不成立，故原命題為假命題.（）因?yàn)椋杂忠?，所以故原命題為真命題（）因?yàn)榈暮瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故原命題為真命題（）因?yàn)椋?，故原命題為真命題【變式3】設(shè)，求下列各式子的范圍：（1）； （2）； （3）.【答案】（1），, .（2）, . 又,

10、 .（3）, . 又, .類型二：比較大小2已知：, 比較和的大小.思路點(diǎn)撥：作差比較大小.解析： ， .總結(jié)升華：作差比較法基本步驟：作差，變形，判斷差的符號，結(jié)論，其中判斷差的符號為目的，變形是關(guān)鍵，常用變形技巧有因式分解，配方，拆、拼項(xiàng)等方法.舉一反三：【變式1】比較大小.（1）；（2）【答案】（1）作差比較：， （2）作差比較： ， 即 【變式2】已知,試比較和的大小.【答案】， 又即 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，.【變式3】且，比較與的大小.【答案】作差： (1) 當(dāng)， 即時(shí)，此時(shí). (2) 當(dāng)，即 (3) 當(dāng)，, 此時(shí)， 其中時(shí)取等號. (4) 當(dāng) 即時(shí)， 此時(shí)類型三：線性規(guī)劃3畫出3x+y-

11、30所表示的平面區(qū)域.解析：舉一反三：【變式1】下面給出四個(gè)點(diǎn)中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（） 【答案】C【變式2】表示的平面區(qū)域?yàn)椋ǎ?A B CD【答案】B；原不等式可轉(zhuǎn)化為或【變式3】求不等式組表示平面區(qū)域的面積.【答案】不等式所表示的平面區(qū)域如圖 聯(lián)立方程組得 所以4求的最大值和最小值，使式中的,滿足約束條件.思路點(diǎn)撥：關(guān)鍵是找準(zhǔn)可行域.確定目標(biāo)函數(shù)最大值和最小值時(shí)，注意位于直線右上方可行域內(nèi)的解使，而位于直線左下方可行域內(nèi)的解使，所以直線右上方和距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo)使值最大；左下方和直線距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo)，使值最小.解析：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域（如圖所示）作直線，把向右上方平移

12、至位置，即直線經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時(shí)，距原點(diǎn)距離最大，且，這時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由方程組 ，解得，.把直線向左下方平移至位置，即直線l經(jīng)過可行域上點(diǎn)B時(shí)，由于，這時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值.由方程組 ，解得，.總結(jié)升華：本例的解法是解線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)格式.舉一反三：【變式1】已知，求；(1) 的最大值；(2)的范圍.【答案】作出可行域如圖,并求出頂點(diǎn)坐標(biāo). (1) 將代入得最大值21; (2) 表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率的2倍, 因?yàn)? 的范圍是.【變式2】給出平面區(qū)域如圖所示，若使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無窮個(gè)，則的值為_. 【答案】由題意結(jié)合圖形可知,線性目標(biāo)函數(shù)與可行域的一邊界平行,可得

13、.【變式3】如果點(diǎn)在平面區(qū)域上，點(diǎn)在曲線上，那么的最小值為（ ）A B C D【答案】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 要求的最小值只需求出圓心到平面區(qū)域的最小值再減去半徑1即可。 由圖象可以知道圓心到平面區(qū)域的最小值就是圓心到直線的 距離（垂足為A） 所以，故選類型四：解不等式5解不等式（1）1|2x+1|3 ； （2）2x23x20解析：（1）1|2x+1|3，12x+13 或-32x+1-1 0x1 或-2x-1 故原不等式的解集為（2）由得 故原不等式的解集為.總結(jié)升華：1解不等式是通過變形轉(zhuǎn)化為簡單不等式從而得到解集，每一步變形既充分又必要.2一些含絕對值符號的不等式，含有參數(shù)的不等

14、式必須進(jìn)行討論.舉一反三：【變式1】解不等式：（1）|2x+1|x4 （2）2x23x20【答案】（1）當(dāng)2x+10時(shí)，原式化為2x+1x4，解得x1 當(dāng)2x+10時(shí)，原式化為-2x-1x4，解得x-5 原不等式的解集為（2）由得：或， 解得或 故原不等式的解集為.【變式2】解不等式 【答案】 ， 故原不等式的解集為.6已知：關(guān)于的不等式的解集為， 求解關(guān)于的不等式：.思路點(diǎn)撥：由二次不等式的解集為可知1，2是方程的二根，故由韋達(dá)定理可求出a,b的值，從而解得.解析：由韋達(dá)定理有：得, 代入不等式得即，解得或.的解集為：.舉一反三：【變式1】已知不等式0的解集為，求m、n的值.【答案】不等式0

15、的解集為， 是方程的實(shí)數(shù)根， ，【變式2】設(shè)關(guān)于x的不等式ax+b 0的解集為（1，），求關(guān)于x 的不等式的解集.【答案】 或 故原不等式的解集為.7解關(guān)于的不等式：思路點(diǎn)撥：最高項(xiàng)的系數(shù)為字母，因此求解中，必須對實(shí)數(shù)的取值分類討論.解析：當(dāng)時(shí)，原不等式為，原不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于., 原不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，需要考慮與1的大小.當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)?這是不可能的， 解集為空集.當(dāng)時(shí), , 原不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，, 原不等式的解集為.綜上可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.總結(jié)升華：這道題非常簡明解答起來，只要概念清楚，方法運(yùn)用恰當(dāng)，步驟也不多，書寫量也不算大.舉一反

16、三：【變式1】解關(guān)于x的不等式： （a0)【答案】 【變式2】對于任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】當(dāng)時(shí)，不等式為，即，不符合題意， 當(dāng)時(shí)，原不等式為二次不等式. 要使 對任意均成立， 則y=(m-1)x2-mx+m-1的圖象 如圖所示： 因而 即 解得 m的取值范圍為：.【變式3】解關(guān)于x的不等式：，.法一：當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于， 解得即, ；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于， 解得,即, .綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.法二：根據(jù)對數(shù)定義，必須,因?yàn)?，所以：?dāng)時(shí)，由于是增函數(shù)，又，所以原不等式等價(jià)于, 即,.當(dāng)時(shí)，由于是減函數(shù)，又, 所以原不等式等價(jià)于, 綜

17、上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為法三：原不等式等價(jià)于,當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于,即, ,，, , ；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于,由和，得即或.若，則即,得, 與條件矛盾；若，則即,得；因?yàn)?綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為高考題萃1（2008廣東）設(shè)，若，則下列不等式中正確的是（ ）A. B. C. D.答案：D解析：利用賦值法:令排除A,B,C,選D.2.（2008浙江）已知，b都是實(shí)數(shù)，那么“”是“b”的( )A.充分而不必要條件 B必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案：D解析：利用賦值法:令，滿足，但b，“”是“b”的非充分條件；令，滿足b

18、，但，“”是“b”的不必要條件；“”是“b”的既不充分也而不必要條件.3.（2008四川）不等式的解集為( )ABCD答案：A解析： ，即，解得，.法二：利用賦值法:取，不滿足，排除C, D；取，滿足，排除B.4（2008山東）不等式的解集是（ ）A B C D答案：D解析：由題意得：且，解得且.法二：利用賦值法:顯然，排除B；取，滿足，排除C；取，不滿足，排除A.5.（2008湖北）在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點(diǎn)的集合用陰影表示為下列圖中的（ ） A B C D答案：C6.（2008湖南）已知變量x、y滿足條件則的最大值是( )A.2 B.5 C.6 D.8 答案：C解析：如圖得可行域

19、為一個(gè)三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為代入驗(yàn)證知在點(diǎn)時(shí),最大值是7（2008北京）若實(shí)數(shù)滿足則的最小值是（ ）A0 B1 C D9答案：B8.（2008福建）若實(shí)數(shù)x、y滿足則的取值范圍是( )A.(0,1) B. C.(1,+) D.答案：C9.（2008陜西）已知實(shí)數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)等于（ ）A7 B5 C4 D3答案：B10.（2008山東）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（ ）A1,3 B2, C2,9 D,9答案：C11.（2008上海）不等式的解集是_.答案：12（2008江西）不等式的解集為_答案：解析：依題意13（2008山

20、東）若不等式3x-b4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍為_.答案：（5，7）解析：由3x-b4得，又滿足條件的的整數(shù)有且僅有1，2，3，所以且，故.14.（2008全國I）若滿足約束條件則的最大值為_答案：9解析：如圖，畫出可行域,作出直線，將平移至過點(diǎn)處時(shí)，函數(shù)有最大值9.15.（2008浙江）若，且當(dāng)時(shí)，恒有，則以,b為坐標(biāo)點(diǎn)P（，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于_.答案：116.（2008安徽）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從2連續(xù)變化到1時(shí)，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為_.答案：學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1設(shè)是非零實(shí)數(shù)，若，則下列不等式成立的是（）A B C D2若,

21、，則的值為()A大于0 B小于0 C等于0 D符號不確定3當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（）A B C D4若，則的元素個(gè)數(shù)為（）A0 B1 C2 D35不等式的解集是（ ）A B C D6在上定義運(yùn)算：若不等式對任意實(shí)數(shù)x成立，則（）A B C D7的解集是_。8不等式的解集是_9設(shè)函數(shù)，則_；若，則的取值范圍是_10若有負(fù)值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。11已知，試比較與的大小12若關(guān)于的不等式的解集是,求,的值.能力提升：13已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（）A B C D14若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則的取值范圍是（）A B C D或15設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_16

22、已知實(shí)數(shù)滿足則的取值范圍是_17當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是_18設(shè)函數(shù)（I）解不等式；（II）求函數(shù)的最小值19解不等式20某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？綜合探究：21設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）試比較與的大小并說明理由參考答案：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1C解析：A中，若，則，故A 不成立；B中，若，滿足，得到，故B不成立；C中，因?yàn)槭欠橇銓?shí)數(shù)即，且，所以，即成立；D中，若，則，所以不成立。2A3A4C解析：因?yàn)?，所以；又，所以，故選5D 解析：因?yàn)?，所以選D。6 C解析：，不等式對任意實(shí)數(shù)x成立，等價(jià)于對任意實(shí)數(shù)x成立，即使對任意實(shí)數(shù)x成立，所以，解得，78解析：。96