上海高二數(shù)學(xué)矩陣及其運(yùn)算(有詳細(xì)答案)精品

1、上海版高二上數(shù)學(xué)矩陣及其運(yùn)算一初識(shí)矩陣（一）引入：引例1：已知向量，如果把的坐標(biāo)排成一列，可簡(jiǎn)記為；引例2：2008年北京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前三位成績(jī)?nèi)缦卤恚邯?jiǎng)項(xiàng) 國(guó)家（地區(qū)）金牌銀牌銅牌中國(guó)512128美國(guó)363836俄羅斯232128 我們可將上表獎(jiǎng)牌數(shù)簡(jiǎn)記為：；引例3：將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列，可簡(jiǎn)記為；若將常數(shù)項(xiàng)增加進(jìn)去，則可簡(jiǎn)記為：。（二）矩陣的概念1、上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個(gè)行向量及個(gè)列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。

2、有時(shí)矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個(gè)數(shù)為。4、當(dāng)一個(gè)矩陣中所有元素均為0時(shí)，我們稱這個(gè)矩陣為零矩陣。如為一個(gè)階零矩陣。5、當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)及列數(shù)相等時(shí)，這個(gè)矩陣稱為方矩陣，簡(jiǎn)稱方陣，一個(gè)方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。在一個(gè)階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣及矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么及叫做同階矩陣；如果矩陣及矩陣是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置

3、的元素都相等時(shí)，那么矩陣及矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對(duì)于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。（三）、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國(guó)第一位奧運(yùn)會(huì)射箭比賽金牌得主張娟娟及對(duì)手韓國(guó)選手樸成賢在決賽中的各階段成績(jī)表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績(jī)張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績(jī)各階段成績(jī)用矩陣表示；（2）寫出行向量、列向量，并指出其實(shí)際意義。例2、已知矩陣且，求、的值及矩陣。例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）例4、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的方程組：（1）

4、 （2）例5、已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。（四）、課堂練習(xí)：1、請(qǐng)根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個(gè)階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。2、奧運(yùn)會(huì)足球比賽中國(guó)隊(duì)所在C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國(guó)平新西蘭11 巴西勝比利時(shí)10 中國(guó)負(fù)比利時(shí)02巴西勝新西蘭50 中國(guó)負(fù)巴西03 比利時(shí)勝新西蘭01（1）試用一個(gè)4階方陣表示這4個(gè)隊(duì)之間的凈勝球數(shù)；（以中國(guó)、巴西、比利時(shí)、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場(chǎng)可得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，試寫出一個(gè)4階方陣表示各隊(duì)的得分情況；（排列順序及（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)

5、（1）、（2）兩個(gè)矩陣確定各隊(duì)名次。二、矩陣的三種基本變換（一）、復(fù)習(xí)引入：引例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）（二）、矩陣的三種基本變換新課講解：通過上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。 顯然，通過以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后一個(gè)列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價(jià)值13

6、2元，每公斤一元硬幣價(jià)值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計(jì)462個(gè)，問其中一元及五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。例3、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）說明：（1）符合情況）時(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無解； （3）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無窮多解。（四）、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問題：（1）若方程組的解及相等，求的值。（2）有黑白兩種小球各若干個(gè)，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱

7、量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱量第二次稱量（3）解方程組：三、矩陣運(yùn)算 （對(duì)從實(shí)際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們?cè)谑裁礂l件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.） 1相等 定義 如果兩個(gè)矩陣，滿足： (1) 行、列數(shù)相同，即 ； (2) 對(duì)應(yīng)元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，則稱矩陣A及矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個(gè)mn矩陣相等，等價(jià)于元素之間的mn個(gè)等式.）例如，矩陣A

8、=， B = 那么A = B，當(dāng)且僅當(dāng)a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因?yàn)锽, C這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同，所以無論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會(huì)及矩陣B相等.2加法定義2.3 設(shè)，是兩個(gè)mn矩陣，則稱矩陣C = 為A及B的和，記作C = A + B = （由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A - B = A + (-B ) =稱D為A及B的差.例1 設(shè)矩陣A =， B =，求A + B，A - B.例2、矩陣，

9、若，求的值。 矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 設(shè)A, B, C, O都是mn矩陣，不難驗(yàn)證矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)則 1. 加法交換律： A + B = B + A； 2. 加法結(jié)合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩陣滿足： A + O = A； 4. 存在矩陣-A，滿足：A -A = A + (-A ) = O . 3數(shù)乘 定義2.4 設(shè)矩陣，為任意實(shí)數(shù)，則稱矩陣為數(shù)及矩陣A的數(shù)乘，其中，記為C =A （由定義2.4可知，數(shù)乘一個(gè)矩陣A，需要用數(shù)去乘矩陣A的每一個(gè)元素.特別地，當(dāng) = -1時(shí)，A = -A，得到A的負(fù)矩陣.） 例3 設(shè)矩陣A =，用2

10、去乘矩陣A，求2A. 數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 對(duì)數(shù)k , l和矩陣A = ，B =滿足以下運(yùn)算規(guī)則： 1. 數(shù)對(duì)矩陣的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩陣對(duì)數(shù)的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 數(shù)及矩陣的結(jié)合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 數(shù)1及矩陣滿足： 1A = A. 例4 設(shè)矩陣 A =，B =，求3A - 2B.例5給出二元一次方程組存在唯一解的條件。4乘法 某地區(qū)甲、乙、丙三家商場(chǎng)同時(shí)銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣A表示各商場(chǎng)銷售這兩種家用電器的日平均銷售量（單位：臺(tái)），用B表示

11、兩種家用電器的單位售價(jià)（單位：千元）和單位利潤(rùn)（單位：千元）： I II 單價(jià) 利潤(rùn)III甲乙丙 A = B = 用矩陣C = 表示這三家商場(chǎng)銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤(rùn)，那么C中的元素分別為總利潤(rùn)總收 入 ， 即C = 其中，矩陣C中的第行第j列的元素是矩陣A 第行元素及矩陣B 第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和. 矩陣乘積的定義 設(shè)A=是一個(gè)ms矩陣，B=是一個(gè)sn矩陣，則稱mn矩陣C =為矩陣A及B的乘積，記作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩陣乘積的定義可知

12、：） (1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時(shí)，A, B才能作乘法運(yùn)算AB； (2) 兩個(gè)矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)； (3) 乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素及B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，故簡(jiǎn)稱行乘列的法則. 例6 設(shè)矩陣 A = ， B = ，計(jì)算AB. 例7 設(shè)矩陣 A = ，B =， 求AB和BA. 由例6、例7可知，當(dāng)乘積矩陣AB有意義時(shí)，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時(shí)，AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時(shí)，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變. 在例6中

13、矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個(gè)零矩陣（AB = O），即兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當(dāng)AB = O，不能得出A和B中至少有一個(gè)是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當(dāng)乘積矩陣AB = AC，且AO時(shí)，不能消去矩陣A，而得到B = C.這說明矩陣乘法也不滿足消去律. 那么矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算規(guī)則呢？ 矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)則： 1. 乘法結(jié)合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中

14、k是一個(gè)常數(shù).例8：已知，矩陣，求。解：，這可以看作向量經(jīng)過矩陣變換為向量。變換后的向量及原向量關(guān)于直線對(duì)稱。練習(xí)：已知，矩陣，（1）求；（2）說明矩陣對(duì)向量產(chǎn)生了怎樣的變換。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 例9、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在1,2 上的最小值.例10：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱為及可變換，設(shè)，求所有及可交換的矩陣。例12、,求練習(xí):設(shè)，求、，猜測(cè)并證明。5轉(zhuǎn)置 矩陣轉(zhuǎn)置的定義 把將一個(gè)mn矩陣A =的行和列按順序互換得到的nm矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，即 由定義2.6可知，轉(zhuǎn)置矩陣的第行第j列的元素等于矩陣A的第j行

15、第列的元素，簡(jiǎn)記為的（，j）元 = A的（j，）元 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算規(guī)則： 1. = A； 2. = +； 3. = k , ( k為實(shí)數(shù))； 4. =.高二數(shù)學(xué)講義第十八講（130812）課后作業(yè)（本試卷共19題，時(shí)間45分鐘，滿分100分）班級(jí)： 姓名： 一、選擇題(每小題4分,共15個(gè)小題,共60分)1、“兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件2、用矩陣及向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ）A、 B、C、 D、3、若，且，則矩陣_.4、點(diǎn)A（1，2）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的

16、坐標(biāo)是_5、已知是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，那么a+b= .6、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1，0），那么= .7、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（2，4），那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .8、已知，若A=B，那么+= .9、設(shè)A為二階矩陣，其元素滿足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩陣 A= .10：，且，那么A+AB= 。 11、一個(gè)線性方程組滿足，系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1行3列的矩陣，那么該線性方程組為 。12、計(jì)算:若矩陣，則_.13、計(jì)算：= .14.線性方程組對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣是_，增廣矩陣是_.15、已知矩陣，則_.二、簡(jiǎn)答題1.已知，分別計(jì)算，猜測(cè)；2.

17、將下列線性方程組寫成矩陣形式，并用矩陣變換的方法求解:3.若，則_.4、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在上的最小值.老師講義2013年暑期高二數(shù)學(xué)講義第十八講（130812）矩陣及其運(yùn)算一初識(shí)矩陣（一）引入：引例1：已知向量，如果把的坐標(biāo)排成一列，可簡(jiǎn)記為；引例2：2008年北京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前三位成績(jī)?nèi)缦卤恚邯?jiǎng)項(xiàng) 國(guó)家（地區(qū)）金牌銀牌銅牌中國(guó)512128美國(guó)363836俄羅斯232128 我們可將上表獎(jiǎng)牌數(shù)簡(jiǎn)記為：；引例3：將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列，可簡(jiǎn)記為；若將常數(shù)項(xiàng)增加進(jìn)去，則可簡(jiǎn)記為：。（二）矩陣的概念1、上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的

18、向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個(gè)行向量及個(gè)列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時(shí)矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個(gè)數(shù)為。4、當(dāng)一個(gè)矩陣中所有元素均為0時(shí)，我們稱這個(gè)矩陣為零矩陣。如為一個(gè)階零矩陣。5、當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)及列數(shù)相等時(shí)，這個(gè)矩陣稱為方矩陣，簡(jiǎn)稱方陣，一個(gè)方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。在一個(gè)階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單

19、位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣及矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么及叫做同階矩陣；如果矩陣及矩陣是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣及矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對(duì)于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。（三）、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國(guó)第一位奧運(yùn)會(huì)射箭比賽金牌得主張娟娟及對(duì)手韓國(guó)選手樸成賢在決賽中的各階段成績(jī)表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績(jī)張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績(jī)各階段成績(jī)用矩陣表示；（2）寫出行向量、列向量，并指出

20、其實(shí)際意義。解：（1）（2）有兩個(gè)行向量，分別為：， 它們分別表示兩位運(yùn)動(dòng)員在決賽各階段各自成績(jī)； 有五個(gè)列向量，分別為 它們分別表示兩位運(yùn)動(dòng)員在每一個(gè)階段的成績(jī)。例2、已知矩陣且，求、的值及矩陣。解：由題意知：解得：，又由解得：，例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）解：（1）； （2）例4、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的方程組：（1） （2）解：（1） （2）例5、已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。解：由單位矩陣定義可知：，（四）、課堂練習(xí)：1、請(qǐng)根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個(gè)階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。解：2、奧運(yùn)會(huì)足球比賽中國(guó)隊(duì)所在

21、C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國(guó)平新西蘭11 巴西勝比利時(shí)10 中國(guó)負(fù)比利時(shí)02巴西勝新西蘭50 中國(guó)負(fù)巴西03 比利時(shí)勝新西蘭01（1）試用一個(gè)4階方陣表示這4個(gè)隊(duì)之間的凈勝球數(shù)；（以中國(guó)、巴西、比利時(shí)、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場(chǎng)可得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，試寫出一個(gè)4階方陣表示各隊(duì)的得分情況；（排列順序及（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個(gè)矩陣確定各隊(duì)名次。解：（1）（2）（3）名次為巴西、比利時(shí)、中國(guó)、新西蘭。二、矩陣的三種基本變換（一）、復(fù)習(xí)引入：引例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，并分析這些

22、增廣矩陣所對(duì)應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：這些方程組為；這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解都是相同的。（二）、矩陣的三種基本變換新課講解：通過上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。 顯然，通過以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后一個(gè)列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價(jià)值132元，每公斤一元硬幣價(jià)值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計(jì)4

23、62個(gè)，問其中一元及五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）解：設(shè)一元硬幣有個(gè)，五角硬幣有個(gè)，則根據(jù)題意可得：加到不變 則該方程組的增廣矩陣為，設(shè)、分別表示矩陣的第1、2行，對(duì)矩陣進(jìn)行下列變換：不變不變 加到不變 由最后一個(gè)矩陣可知：答：一元硬幣有110個(gè)，五角硬幣有352個(gè)。例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。解：此方程對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：設(shè)此矩陣第1、2、3行分別為、，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換：加到加到不變 、不變加到加到不變 加到加到不變、不變 交換、不變， 此方程組的解為說明：1、利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個(gè)行向量所對(duì)應(yīng)的方程只有一個(gè)變量； 2、在變換過程中，實(shí)際為

24、加減消元的過程，此過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)某绦蜻M(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算。例3、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）加到不變解：此方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：，設(shè)、分別表示此矩陣的第1、2行，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換： ）當(dāng)，即時(shí)，以上矩陣可作如下變換：加到不變不變 不變 ，此時(shí)方程有唯一解；）當(dāng)即時(shí)，若即時(shí)，方程組無解；）當(dāng)即時(shí)且時(shí)，方程組有無窮多解，它們均符合。說明：（1）符合情況）時(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無解； （3）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無窮多解。（四）、課堂練習(xí)：用矩陣

25、變換方法解下列問題：（1）若方程組的解及相等，求的值。解： 解得，由題意知：求得：。（2）有黑白兩種小球各若干個(gè)，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱量第二次稱量解：設(shè)黑球和白球的質(zhì)量各為、千克，則由題意知：通過矩陣變換解得：黑球每個(gè)3千克，白球每個(gè)1千克。（3）解方程組：解：即方程組的解為。三、矩陣運(yùn)算 （對(duì)從實(shí)際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們?cè)谑裁礂l件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.） 1相等 定義 如果兩個(gè)矩陣，滿足

26、： (1) 行、列數(shù)相同，即 ； (2) 對(duì)應(yīng)元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，則稱矩陣A及矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個(gè)mn矩陣相等，等價(jià)于元素之間的mn個(gè)等式.）例如，矩陣A =， B = 那么A = B，當(dāng)且僅當(dāng)a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因?yàn)锽, C這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同，所以無論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會(huì)及矩陣B相等.2加法定義2.3 設(shè)，是兩個(gè)mn矩陣，則稱矩陣C = 為A及

27、B的和，記作C = A + B = （由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A - B = A + (-B ) =稱D為A及B的差. 例1 設(shè)矩陣A =， B =，求A + B，A - B. 解 ： A + B = + A - B = -例2、矩陣，若，求的值。解：由A+B=C知：cos cos =tan + tan=-1;1-tan tan=7，知由于，知：從而,有 矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 設(shè)A, B, C, O都是mn矩陣，不難驗(yàn)證矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)則 1. 加法交換律： A + B = B + A； 2

28、. 加法結(jié)合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩陣滿足： A + O = A； 4. 存在矩陣-A，滿足：A -A = A + (-A ) = O . 3數(shù)乘 定義2.4 設(shè)矩陣，為任意實(shí)數(shù)，則稱矩陣為數(shù)及矩陣A的數(shù)乘，其中，記為C =A （由定義2.4可知，數(shù)乘一個(gè)矩陣A，需要用數(shù)去乘矩陣A的每一個(gè)元素.特別地，當(dāng) = -1時(shí)，A = -A，得到A的負(fù)矩陣.） 例3 設(shè)矩陣A =那么，用2去乘矩陣A，可以得到2A = 數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？ 對(duì)數(shù)k , l和矩陣A = ，B =滿足以下運(yùn)算規(guī)則： 1. 數(shù)對(duì)矩陣的分配律：k (A + B ) =

29、 kA + kB； 2. 矩陣對(duì)數(shù)的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 數(shù)及矩陣的結(jié)合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 數(shù)1及矩陣滿足： 1A = A. 例4 設(shè)矩陣 A =，B =，求3A - 2B. 解 先做矩陣的數(shù)乘運(yùn)算3A和2B，然后求矩陣3A及2B的差. 3A = 2B = 3A - 2B = -= 例5給出二元一次方程組存在唯一解的條件。解：原方程組可以表示成，其中是三個(gè)列向量，由平面分解定理可知，當(dāng)向量不平行時(shí)，向量可表示成向量的線性組合，且系數(shù)唯一，那么對(duì)應(yīng)的方程組有存在唯一解，即。 4乘法 某地區(qū)甲、乙、丙三家商

30、場(chǎng)同時(shí)銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣A表示各商場(chǎng)銷售這兩種家用電器的日平均銷售量（單位：臺(tái)），用B表示兩種家用電器的單位售價(jià)（單位：千元）和單位利潤(rùn)（單位：千元）： I II 單價(jià) 利潤(rùn)III甲乙丙 A = B = 用矩陣C = 表示這三家商場(chǎng)銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤(rùn)，那么C中的元素分別為總利潤(rùn)總收 入 ， 即C = 其中，矩陣C中的第行第j列的元素是矩陣A 第行元素及矩陣B 第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和. 矩陣乘積的定義 設(shè)A=是一個(gè)ms矩陣，B=是一個(gè)sn矩陣，則稱mn矩陣C =為矩陣A及B的乘積，記作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + +

31、ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩陣乘積的定義可知：） (1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時(shí)，A, B才能作乘法運(yùn)算AB； (2) 兩個(gè)矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)； (3) 乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素及B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，故簡(jiǎn)稱行乘列的法則. 例6 設(shè)矩陣 A = ， B = ，計(jì)算AB. 解 AB = 在例6中，能否計(jì)算BA？ 由于矩陣B有2列，矩陣A有3行，B的列數(shù)A的行數(shù)，所以BA是無意義的. 例7 設(shè)矩陣 A = ，B =， 求AB和B

32、A. 解 AB = BA = = 由例6、例7可知，當(dāng)乘積矩陣AB有意義時(shí)，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時(shí)，AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時(shí)，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變. 在例6中矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個(gè)零矩陣（AB = O），即兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當(dāng)AB = O，不能得出A和B中至少有一個(gè)是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當(dāng)乘積矩陣AB = AC，且AO時(shí)，不能消去矩陣A，而得到B = C.這說明矩陣乘法也不滿足消去律. 那么矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算規(guī)則呢？ 矩陣乘法

33、滿足下列運(yùn)算規(guī)則： 1. 乘法結(jié)合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一個(gè)常數(shù).例8：已知，矩陣，求。解：，這可以看作向量經(jīng)過矩陣變換為向量。變換后的向量及原向量關(guān)于直線對(duì)稱。練習(xí)：已知，矩陣，（1）求；（2）說明矩陣對(duì)向量產(chǎn)生了怎樣的變換。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 解：略解（1）1行1列；（2）n行n列。例9、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在1,2 上的最小值.解: BC=, 又 A=BC，x1,2 當(dāng)a時(shí)，函數(shù)在1,2上的最小值為. 當(dāng)1a2時(shí)，函數(shù)在1,2上的最小值為.當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)在1,2上的最小值為點(diǎn)評(píng)：（1）本題運(yùn)用了行矩陣及列矩陣的乘法規(guī)則及兩個(gè)矩陣相等的充要條件；（2）求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，通常需要分類討論. 例10：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（1）；（2）。解：（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱為及可變換，設(shè)，求所有