27年考研數(shù)學(xué)一真題及答案

1、2007年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題(1,10小題，每小題4分，共40分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。)(1)當(dāng)XT十時(shí)，與、回等價(jià)的無(wú)窮小量是(A)】(B)”II(C)Jt(D)：【答案】BoI【解析】s，產(chǎn)、工/I*irfIXI，;1(當(dāng)x0+)時(shí)FUI.I%/=口n(1+x)-in(1-、力e/-Jl+.戊一12尤1一?？跉?/幾個(gè)不同階的無(wú)窮小量的代數(shù)和，其階數(shù)由其中階數(shù)最低的項(xiàng)來(lái)決定。綜上所述，本題正確答案是B。j【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較(2)曲線=：+e)漸近線的條數(shù)為(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】Do【

2、解析】由于limy=lim-+ln(l+e=工 T。工 T。,則匯=O是曲線的垂直漸近線；所以y二。是曲線的水平漸近線;斜漸近線：由于-8 一側(cè)有水平漸近線，則斜漸近線只可能出現(xiàn)在十 8 一側(cè)j.1,(1+=lim+lim大 T+co 凡，+00.ex=04-lim=1i+exXT十 8,丁*1b-lim(y-x-lim-+/n(1+-x*T+8XT+8lim+in(1+-lnexT+8+小。則曲線有斜漸近線y=故該曲線有三條漸近線。|:綜上所述，本題正確答案是Do【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線一一,*I、產(chǎn)II(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=fQ)在區(qū)間-3,-22

3、,3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間一2,00,2上的圖形分別是直徑為：。一)?,則下列形分正確的是(A)i：)-2(B)/；(C)：一口三)(D)|“-，)limy=UmXT+8XT+8二 f+8|+/nCl+ex)=+8V二+I兌(1+a=lim-=limxx2的下、上半圓周，設(shè)【答案】C?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧克膫€(gè)選項(xiàng)中出現(xiàn)的FQO在四個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值可根據(jù)定積分的幾何意義確定F=/派)出=IIF(_2)=J2f(t)dt-J=1尸(一3)二就二-f3f(t)dt=-J=|TT：I3.-則”一D八/;l!It【方法二】r-.I|步、由定積分幾何意義知12-VM),。,排除(B)又由

4、/的圖形可知/的奇函數(shù)，則F(W=J(t)dt為偶函數(shù)，從而F(-3)=F(3)0,F(-2)=F(2)0顯然排除(A)和(D),故選(C)。I|綜上所述，本題正確答案是Co【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分的應(yīng)用0設(shè)函數(shù)外尤)在x=處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(A)若!”丁存在，則f()二(B)若然三一存在，則汽。)二廠rw(C)若:”丁存在，則/()存在穴外一代 7)(D)若:貨一工一存在，則八)存在【答案】Do【解析】i.Kx)limx=0Umf(x)-0(A):若;”丁存在，因?yàn)橛?z 則.，又已知函數(shù)f在尤二處連續(xù),limf(x)=/(O)所以 a。，故f(

5、S=O,(A)正確；)UmfM+f(-x)=/(O)+/(0)=0(B):若 A。尤存在，則 a。，則f()二,故(B)正確。則r(o)存在，故(C)正確rfW-f(o)不能說(shuō)明然一工一存在例如f(x)=I力在光=0處連續(xù)，r汽燈一嗎S7存在，但是r()不存在，故命題(D)不正確。綜上所述，本題正確答案是Do【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一導(dǎo)數(shù)和微分的概念設(shè)函數(shù)FO)在(0.+8)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且尸(工)0,令=/5)5=12?),則下列形分正確的是(A)若%為則口力必收斂(B)若出血,則口力必發(fā)散(C)若也四,則口”必收斂0)若出,知曲線y=fa)是凹的，顯然，圖1排除選項(xiàng)(A),其中取

6、=f8尸一 8;圖2排除選項(xiàng)(B);圖3排除選取=；在(，十)上，f8,且f(D=1f(2)=；,但山=f(m=；T。,排除B;取f二巴在(0,+8)上，/)。，且f(l)=eVf(2)=,但%=/=T+8,排除(C),故應(yīng)選(D)【方法三】由拉格朗日中值定理知u2-u1=/(2)-/(I)=/(c)0,(1c2時(shí)，f5)=/(n)-f(2)+7(2)=f/)3一2)+/(2)(2f,且空匚，則f/從而有f(X)/(c)(n-2)+f(2)T+8則有一)一綜上所述，本題正確答案是Do【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(6)設(shè)曲線L：fQ，y)=1(/()具有一階連

7、續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過(guò)第U象限內(nèi)的點(diǎn)M和第IV象限的點(diǎn)N,為人上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，則下列小于零的是(A)/)%)項(xiàng)(C),其中+8；故應(yīng)選(D)詼二二八幾)二(n-2)二一千 8,琲除A；(C)I；：、(D)JJ仁門小1一小【答案】Bo【解析】設(shè)MN的坐標(biāo)分別為MgyRN(電，則由題設(shè)可得不?2因?yàn)镮I,rf(xty)dx-,rdx=0,Jfy)dy=Jrdy=y2-%0.Jrf8y)ds=Jrds=T的弧長(zhǎng)0.Jf；(Xy)d+FyO,y)dy=jr0dx+Ody=0_:綜上所述，本題正確答案是B。/I.的線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是(A)“2%-(B嚴(yán)=5(C)(D)2a2,a2-2a3

8、fa3-2al2a2,a2+2aa，。？+2ctl【答案】A【解析】(A):因?yàn)?一見)十(9一色)十 g 廠aj=所以向量組%_%-a第%線性相關(guān)；(B)：(d1+a2fa2+a3fa3+aj=(alta23)101110Lo11J因?yàn)閍l，Q2/3線性無(wú)關(guān),所以判斷為十2，畋+3-2aL)=(a1Ta2,a3)2100-217看,同理由一2g,g-2%心-2%線性無(wú)關(guān);綜上所述，本題正確答案是A。【考點(diǎn)】線性代數(shù)一向量一向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)yl二(8)設(shè)矩陣(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似【答案】B?！窘馕觥扛鶕?jù)相似的必要條件形=工如

9、,易得A和B肯定不相似,10-2-2100-21201201012012120120二同理由十十2a3履十皿線性無(wú)關(guān)與A則同的充分必要條件是具有相同的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)。知矩陣A的特征值3,3，0.故二次型Ax的正慣性指數(shù)p=2,負(fù)慣性指數(shù)q=0,而二次型E*也是正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)9=0,所以4和月合同LI綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)一二次型一二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣(9)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為P(。Pv1)，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(A)i13句；。刃(C)i：

10、(D)P3P；【答案】Co【解析】，i-,Il根據(jù)獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)，前3次試驗(yàn)中有1次成功和2次失敗，其概率為。如(1-P)：第4次試驗(yàn)成功，其概率為P,所以此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為P(1-P)2?P=3PZ(1-P)2綜上所述，本題正確答案是Co【考點(diǎn)】概率分與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一隨機(jī)事件和概率一概率的基本公式，事件的獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(10)設(shè)隨機(jī)變量(X/)服從二維正態(tài)分布，且大與丫不相關(guān)，&a(37)分別表示x，y的概率密度，則在Y二y的條件下，的條件概率密度瓢屋*為(A)；(B)(C),廠)，【答案】A。XE-A=A-2111A-2111A-2A1A-2=A(A-

11、3)2【解析】隨機(jī)變量(x，y)服從二維正態(tài)分布，且x與y不相關(guān)，說(shuō)明x與y相互獨(dú)立，且f(xry)=fxWfyQy)在卜=y的條件下，根據(jù)題目顯然分)芋)的條件概率密度/用y5為A|rCx|y)=77(yJ=A(x)綜上所述，本題正確答案是A?！究键c(diǎn)】概率分與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一多維隨機(jī)變量及其分布一二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性，常用二維隨機(jī)變量的分布二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分)(11)尤=。一乖1|【答案】1-0【方法一】=-J(麗)=-+,X、/XI111-產(chǎn)+e+ex【方法二】令：,則】,J5于dx=-JteK-JieLd

12、tu1I2Z=e-e|i=*綜上所述，本題正確答案是【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法(12)設(shè)是二元可微函數(shù)，胃=加%力，則得二。.1一【答案】d，口【解析】;1丁冉.JiI-ii利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方式，可直接得出=fi?yxy-f2?yxlny綜上所述，本題正確答案是人?*一+，2?產(chǎn)嗎【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微分學(xué)一多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(13)二階常系數(shù)非齊次微分方程y-4y+3y=2工B的通解為y=。ftIl|答案y=ce+cx25其中Ci,g為任意常數(shù)【解析】、m號(hào)/iiF、對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為M-44+3=。?4=1,4=3則對(duì)應(yīng)齊

13、次方程的通解為丁設(shè)原方程特解為1:，代入原方程可得471e-84/1+34/，=2e2x7A=-2所以原方程的特解為,故原方程的通解為=C，e*+-2巴2,其中2為任意常數(shù)，綜上所述，本題正確答案是了=叱+0-2/其中CLQ為任意常數(shù)?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一常微分方程一簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(14)設(shè)曲面團(tuán)+|y|+團(tuán)=1,則典Q-由積分區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性有,益匯dS=O,#.|x|dS=毋|y|dS=力團(tuán)dS乙乙七所以，“：心?rMes?.故JJ,iT)S綜上所述，本題正確答案是【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算0100L0010:：(15)設(shè)矩陣0

14、001則屈的秩為。Lu00OJ【答案】1。.!11【解析】一:因?yàn)?1000所以“，一1。綜上所述，本題正確答案是1【考點(diǎn)】線性代數(shù)一矩陣一矩陣的乘法，矩陣的秩(16)在區(qū)間(J)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于；的概率為【答案】:oooOoooOoooOoooOoooOoooO- -43o o1 1OOOOJ J1 1ooooOoooOoooOoooOoooO O- -2 2【解【解析】假定在區(qū)間（OJ）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)為X*,則0XL0y1,把（火）看做直角坐標(biāo)系內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則如下圖所示，（*）為正方形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，而滿足1lx-如之的點(diǎn)的區(qū)域就是下圖陰影區(qū)域。根據(jù)幾何型概率

15、，考點(diǎn)概率分與數(shù)理統(tǒng)才二鬲祈量件觸庭一幾何型概率|1|1|IIII三、解答題（本題共8小題，滿分86分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（17）（本題滿分11分）求函數(shù)fy）=+2/-在區(qū)域D=（X）|x2+/0上的最大值和最小值。【解析】J=2x-2xyz=0（x=口x=x=0因?yàn)閒y=4y-2x2y=0.1y=lIy=1=0所以函數(shù)在區(qū)域D=Qy）Ix-4之）內(nèi)的駐點(diǎn)為（0。（-0。（0,0）f（*21）=2/（0,0）=0再求函數(shù)在邊界線上的極值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為:綜上所述，本題正確答案:111，J十七.一一一；4:,則-2x-2xy2+2Ax0_=4y-2x2y+2Ay=0，

16、解得1q=#&+y-4=0.,2fx=0 x=2于是條件駐點(diǎn)為(目(0,2次2,0)而I、.、18.I，。)比較以上函數(shù)值，可得函數(shù)在區(qū)域口=。沙)1十V三4沙20上的最大值為.?f(0,2)=8最小值為/(。,0)=0【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微分學(xué)一多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用(18)(本題滿分10分),一二，：.計(jì)算曲面積分，/=/Zdydz+2yzdzdx+3xydxdy，其中E為曲面z-1-x1-彳(0zl)的上側(cè)?！窘馕觥繛榍鎧=1-x2-(0z1)的上側(cè)，z=0添加一個(gè)平面】：/+1工1,取下側(cè)，則和工1構(gòu)成閉合曲面，其所圍區(qū)域記為,于

17、是/=#_JJ而#丁1,xzdydz+2yzdzdx+3xydxdy=川口(等+亭+管)=3川口出dydz=3J:zdzJJ.2dxdy=67d:z(l-z)dz=TT“x2+1-zUJJxzdydz+2yzdzdx+3xydxdy=JJ3xydxdy=JJ；3xydxdy=02 21 12 21 1X X2 2 0-=f（P）-g（/?）=/-M,設(shè)g（x）在eQb）取到最大值，則F（xJ=八XoJ-g&J,。,即虱，從而可知f（x）在E（Q點(diǎn)）上的最大值比歐戈）在XE（Q點(diǎn)）上的最大值要大，與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)命題不成立。存在力)，使得尸5)=0所以由羅爾定理知，存在臺(tái)(口同),心

18、5,叱使得尸(肉=0/)=0；再由羅爾定理知，存在.&，&),使得F”(D=O,即尸(D=g”(90【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一微分中值定理(20)(本題滿分10分)f8.I.設(shè)帚級(jí)數(shù)、門=o%在(i00,+8)內(nèi)收斂，其和函數(shù)丫(琦滿足y-2xy-4y=0,y(0)=0fy(0)=12(I)證明：%+2百彳j_Q，建一1J23?；二；(ii)求近功的表達(dá)式。【解析】(i)由題設(shè)可得y=JJI=(JYn=1y=：=/-V)anxn-2=：=0(n+l)(n+Z)an+2xn代入；HI】；。/i；。)：可得E：=o(n+1)5+2)Q瞠+-22：=1ii%嚴(yán)-4X：=OQ=

19、0、XI1Q口=0=1必2=0,即上353二也.一.。比較同次項(xiàng)系數(shù)可得，2Qm+2=1,23?fIL-IL-l|l|JILJIL(II)由Qo=SQi=0,即+2=不3即解=123,?可得，八22rl2.11Qzn=0,a2n+1=而敢i=麗？*口)Q加-3二=定Qi=記【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一無(wú)窮級(jí)數(shù)一簡(jiǎn)單屬級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的屬級(jí)數(shù)展開式(21)(本題滿分11分)+x2+x3=0%)+2X2+ax0+4xz+azx3=()Q與方程打十2短十町=1有公共解，求。的值及所有公共解?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧糠匠探M有公共解，即為將兩個(gè)方程聯(lián)立的解打+*z+=0(x1+2xj+ax3=0.巧+4X2

20、+Q%=0(3)+2X2+冷=Q-1對(duì)聯(lián)立方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有已知方程組有解，所以應(yīng)有2)=0,a=l,a=2n=xe設(shè)線性方程組1 11311311 1ooOooOT T1 17-7-10-010-0ao o1 1oooo1ooo1ooo? ?1242124211111111事- -AooO-ooO-? ?1此時(shí)，公共解為：化?，其中人為任意常數(shù)LJLd【方法二】當(dāng)QK1抱,2時(shí)，方程組只有零解，但此時(shí)元=（0,0,0）不是方程的解，所以公共解發(fā)生在a=1或口=2時(shí)，|當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換-1方程組的通解為，叫:其中為任意常數(shù)1此解也滿足方程組，所以此時(shí)

21、方程組和的公共解為工=：,其中女為任意常數(shù)。當(dāng)Q=2時(shí)同樣求方程組的通解oooooooo?1oooo1oo1oooo1oo1ooo1oooa az z時(shí)1 1- -1 11 1-1-0-1-0? ?1 1o1ooo1oo1ooo1oooT胃a az z時(shí)2 2- -T=L?J此時(shí)，有唯一的公共解為先求方程組的解，其系數(shù)行列式為J111二（Q1）（Q2）looolooo1 1o o1OLO1OLO1111111241241111110方程組的通解為其中我為任意常數(shù)將其代入方程組中得：n2；:一;；10得k二-1,因此此時(shí)方程組和的公共解為工=Jj.；-【考點(diǎn)】線性代數(shù)一線性方程組一齊次線性方程組

22、的基礎(chǔ)解系和通解，非齊次線性方程組的通解(22)(本題滿分11分)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣斗的特征值為=1，也=2力=_2,且叼=(1,-U)T是A的屬/I于樂的一個(gè)特征向量，記、=屋4價(jià)+E淇中E為3階單位矩陣。(I)驗(yàn)證的是矩陣B的特征向量，并求B的所有特征值和特征向量；(II)求矩陣氏I|【解析】(I)由知&除=m,那么Bay=(今-44?+E)%=Acti-4月工01+以1=(4J一+l)a=一2al所以 G 是矩陣屬于B特征值的二一2的特征向量同理=石。2,4的=色。3,有Bcc2=(蒞口奴/+1Ja2=,=(A35-4G+1)3-%因此，矩陣的特征值為出二一2=的=1。由矩陣總是對(duì)

23、稱矩陣知矩陣B也是對(duì)稱矩陣， 設(shè)矩陣B關(guān)于特征值的=的=1的特征向量是A二(孫冷啟)，那么因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，O O1 1O OO O1 1O O1 1oOoO1111311331131 1oOoOT T- -1212電124124有aj0-%2+,3=0所以矩陣B關(guān)于特征值%=的=1的特征向量是瓦二(L1,。)，角二(-1，0)丁因此，矩陣片屬于特征值由二一2的特征向量是比(1,-1,1),其中心是不為o的任意常數(shù)。矩陣8屬于特征值口=1的特征向量是七+七(-1。1)丁，其中3七是不全I(xiàn)I為0的任意常數(shù)。(II)由B即二-2%日色=危上色=有81al,壇角)=1-2%,02,03)；!1I|所以B=(-2alffl2tfl3)(alffl2ffl3)1【考點(diǎn)】線性代數(shù)一矩陣的特征值與特征向量一矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣(23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X)的概率密度為2-x-y,0 xy2q(II)求2=*+丫的概率密度勿(幻。【解析】(I):)如,1X工二- - -112112- -O O1 11 1o o1 1M M1 1nVnV1 11- -1 1O O1111O O1111O O1XO1O1- -O1O1=J/Jf(2-x