多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、僅供個(gè)人參考第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用學(xué)習(xí)指導(dǎo)不得用于商業(yè)用途、知識(shí)脈絡(luò)二重極限二次極限3.連續(xù)4.偏導(dǎo)數(shù)-5.全微分1幾何應(yīng)用2方向?qū)?shù)6.偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3。泰勒展開(kāi)式無(wú)條件極值條件極值、重點(diǎn)和難點(diǎn)1 .重點(diǎn)：求極限、求偏導(dǎo)數(shù)、求全微分、求極值。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse2 .難點(diǎn)：極限存在、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。三、問(wèn)題與分析1. lim f (x, y 片fx )X0yTy0p沿某m于鼾的y雙當(dāng)前者存在時(shí)，才相等。連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微間的關(guān)系3 .二重極限、4 .多元函數(shù)

2、中極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、一階微分形式的不變性、初等函數(shù)的連續(xù)性、最值定理、介值定理均與一元函數(shù)中相應(yīng)內(nèi)容和結(jié)論對(duì)應(yīng)5 .二重極限與二次極限是本質(zhì)不同的兩個(gè)概念。(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y滸任意路徑趨于(xo,y。)時(shí)，若f(x,y)都以同一數(shù)值為其極限，則這樣得到的極限為二重極限；當(dāng)x,y先后相繼地趨于X。，y。時(shí)的極限為二次極限。(2)兩個(gè)二次極限存在且相等，不能得出二重極限存在。例如：f(x,y)=2xy2，容易驗(yàn)證兩個(gè)二次極限xylim吧f(x,y)=吧|mf(x,y)=0,但是雪f卜，y卅存在。yP(3)二重極限存在，不能得出二次極限存在。11例如：f(x,y)=(x+y)sins

3、in-，因?yàn)閒(x,y)在不含有兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面xy點(diǎn)集上有定義，當(dāng)P(x,yH。0)時(shí)，有x+yT0。由于有界變量與無(wú)窮小量的11乘積仍是無(wú)分小事，可得limf(x,y)=lim|(x+ysinsin1=0,對(duì)任忠給止的*x=1xy.i.ii.iiiy#0,由于媽xsin-sin-=0，而lmyisxs一不存在，所以iim(x+yJsinsin不存在。因此先對(duì)x后對(duì)y的二次極限limlimf(x,y/存在。同理limlimf(x,y)y_0x_0x0y)0也不存在。5 .學(xué)習(xí)二次極限應(yīng)注意以下三個(gè)問(wèn)題：(i)兩個(gè)二次極限分別存在時(shí)不能保證它們一定相等，因此不能任意地交換求極限的先后順序。22

4、例：f(x,y)=x2y2,則limlimf(x,y)=i,limlimf(x,y)=i。x2：.y2y)0x)0x)0yQ(2)二次極限中一個(gè)存在，另一個(gè)可以不存在。xsin-y例：f(x,y)=x,容易驗(yàn)證xylimlimf僅,y)=i,而lxm0lym0f(x,y)不存在。(3)兩個(gè)二次極限都可以不存在。-11例：f(x,y)=(x+ySin-sin。谷易驗(yàn)證xy丹雪f(x，y)與巴吧f(x,y)都不存在6 .學(xué)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)注意的問(wèn)題：求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是搞清各個(gè)變量之間的復(fù)合關(guān)系，常用一種“樹(shù)形圖”的圖形直觀地給出因變量、中間變量及自變量的關(guān)系，幫助我們記憶公式，以便

5、進(jìn)行正確運(yùn)算。例如：z=f(x,y),u=u(x,y),v=v(x,y)畫(huà)出“樹(shù)形圖”則三:二口.三:xcuex二vex；z：z二u二z二v=十rrr%r:y二u二y二v二y7 .學(xué)習(xí)方向?qū)?shù)應(yīng)注意的問(wèn)題(1) f是單側(cè)極限。因?yàn)镻=jHT語(yǔ)了，所以Pt0實(shí)際上是Pt0+cFl(2) f是雙側(cè)極限。Axt0時(shí)，Ax可正、可負(fù)，因此久=0時(shí)，且與互ex:二x不一定相等，a=n時(shí)，M與3也不一定相等。2fl三x是一個(gè)向量，當(dāng)l的方向與梯度方向相同時(shí),一，fcf(3)梯度gradf(x,y)=一,一exy方向?qū)?shù)f達(dá)到最大值|gradf(x,y)|。二l8.最小二乘法在數(shù)學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，要注意

6、領(lǐng)會(huì)其精神實(shí)質(zhì)四、解題示范2-xy4例1:求lim-12 xy 4y二0xy4-(xy+4)n1mxy2xy4y?般地，用定義證明limf(x,y)二重極限不存在有二種途徑:xX0yy0(1)找到兩條特殊的途徑，得出(x,y附這兩條途徑趨于(xo,y。)時(shí)，f(x,y)的極限值不等;(2)找到一條特殊的途徑證明(x,y)沿此途彳趨于(xo,y。)時(shí)，f(x,y)的極限不存在。22例2:求lim22xy2*xyx-y解：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y泄y=x趨于(0,0M,則224lim22x丫2=lim與=1x0xyx-yx0x當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y船y=2x趨于(0,0)時(shí)，則22,4.xy4xlim2:lim

7、-42=0x0xy，x-yx04xx故原極限不存在。例3:求z=ln1,x21 x y,y)當(dāng)x=1,y=2時(shí)的全微分。解：因口二二 x2y2x.:z:xx1y=2一.1.2.故dzxm=dx+dy。y33f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例4:求u=f(x,xy,xyz)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中解：將三個(gè)中間變量按順序編為u.故=f11f2 y f3 yz ex1 2, 3 號(hào),畫(huà)出“樹(shù)形圖”=fi yf2yzf3-：u-y=f2 x f3 xzyxy(2)u=fxyz(3):xf2xzf3f3xy=xyf3例5:求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)（5,1,2）處沿從點(diǎn)（5,1,2）到點(diǎn)（9,4,14）的方向的方向?qū)?shù)。解

8、：l=9-5,4-1,14-2.14,3,12,4232122=13cos：，cos-w, 1313cos 113因?yàn)槎?1.:ufu一cos ： 一cos.:x-:yucos:z4=yz13Axz 1312一xy13所以;u;1,1,2133 101312 5 =139813y = uvv作為新自變量，試變換方程-2:z一 2 x解：-：z,z.:u改：:z2y:u；:y；:u；z,z.r,/rrv;z 二 x 二 z :y :z 二 z v u-2二 z:z:：2z.:x-yfx v ；:y ：v:x ；:y-2 .uu -7 u：x2口 2z z+vcxcy 222.z z u a8-

9、2二 z+一 2v y.2.z-2 .v-2二 z:x22uv-2.x .yJIL-x-v-2二 zf2z u f fII I 1 fxy ：yxC2z 1-2-u-z v2-2上 2vz 2- 2uv u:y :x二 u2 v2 即學(xué).2二 z 2222-2a a u v z = 0.:vx7. 設(shè) z=z(x, y )由 z + lnz-jy2.二 2 7ddt = 0確定，求o:xf yx .2解：由z + lnz-f e dt = 0兩邊對(duì)x求導(dǎo): - y乙 1 ；z2 .e = 0次 z ；:x孚2 z ze 從而一二二 xz 1原式兩邊對(duì)y求導(dǎo)2.yz ze從而一二-fyz 1(1)式兩邊對(duì)y求導(dǎo)-2:z改.:y:yz 1-zez 12-x2.e：z(z+12cy將(2)代入得:f2z_ze-x2y2改為(1+zf僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquemen