幾種常見的放縮法證明不等式的方法

1、幾種常見的放縮法證實不等式的方法一、放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.例 1. bj 滿足：加芝1,屏?xí)?bn2 (n2)bn+3(1)用婁攵學(xué)歸納法證實：bn n(2)Tn11= +11, 一+ +,求證：Tn ： 13 b1 3 b23b33bn2解：(1)略bn.1 3=bn(bn -n) 2(如 3)又.bn _ n*bn+ +3 M2(bn +3) , n = N迭乘得：bn 2nd(b! 3) _2n1點評：把握“ bn +3這一特征對“ bn* =bn2 (n 2)bn +3進(jìn)行變形,然后去掉一個正項,這是不等式證實放縮的常用手法.這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學(xué)歸納法, 似乎是不可能的,為什

2、么值得體味！二、放縮后裂項迭加1例2.數(shù)列an, an =(1) ,其刖n項和為Sn2求證：s2n :2解:111%=1一2 3一41 一 12n1 2n12n(2n -1)bn的前n項和為Tn1111芝2時,bn苴1=(_)2n(2n-2) 4 n-1 n點評：此題是放縮后迭加.放縮的方法是加上或減去一個常數(shù),也是常用的放縮手法.值得注意的是假設(shè)從第二項開始放大,得不到證題結(jié)論,前三項不變,從第四項開始放大, 命題才得證,這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神.b例3.函數(shù)f (x) =ax+b+c(a?0)的圖象在(1,f(1)處的切線方程為x(1)用a表示出b,c2假設(shè)fxzlnx在1,e上恒成立,求

3、a的取值范圍 Illn(3)證實：1：_：.,一 in(n 1) + 2 3 n2(n 1)解：(1) (2)略(3)由(II )知：當(dāng) a> 一時,有 f (x) Z in x(x Z1)2,1 ,11、令 a = ,有f (x) = (x -一)芝 in x(x X).22 x且當(dāng)1 1、.x 1時,(x ) in x.2 xk 1 ±. 11 k -1 k 111=,有 in <-=_(1+)_(1_), kk 2 k k 12 k k 1s111、即 ln( k 1) - in k ： (,), k = 1,2,3, , n2 k k 1將上述n個不等式依次相加得整理得點評：此題是2021湖北高考理科第21題.近年,以函數(shù)為背景建立一個不等關(guān)系, 然后對變量進(jìn)行代換、變形,形成裂項迭加的樣式,證實不等式,這是一種趨勢,應(yīng)特 別關(guān)注.當(dāng)然,此題還可考慮用數(shù)學(xué)歸納法,但仍需用第二問的結(jié)論.三、放縮后迭乘例4.ai1-*= 1,ani =佑(1 4an 1 24an)(n N ).求 a2,a3(2)令bn= w+24an,求數(shù)列bn的通項公式(3)一、-,1f (n) =6為書3為,求證：f (1)f (2) f (3). f (n) >-2解：1(2)略由2得an點評：裂項迭加, 諾骨牌效應(yīng).只是求2 1