圓錐曲線秒殺法

1、圓錐曲線秒殺法吳磊研究高考作文之余,本人也研究高考數(shù)學的秒殺方法,主要包括 隱函數(shù)求導、柯西不等式、仿射、參數(shù)方程、極點極線一、圓錐曲線局部小題用到的方法1、橢圓C: xZ8+y22=1與斜率K=1/2的直線l相切,那么切點坐標為注:傳統(tǒng)方法我就不講了,講兩種秒殺法法一、隱函數(shù)求導直接對C: x2/8+yZ2=1求關于X導數(shù)可得x/4+yy'=0, 帶入K=1/2, x=-2y,帶入橢圓方程,很容易解出切點為(-2,1)和(2,- 1)；法二、縮放坐標將橢圓縮放成圓利用圓的性質快速解題,將 X軸壓縮為原來的1/2, 即x=2x'(這里不是導數(shù),只表示一個未知數(shù))；斜率K'

2、;=2K=1 ,橢圓 化為圓C': x'a y'2=2;很容易求得I'與C相切于(-1,1)和(1,-1),復原, 可知I與C相切于(-2,1)和(2,-1)2、橢圓C: xZ4+yZ3=1上的點到直線L:x-2y-1=0距離的取值范圍為:法一、直接用柯西不等式 橢圓和直線相交,最小距離為 0,最大距離為橢圓C與l平行的切 線l'與l的距離,l'= x-2y+b=0;構造柯西不等式可知(xZ4+y2/3) (4+12) >(x-2y)2;-4< b<4;把4和-4代入l'再利用平行線距離公式求I和1'距離,最大距

3、 離為,5所以0<0,5法二、縮放坐標系橢圓和直線相交,最小距離為0,最大距離為橢圓C與1平行的切線1'與1的距離.1'= x-2y+b=0 ;縮放 y=v3/2 y'橢圓 C 縮放前方程 C'為：x2+y2=4; 1' 縮放后表達式為1''=x- v3y+b=0, C與1相切,利用點到直線距離為 半徑,容易求的b=4和-4;再利用平行線距離公式很容易求得范圍 為 0<d<V53、過定點(4、0)的直線1與橢圓C: x2/4+y2=1有公共點,那么直線1 斜率K取值范圍為:法一、直接用柯西不等式1:my=x-4,那么 x

4、-my=4;構造柯西不等式,(x2/4+y21 (22+ m2) >(x-my)2可得,m2A12,注意是反設斜率,故k= 1/m;很容易解出k的范圍為-v3/6<k<A3/6法二、縮放坐標1:my=x-4 , x=2x 'C': x' a y' 2=1; I ':m y'=2 x'-4, 用點到直線距離公式,d=4/ v(4+ m 2)W1;可解的m2A12,注意是反設斜率,故 k= 1/m;很容易解出k的范圍為-v3/6<k<A3/6、柯西不等式柯西不等式在高中數(shù)學提升中非常重要,是高中數(shù)學研究內(nèi)容之一,

5、是求某些 函數(shù)最值中和證實某些不等式時經(jīng)常使用的理論根據(jù),技巧以拆常數(shù),湊常值為主.柯西不等柯西不等式-方和積不小于積和方222aia2L anbi22ai b a2 b2L an bn當且僅當bib2 Lbn0或亙電L 2時取等bi b2bn柯西不等式的主要變形公式變形公式1ai 匕a2b2Lanbna匕a2b?L anbna|La2 ?b22Lb2取等條件同變形公式2_ 一 _ _ 2,ai也 a2 ,b2L ,an,bnaa2L an gbb2Lbn變形公式3a； a2 La2, b2不等式三角公式L b：aibia2b2L2_bnSSL變形公式2Lanbn24噸L取等條件同bib2 L

6、bn變形公式52史也L 曳一以電La取等條件同hb2bna bi a2 b2 L a0、仿射仿射變換罌典型.次向境的你灌方程4i將比桶照m標班方程i衽形式上模為段近胭的標就力程 T M甲 h? + .r-r< “送 訓,我的著直郡還利用仿射彩演用摘屁壹攪力圓.再利用圓的良好幾何件或解決同理 的方法.*i X - d. W對橢肥的標宸力即=4 = = 1.獨打K要4 >軸進行仲豳交換!A 得利方看二+ 1=1一了 tr卜 Da' p'仲期變模不會改變tt蛇與網(wǎng)錐曲線的交點救、也不強改變#鴕紋段K度的比何關系.平行和直線共 立美系等等.但是即端生啞改變抄段的粒度,法宙超

7、弓1起充分眄注電I將占1倍引殳換t Alling Trinskutr是一箱二跣史痣到二推生標之I此的地金堂拽-保持二年圖彩 的“半亢鵬,件江：用di&ht恥制,券變換后直線注是魚乳不防利用.國弧逕是胤姐6/ 檸他-4法：2i*恥IncH,其實是指保二雄蜀都司的相計長夏英系不更一中行成正是十. 致.而立埋上息的祖置卻年不支.另特奧京地行號向更由叮髓套女生史化一年染史溟耳比 再4一索列明再于變低的聶今之現(xiàn),也指二平樓TraflsUlioti上喈攻< Swltk朝輪【Flip L 虬特Koution 1 和借切 I Shear <Lfr法1衣伸縮及胡下.憚圈才樞E二二十二=1變?yōu)?/p>

8、圖E；/ + 4 =rL布畫上的點尸事.mJ變?yōu)?a' bp ； 4 ,巴卜 圖此過畫£ 土一國尸的浦附加建才我為：* - 3, = */ b .心1信it用通it伸腐作戰(zhàn)機可以祥打過岫! E上一皮尸的喃周灼切我方和L4jt+0乂j/=#即 b "經(jīng)換前變換扁/ l'a方竹 丁4'+ y2» aj橫坐標¥X X織里標Vr HV = 一 F觸上=¥* OiV v用后Ad Av h向枳¥=?打的'5* =2A/ W 土 § 2 b卜而是優(yōu)射變換同后此中二主對悔美系:艾 K i = Ji + l -

9、 Av_ 招/,m .碩t平行關系g共線段段比例關系：點分幽的比,熟悉仿射射交w, toil=1, .嘀®r的.出為】十=1("bo,公尸的坐尿為(-0,可.h(D一百線y=4i*p叱橢rr、D芭依.： = K： 干八E. 一& =鼻證實：£為(7)的中點：對r嘴囪上的點c(ug?疝©)"5)七頭箱/上存在不同的兩個交點小a滿足匹)可二10,寫出求作點&. 2的步驟.【解折】作仿闿交換、悵31療程先為一+=,&'= 1:C八OE、極定理,£0的中點 十是£是CD的中點.如下用.求作上£

10、;,八的步來為；I以.為司心,相司的長軸太.為豐冷作同：2.迂.作右線.貨Q站五方向劃過盤線的角為夕、書我與©文子0,3.4國與?軸正向的攵點作V轉的垂或,過畫與x躺負向的支點作x作的圣我.而務看我文于上4.連姑,取井中KA"191jC：樣:-M .一 邛S號與豐"W/第耳'p?？涨?y耳mo譽 o i"一二0.料城VH修白工封丫工條自妙川務華芬斗.回“冬邛響"1為.¥3屏M*名田仆億領 :融?我書、3同電不導上冬書3區(qū)出承于卒4市督9本女也rw法【耳格】dd+ /=付"Ud = M=&Or.4環(huán)下力;勺加吊

11、忸.好中8玄爺¥窄外¥冬時供丁丐,取;Y才肝五%/印.“切節(jié)打c仔多,=£時¥籽第3：小夕辨'/人捫1號洋岳書也可：的寸邛以'?甲,回M2 ,笫牛?耶"船?“箏投9X W4EI '茶V3耳手NO什拈NN '人.琳亨,4伊 a "=+/可%*/¥耳優(yōu)卜 彳漱¥住力 £ "、坤3,= 丫不聲,節(jié)耳/工京印方伊,某叮后.ea羊【用制】 一 一 ' 一 !聞丫理班冷以807東太4琳印/篡H居.產(chǎn)地w,2 ,、了審印引:；J 1-"1配弱&,-1.

12、“善如修；1rJMYY：tj2io： ；M 4,施三款印觴四率黑芍丫出箱底力WZLK? .紂4浙h,1區(qū)而甭取三燈吊同時幻K1F冷不和力PR里薊哥卯M,1-1二.4再'怎出國丁努?學箏耳8.第早 上1城后：0,之二下. 化皿燈鄲這甲歹k*既«1切0號1M03*M '格修器M材同/符甲既K '廿口切爵甲丁 'J有"典節(jié)即用/工,小慎那卜U t"口百0|叩! 忸蜘 "冽門,戶,中勒W 在山含.正U粉UD *",尸R所審草川犯 尸尸+ja可U中|他/比?10 依聿孝號當且僅當取味因此/.3后?的武大值為g.薛習2201

13、.年郵 機工已如桓質L + : = 吶接.角物/*. IL頂點'的標4%6 243所在直線的斜率為岑.當48.的面積最大時,求直鐵-8的方程.c坐標力G6；宜城 直代/川§、“.“諛宜我45的方量為x-j+m=0,那么0到點我/史的龍用為造"/夕卜,當工3 .昨刖-工"時Sgy取得最大值3, 此時直林,8'妁方社為0.因此S 9的病火臨勺*.此時4R的方程力/門# = 1縹習32021年版匕.模J晨:,他1三小二1的乩右頂蟲分加為.4、H.過曲星為1的儂父桂前于另一由5,企林洞r t的r滿足：八K彳的而林為g.試推定點7的個收.2【解析】杵怖21逵

14、過仿哥左捺|交式國./,產(chǎn)=4 fsm-2S*,.y*2y5九2八2.即"-"4 = 0囚7外直線4S的跑為力京,花長/fS-2,2!-方三行,r <«J包線AS1的花離力- = TI 4 4$3飛由于/.在仇必上杼在兩個T點 又由于力2. .,衣/藍上不存在r*,x. 即:上.上,的人數(shù)也即名r的個會是2.練習42021年齊武一播文有線/：2/尸2 = 0.楊網(wǎng)丁十二二1的交力為/、B.求使 W 的面4枳力:的£的個般：【解析】工Q練習52021年杓城模設有線,.怖禺;-廣二交J/, B西乩艮以46為由?的同過怖國的右頂亙C,求AMC面枳的尺八值

15、.【解析媯出相史標系燉3中珞身那么供3方攝發(fā)為匕整,產(chǎn)=|4、：+6*9爐=0.沒立找AB盟方以為；r -叫+ 明 止或立支妙方保芻mDO方經(jīng)#人6K上把+ ,即9.團上,l + 3o axj a x a而人上二 -l. 9+l + £ = 0, “ = -,日比CD = ±X .r.aSS將例S通過變快: 二 ：變力/ +尸=9. JNS“ = !$wc v -3r3HO'到/"的無街為 d .- J 2& d,J,Ji/,9 j12,當且僅當=98,“取肉最大值!X千足S-收.=-S/r W:,即A46C面猊的雙上伍力-.12 "&q

16、uot; 88利用用射射換系理弦弦,?£*2021升立小 而畝,占誦麗C的中央,匚,z ,、GkU/、前T；前EISc的is梏為MV, lie；. 6的離心本程為e.比錢/±MN, /與C；交十兩點,響點, 這四點按縱性標從大到小正次為,.BX.D.I|設-2,求B.與卜修的出值； 2當e變化時,是否存在1或八使得BO/AN,理4.的也國,作為時交換H = f時飾21的作仿好交楝尸,-2=y財C；： /十/80 ：' A* o 編=hv o I-3 5 = / ： "、0 答=設里£(acosA.dsin0)(.“工).irv = -cos 夕

17、If= =-更cos-l= icos,costf = !e(-l.I)%8s81-yQJt 昨(f.0)U(2. + s)伙)/No,2 .,方0.?巫片.不存在：S史H.存在. e IA利用偽射變及凸顯四府幾何條件利用仍見變換可以稱一些越H中“平凡的條件特化為對前他很有利的符妖條件,比方：X利用儕射攵換可以改變斜的從一可以使用某些與楠國相關的平行四邊市轉化為矩杉,從而笥化 向鼠同用僅時變化可以珞樹網(wǎng)變?yōu)閲?從而可以使裝叫.眄阮和美的丫療四邊形轉化為更形.從而荷 化何世鍬 2021年莫慶齦匚匚1. 4 2D理科設動4/滿足:麗=麗+而,其中M、WD國上曲乩直線OM與ON的網(wǎng),率之聯(lián)、d &qu

18、ot;"曬個£. 4.便叫歷|,|%|為定值 ；.求百,月的坐:L林：假設不存在,說引盤由.i義科諛動良,滔足：麗三廂+ 2萬.其中M. N顯機身上的點. H我OU與.、的, 制W之積為H：是否存在立.殳存點P到內(nèi)e的川商R到直線X：,/而的距因之比為, 定值?假設存住,求尸的華林：假設不存在說明母由. 一一 一 *« 一.一 一 一-一 一 一 *« 一 . 一一 一 一 一 一 一 *« 一 一一 « 一一;【解析】作優(yōu)射史,M網(wǎng)國方程變?yōu)?/ + 2=4.JLOV'IOV.伸科四邊招OWQV為正方影.t«.|O

19、F| = |WV|=2V?,產(chǎn)點的機逆方福為回/十/=8,因此P點的械方程為一網(wǎng),* = .,.存&合題意的點£,. +標為t2.0.琳國眄用卜媒名I文科四邊出OWP V力矩格. I加|=|MV|=2有,.點的叱方程力固/+ /= 20,因此P&恰如4方行為/+£ = ?«.即上一二二1 1720 10存在括合題意的點尸,上林力而.0.即用口的右熬點.練習12021年海淀 線陽X戰(zhàn)/:產(chǎn)H + rw平|； 而網(wǎng)? +J = |川文于/、8兩點,以錢及04.6為加邊作平行四邊形."6 .其中頂點布桶回.匕.為?1<弧點.求|.1的取

20、侑范禮【解析】用體封交報蛾圈痔化為田于是平行四邊壽.鏟8支為乏彩017>8'由K|W：和號根據(jù)“用時角互相擊立,子;因此gWL- v3也就是河Hl=k/wi*3目此團的取色弟國是I6.孚.練習2 2021溝淀模理 L如比線點 > 二h-明.書畫G：二1交J/. 5兩點,有線/、： “h+他制產(chǎn)m：與描14G交C.兩點.用M = |CC|,如下列圖.1證實；網(wǎng)+ J叫=0；21求四邊字48c 的面積$的總大值.【解析】考慮用傷身變耀.,BQ為粕囹內(nèi)提平行四邊招,作竹豺交核自變?yōu)镮E內(nèi)我不行內(nèi)過彩,為齊影.臼JU十角線為立在,七式是運幅因內(nèi)拄T行口邊杉的升角蝶£如分子

21、原白,手是啊.桁一0;3內(nèi)接短影當且區(qū)當花稱力止方形時如積最大,黃大值為4,十是帕面內(nèi)接手行四邊形如枳的病之佰為3 = ?J"6【&泣】也可以著作杞關支段問題議直我二£所與的21文十四點4、8,那么【£文五錢與方粗,#I+:卜:ZJbnx + m：-1-0i - .“倒=677.芋價于川；:叫,又刷尸嗎,叫股+碼=o由648與CD關于的夕H#.可邊形/BCD為討知中央4氏及的牛行日邊形不桁段叫0r ;4 ,4 1 g7 L */-l m 4",2入Y 而入Y222明川 *74Y親,29當JL優(yōu)當嗎!二犬十!吁取群孑號內(nèi) 也22,田邊號408的面積

22、S的最大小是26.原 已二M為慨y = :"而吟+千=1在第呆限內(nèi)的文點,四與OM皆討而畋于 力、"兩點.求證k找Ml.左線；/B與x軸陶成的三角形是圖膛三角形.過作*14的全線. ,文isr+y二8于點m刈易如、2,-2.,.¥2,-2, AO.W iaVe "“/ ,.丫148根梃學徑定理.學分覽/以,于是"A.是N/W9的平分先干艮4三乂門：2%",即義MH1.P. .,乙1.0是等匿三角彩.證聚【備注】2021年密云一橫理加圉所示,幡國的中7在原點,熱點在工轉上,長軸長足短轉式的3倍. 且紅土工"3.1.平身于.M的

23、直線/在曲上的或無為用加*0,且文的圖于/, 8兩不 FI息.-38的方杈;求成的取假定田：束隹.直我M4. Mb與,軸始絳國成L個等接三角機【解析】S+2L.j； 18 2設之我,：p = +M“市0 對 rnw -2. 0U0, 2|；現(xiàn)為丑強套jt問地的推廣其用份毋爻扶均年解決.362021年四中方二胡中考邢己加點2,1便扁國工+匕=1上點,直線弓椅一交于4.S兩點.求AM4B的內(nèi)心的物型標.【解行】*用出的也去與本補的問處.考慮使用仿叁變換居利區(qū)外化為15加以解決. 在3中,容務證實A/0是NOMd的十分式.千足時0定/陰的十分找. 囚北人,£"的內(nèi)的耀生彌為的橫生

24、杯,電也是2.綜合 例6 12021年山東己如動亙線/.桶l(fā)aic： 9十/二1文丁川占,8,0'. 2為不同乩且N0的而伙工叫勺,其中.為坐櫬鼠乩1一明：M+U和鼻'人均為定值;2出線收收的中點為必,求mH%的顯大值：觸&-j在二ND.E,G.仗丹$二肌$/-5_/*?4在,WiDEG 的形狀：假設不在在,請說明理也.【解析】8周、作仿布殳按K=i,玉=玉,那么料用C史力BIC： K., c 6 c 3r 二了 二5設.到女4.0的距離為d.也那3-/"="解算公與.十足|產(chǎn)0|=onog.因比X? = yJ, I：二而OC2 f二4 + x；=“

25、 + x： 3,后y-j/! + h：|-2.造也的材*為匕如.的樸為 士'l°M 同=3 、4；.卜(' S 一 一<> 0 0一飾 巳娜18|4+?1上的兩點/, 6關于x軸對移,P(4.0)是腦GI長軸所在自或 憶4 3點.我上線PR.弧網(wǎng)網(wǎng)至7D,證實 1. -1；1二.» ： _比-S2； _ 5(«, 一£, ' Sjwe - S&g S w _ 7LL,daic中,£ UG、EG所片的Bpu均為力,r 四北.不存在漏為典忠的三角杉.練習7(2021上京呂平二慎國)如除£+?1g

26、"O)的長軸為/8.過點8的宜線,與軸電工桁區(qū)的需心 / b幸日,夕為帕同的左隹"且|"|附1=1.(I)求此機眼的方程:設P足此機愎上升丁4A的任意 點,P"l"軸,為 垂足,第K/翎點0使得-0.追接4.井廷K交 111也A為M8的IS、,用定口線QNb以.48為 苴徑的國.的位亮關系.【備注】設10號佛國文于2./?,用AA芻泊鳴如切,北建與助可以引用仿針交掖解決.利用仿射變換將問題轉化為幾何問題MM1將攜II通過伸館交發(fā)力財需證實：假設點4, 8為關于回的有在RG對柞朽而點,出所去五級上的一點P均8點的連就交國于., 元,4.與丹/文十

27、定點E.法用*下：如圖,連轉北1 2.設力與團交手C.3 EH；G為孤CD和松仙晌中點八；, AG.,分別是4*歐7的十分戰(zhàn) 而XX71D"."G是NEDP的牛分伐.而4EDE二EG KH 邦交位定理,APDP= AP P=汽；PH 切劃線定理“EG EH EG EG 仙 EG PGI A.? - PG-PH K PG EH PH生為定依在木例中力1任為定值 E力定尤在本的中 1,0薛習8設百城八戶h + m.梅團;-y：T相交于M. I兩戊.F是楠出為方住點,TOFV rjF 線卬的斜率互為相反數(shù).求證：角線/過定點,并求該定點的坐標.【解析】或我/過文42, 0.本府與

28、間題相凡應習9 2021年江於如困,在平山 向坐I球血中,'-工=1的1 1點為才、8.A也口為卜 設討由9,即的且線.用與此桶府分別交 mA,！,、*Y：,K.乂中 川0.Mo,%?0.設J = 9求證：有線M/V必過X軸的定點,其%棕.川無美.z筆一一)g qq jr sa 、,警2«(7¥聞- -* ry7應力小 ,丁 U ru J Cj f心匕% "二力二華陽二名"四k一 IX/、而、KF W .J f NL / t NFA JJV 9UI-777 不 7TTT 身"始 4M 4 wmi AA VIJ “ W7 P A J iq

29、 </r朝務8 )7“¥仃8卜T可手一24在咐令多 掌,ZX卞1*8八.w芋F04HF* Ar 'M+h«otit in 上甘'?一零到T、$Tkm手,卜0夕/ o點在耳夕#/"；3安明例學J中«野秫不uW總5中91/芋的節(jié)£廣行#3X冷,q -.工*朝1硬'0二/Dtnwi-彳*七團“曾工位 |時工件茶w修'半如國,工用【畀停】/產(chǎn)r-r»及 AC -4u . Z FAC - a,乙YdC - D * AT - . AM - luma , BT - BN - 2acus0 C6“cos/?及乙U

30、OC-2",乙NOC =邛、那么OCWOF的角力a-,以0為k& OC為極經(jīng),那么五撥AW6方但力(a夕)卜d(O,MV),PPpcos 9 (a f)卜d8 coe(a+夕)工*.c AB cos(a4夕)cosacos/T smasi"I - tmaunfl1 UD - AB ABcus(tf -0)cusacus.+sina 疝i.It vmu uui/7而 / nc N ZMAB - - ZMOB - a , ZNAB-Z.VO5-/J,.i江ACBe,Un/? = unZBfC =2JJlOP=于是點.力定點.四、參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程吳磊一、沒吃過豬肉,你

31、還沒見過豬跑x=acos8; y=bsin 9是一組我們熟悉而又陌生的方程,可問題是你真懂 他們的含義嗎 9究竟是個什么東東,和圓參數(shù)方程和極坐標方程中9是一個意思嗎1、從一道百分之九十以上人都做錯的簡單題展開例1、P是橢圓C上一點：x= 4 cos p y=2 v3sin 8且在第一象限OO為原點P的傾斜角為九/3,那么P點的坐標為經(jīng)典錯法：由于傾斜角為冗/3, x= 4cos 0;y=2 v3sin q所以x= 4cos 兀/3=2;y=2 Tsin 兀/3 =3求得 P 坐標2、3正解：橢圓參數(shù)方程e是旋轉而成的圓心角而不是傾斜角由于OP的傾斜角為冗/3,故OP的斜率K= tan 7t/

32、3=v3;v3=y/x2V3sin /4cos =v3 1sin盼cosa 82=12 聯(lián)立二式,P在第一象限,可解cos 9=v5/5 sin =2v5/5P 點坐標為4V/5、4V15/5 2、橢圓參數(shù)方程的推導和含義解釋1切J r陽 I I*1 - LX h；£131 *匕、 夕?另U 舊上 . I < ii- -1>- 4f > >t -I"“TT 同*針皿. 與生n 圮 人團I 產(chǎn)1資.a 1 j j-MU 口勺 女兒底工工人 M 八 z l c. f后 JUL * Xztnfli rfcM _i_ 八 z 用 JUL>1/%;.派r

33、、F彳#£人學是<,迄4-tH J /A< M /J為九.i力便一故 yj #V .珀可： iAt aio l Aox Vj xii *< > a.jZlrrj ihyrj >反c Aj段金收,iWW3、橢圓參數(shù)方程的設法可能有的同學會根據(jù)焦點在X軸:x=acos .y=bsin 9焦點在Y軸:x=b cos 8; y=asin 0去記憶,老師告訴你別這么理解,你只要記住 cos 8對應的系數(shù)是a和b中大的,cos和擴 大諧音,參數(shù)方程復原主要看 cos 8前的系數(shù),它一定是大的,焦點在哪個軸,他在哪個下面二、橢圓參數(shù)方程妙用1、橢圓內(nèi)內(nèi)接面積問題口知】

34、橢圓為7十六<jI7J妾比照A&CD.1:二技 X,人 Hi 不只解:可設 A( 10 cos 9; 8sin 9 ),利用對稱性可知 B( 10 cos 8 ; - 8sin 9 )C( -10 cos 8; - 8sin 0 ) ； D( -10 cos 8; 8sin 0 )AB長度為16 sin 9 ; AD長度為20 cos 9 ,矩形面積S=160 sin2 9,由三角函數(shù)知識可知,面積最大為160例2:設橢圓二+=1和x的正半軸的交點為A,d b-和V的止半軸的交點為B, P為第一象限內(nèi)橢圓上的點,那么四邊形OAPB面積的最大值為解：要使Soap跟大,由圖可知SOA

35、B為定值,需求出P到直線AB距離,距離最大 時Sbpa大,從而SoapbJ大,用橢圓參數(shù)方程設 P為 x=acos 0 ; y=bsin 0用P到AB的距離公式可以求得距離最大為直線AB的方程為:x/a+y/b=1 ab(v2-1)2, SoAPB=abv2/22、橢圓相關距離問題例1:點P在杯有I回+ P2 = 1上運動,點Q4在圓 z+(y-10 =3 上運動, 求pq的最大值,O|Mg + |/a|= |a | +/2所以只婪求1"工|白勺顯大值解：用橢圓參數(shù)方程設P為 x=2 cos q y=sin f A(0,3/2)由點到距離公式可知AP最大為5/2,所以PQ最大值為3例

36、2:橢圓約束下二次型最值問題 2)廠 V-假設動點P(xzy)在曲線 + yv= 1 S >0)上運動, 4 b-那么x2+2y的最大值為解：用橢圓參數(shù)方程解,轉化成三角函數(shù)最值問題.由于 b牙口 4大小未知,顯 然需要分類討論0Vb<2,時 P(x=2 cos q y=bsin為轉化成求4 cos 2什2bsin 8最大值 可求得最大值為(bZ4)+4b >2P( x=b cos 0; y=2sin 隊 轉化成求 b2sos 2什4sin 8最大值可求得最大值為2b3、橢圓與向量求范圍、求值問題橢圓E:,A在E上(1,1/2 ),假設點P在E上滿足(1)求t的范圍(2)過原

37、點O的直線交E于BC求SA BCA的最大值解：l) ) Ft2 cos sin.= (V3- 2cos sinDO rI滬o&m亡工=cos 2 一 m) = L mi n = -2c os or, sin 43"), C(i 2 cos- sm q)= £1 2 cos slaM-' ICZz4 = <1 + 2 cos d + sin a=1|=| ad-bc1- 2cos a1 + 2 cos 盤1 .sm a:.卜4-sin. a2max= v2五、極點極線圓錐曲線的極點與極線理論在高考中應用較多,原因有二：其一,有高等數(shù) 學背景,結論非常完美

38、；其二,運用高中知識解決問題,能夠考查學生思維、計 算多方面水平.掌握有關極點與極線的根本性質,才能“識破試題中蘊含的有 關極點與極線的知識背景,做題事半功倍.1 .從幾何角度看極點與極線定義1如圖1,設P是不在圓錐曲線上的一點,過 P點引 兩條割線依次交圓錐曲線于四點 E,F,G, H ,連接EH ,FG 交于N ,連接EG,FH交于M ,那么直線MN為點P對應的極線. 假設P為圓錐曲線上的點,那么過 P點的切線即為極線.由圖1同理可知,PM為點N對應的極線,PN為點M所 對應的極線.因而將MNP稱為自極三點形.設直線MN交圓錐曲線 于點A,B兩點,那么PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線.定理

39、1 (1)當P在圓錐曲線 上時,那么點P的極線是曲線在P點處的切線；(2)當P在 外時,過點P作 的兩條切線,設其切點分別為 A,B,那么點P的極 線是直線AB (即切點弦所在的直線)；(3)當P在 內(nèi)時,過點P任作一割線交于A, B,設 在A, B處的切線交于點Q ,那么點P的極線是動點Q的軌跡.定理2如圖2,設點P關于圓錐曲線 的極線為l ,過點P任作一割線交于PA PBA,B ,交l于Q ,那么上 工2；反之,假設有成立,那么稱點 P,Q調(diào)和分割線段 AQ BQAB,或稱點P與Q關于 調(diào)和共食,或稱點 P(或點Q)關于圓錐曲線一7P的調(diào)和共輾點為點Q (或點P).點P關于圓錐曲線的調(diào)和共

40、食點是一條直線,這條直線就是點P的極線.I、/B 一推論1如圖2,設點P關于圓錐曲線的調(diào)和共輾,一 .,211點為點Q ,那么有三 ；反之,假設有成立, PQ PA PB那么點P與Q關于調(diào)和共食.可以證實與是等價的.事實上,由有AQ BQ PQ PAPA PBPAPB PQPBPQPA1 1曳PB11PQ ( ) 2PA PB211PQ PA PB特別地,我們還有推論2如圖3,設點P關于有心圓錐曲線PQ連線經(jīng)過圓錐曲線的中央,那么有 OR2 OP Q關于調(diào)和共食.設其中央為OQ證實：設直線PQ與的另一交點為R ,那么O的調(diào)和共食點為點 Q,反之假設有此式成立,那么點 P與PR PRRQ RQO

41、P OR OP OR ,化簡OR OQ OR OQ即可得OR2 OPOQ .反之由此式可推出PR PR 口口一,即點RQ RQP與Q關于調(diào)和共食.R 臼推論3如圖4, A,B圓錐曲線 的一條對稱軸l上的兩點不在 上,假設A,B關于 調(diào)和共食,過B任作 的一條割線,交于P,Q兩點,那么PAB QAB .證實:關于直線l對稱,故在 上存在P,Q的對稱點P ,Q .假設P與Q重合,那么Q與P也重合,此時P,Q關于l對稱,有 PAB QAB假設P與Q不重合,那么Q與P也不重合,由于A, B關于調(diào)和共食,故A, B為上完全四點形PQ QP的對邊交點,即Q在PA上,故AP, AQ關于直線l對稱,也有 PA

42、B QAB .定理3 (配極原那么)點P關于圓錐曲線的極線p經(jīng)過點Q 點Q關于 的極線q經(jīng)過點P ;直線p關于 的極點P在直線 q上 直線q關于 的極點Q在直線p上.由此可知,共線點的極線必共點；共點線的極點必共線.以上未加證實的定理,可參閱有關高等幾何教材,如【1】,其中定理1的初等證法可參閱文【2】.2 .從代數(shù)角度看極點與極線定義2圓錐曲線：Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0 ,那么稱點P(x0,y0)和直線l:Ax0x Cy0y D(x x0) E(y y0) F 0是圓錐曲線 的一對極點和極線.事實上,在圓錐曲線方程中,以 x°x替換x2,以x替換x,以y°y

43、替換y2 ,2以 里上替換y即可得到點P(Xo, y°)的極線方程.2特別地：22(1)對于橢圓今 冬 1,與點P(xo,y.)對應的極線方程為 曾岑 1; a ba b22(2)對于雙曲線、41,與點P(xo,yo)對應的極線方程為 W 誓 1; a ba b(3)對于拋物線y2 2px,與點P(x0, y0)對應的極線方程為 y0y p(x0 x).22(4)如果圓錐曲線是橢圓x7 匕 1,當P(xo,yo)為其焦點F(c,0)時,極線恰為 a b 22橢圓的準線；如果圓錐曲線是雙曲線與冬 1 ,當P(xo,yo)為其焦點F(c,0)時,極a b線恰為雙曲線的準線；如果圓錐曲線是

44、拋物線y2 2px,當P(xo,yo)為其焦點F(,0)時,極線恰為拋物線的準線.23.從極點與極線角度看圓錐曲線試題【例1】(2021江蘇卷文理18)在平面直角坐標系xOy中,如圖,橢圓22 1的左右頂點為 A, B ,右焦點為F .設過點T(t,m)的直線TA,TB與此橢圓95分別交于點 M (x y1),N(x2,y2),其中 m 0 , y1 0, y 0 設動點P滿足PF2 PB2 4,求點P的軌跡;、-1設x1 2, x2 一,求點T的坐標;1 2 3 設t 9,求證：直線 MN必過x軸上的一定點(其坐標與 m無關)分析與解：前面兩問比較簡單,這里從略.對于(3),當t 9時,T點

45、坐標為(9,m),連MN ,設直線AB與MN的交點為K ,根據(jù)極點與極線的定義可知,點 T對應的極線經(jīng)過K,又點T對應的極線方程為之/曳21 ,即95x m- 1 ,此直線恒過x軸上的定點K (1,0),5從而直線MN也恒過定點K (1,0).22_【例2】(2021安徽卷理22)設橢圓C:與三 1(a b 0)過點M (J2,1),且左 a b焦點為F1( . 2,0).求橢圓C的方程;(2)當過點P(4,1)的動直線l與橢圓C交于兩個不同的點 A, B時,在線段AB上取 uum uuruuu uuu點Q,滿足 AP QB AQ PB ,證實點Q總在某定直線上.|y22分析與解：(1)易求得答案 1.42uuuPBuuur,說明點P,Q關于 BQuuuPA(2)由條件可有4utrAQ圓錐曲線C調(diào)和共輾.根據(jù)定理2,點Q的軌跡就是點P對應的極線,即4金1上1,化簡得2x y 2 0. 42故點Q總在定直線2x y 2 0上.22x y . . x y一【例3】1995全國卷理26橢圓C: 1,直線1:一 - 1, P是l24 1612 8 、.一一 .1 2. 上一點,射線 OP交橢圓于點R,又點Q在OP上且滿足 OQ OP OR ,當點P在1上移動時,求點Q的軌跡方程.,并說明軌跡是什么曲線.分析與解：由條件知 OROP OQ可知點P,Q關于圓錐曲線