分式方程地增根與無解

1、實用標準文檔甲：增根是什么?分式方程的增根與無解乙：因為原來方程中未知數(shù) x的取值范圍是； 且-,而去分母化為整式方程乙：增根是解分式方程時，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一變形中，由于去分母擴大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值.比如為了去分母，方程兩邊乘以 張 J,得由解得。甲：原方程的解是 I乙：可是當時，原方程兩邊的值相等嗎?后，未知數(shù)x的取值范圍擴大為全體實數(shù)。這樣，從方程解出的未知數(shù)的值就有可 能不是方程的解。甲：如此說來，從方程變形為方程，這種變形并不能保證兩個方程的解相同，那么，如何知道從整式方程解出的未知數(shù)的值是或不是原方程的解呢？乙：很簡單，兩個字：檢驗。可以把方程解出的未知

2、數(shù)的值一一代入去分母時方程 兩邊所乘的那個公分母，看是否使公分母等于 0，如果公分母為0,則說明這個值是增 根，否則就是原方程的解。甲：那么，這個題中； 就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程無解。甲：啊？！為什么會無解呢？甲：這我可沒注意，檢驗一下不就知道了。喲！當 X-D時，原方程有的項的分母為0， 沒有意義，是不是方程變形過程中搞錯啦？乙：求解過程完全正確，沒有任何的差錯乙：無解時，方程本身就是個矛盾等式，不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值 相等，如上題中，不論x取何值，都不能使方程兩邊的值相等，因此原方程無解,1=0又如對于方程工 ，不論x取何值也不能使它成立，因此，這個方

3、程也無解。甲：那為什么會出現(xiàn)這種情況呢?甲：是不是有增根的分式方程就是無解的，而無解的分式方程就一定有增根呢?乙：不是！有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根，你看:甲：雖然無解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定無解，但我還覺得 無解與增根之間似乎有種微妙的關(guān)系，這是怎么一回事？例4、已知關(guān)于x的方程k + mx-I無解，求m的值乙增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用這種關(guān)系 可以解決分式方程的有關(guān)問題，你看：I 12 k*" j例3、已知關(guān)于x的方程；'1 -： 有增根，求k的值。首先把原方程去分母，化為（北片&quo

4、t;十2x-l）k。因為原方程的最簡公分母是一-所以方程的增根可能是 或：若增根為"1,代入方程，得0十0十，k3；若增根為辺代入方程，得歹，硏。故當了或k6時，原方程會有增根。先把原方程化為一 1-0（1 ）若方程無解，則原方程也無解，方程化為4m，當-0|，而4m0時，方程無解，此時1（2）若方程有解，而這個解又恰好是原方程的增根，這時原方程也無解，所以，當方程的解為 皿 時原方程無解，衣代入方程，得|3m-0，故m-3綜合（1 ）、（ 2），當門 或|時，原方程無解。妙用分式方程的增根解題在解分式方程的過程中，我們還可以利用增根來求分式方程中的待定字母的值請看下面幾例.去分母后

5、化為儀焦+1卜°，解得蠱J衣H 1，此時，技一 1是增根，但原方程并不X + 2是無解，而是有一個解-3,而方程 W，去分母后化為|0，原方程雖然無解，但原方程也沒有增根。乙：你說的沒錯，增根與無解都是分式方程的“?？汀?，它們雖然還沒有達到形影不 離的程度，但兩者還是常常相伴而行的，在有些分式方程問題中，討論無解的情形時 應(yīng)考慮增根，例如：例1若關(guān)于X的方程竺10有增根，則a的值為x 1析解：去分母并整理，得ax 1 x 1,因為原方程有增根，增根只能是x 1，將x 1代入去分母后的整式方程，得a 1. 例2若關(guān)于x的方程 2無解，則m的值是x 3 x 3析解：去分母并整理，得x m

6、 4 0.解之，得x 4 m.因為原方程無解，所以x 4 m為方程的增根.又由于原方程的增根為x 3.所以4 m 3， m 1.1 k例 3. 已知方程 2 + 2 =有增根，貝U k =.4 xx 2析解：把原方程化成整式方程，得212(4 x ) k(x 2).因為原方程有增根，所以增根只能是 x 2或x 2.1將 x 2代入 1 2(4 X2)k(x 2)，得 k41 將x 2代入1 2(4 x2)k(x 2)，無解.故應(yīng)填一.4練一練：1. 如果分式方程亠 無解，則m的值為().x 1 x 1(A) 1(B) 0(C) 1( D) 22. 如果方程導(dǎo) 2有增根x 1，則k二.x211

7、x答案：1.C ; 2.1 ;分式方程的增根及其應(yīng)用一、增根的原因解分式方程時，有時會產(chǎn)生增根，這是因為我們把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程過程中，無形中取掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴大了未知數(shù)的取值范 圍，于是就產(chǎn)生了如下兩種情況：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知數(shù)的取值 范圍內(nèi)，那么整式方程的根就是分式方程的根；(2)如果整式方程的有些根不在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根因 此，解分式方程時，驗根是必不可少的步驟.二、利用增根解題不可否認，增根的出現(xiàn)給我們的解題帶來了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩 面性，由增根的原因知道，分式方程

8、的增根一定是所化成的整式方程的根，同時還能 使其最簡公分母的值為零，據(jù)此可以解決一些相關(guān)的問題，常見的類型有如下幾種：1 已知方程有增根，確定字母系數(shù)值例1 :若方程亠 2 有增根，則m的值為 ()x 3 x 3A . 3B . 3C. 0D .以上都不對析解：把分式方程兩邊同乘以公分母 x 3，得整式方程x 2 (x 3) =m 若原 方程有增根，必須使公分母x 3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6 m，解得 m=3 .故應(yīng)選B .點評：方程有增根，一定是公分母等于 0的未知數(shù)的值.解這類題的一般步驟 把分式方程化成的整式方程；令公分母為0，求出x的值；再把x的值代入整式方程，求出字母系

9、數(shù)的值.2 .已知方程無解，確定字母系數(shù)值例2 :若方程匸空乙匹 1無解，則m的值為 ()x 33 x3A . 1B. 3C. 1 或 3D . 1 或5分析：把分式方程化為整式方程，若整式方程無解，則分式方程一定無解；若整 式方程有解，但要使分式方程無解，則該解必為使公分母為0時對應(yīng)的未知數(shù)的值，此時相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無解.解：去分母，得(3 2x) (2+mx)=3 x,整理,得(m+1) x= 2 .若 m+1=0 ，2 2則m= 1，此時方程無解；若 m+1工0，則x= 是增根.因為 一=3，所m 1m 1以m= 3 .所以m的值為一1或3，故應(yīng)選D .55點評：方程無解的條件

10、，關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)化后的整式方程解的情況.既要考慮整式方 程無解的條件，又要考慮整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問題要 全面、周到.例3 :若解關(guān)于X的方程x 1 x2 1x 1不會產(chǎn)生增根，則k的值為C .不為土 2的數(shù)D .無法確定析解：去分母，把分式方程化為整式方程，x(x+1) k=x(x 1)，解關(guān)于k的方 程,得k=2x.由題意,分式方程無增根，則公分母x2 1工0，即x工±1,則k工±2 .故應(yīng) 選C .點評：方程無增根，就意味著對應(yīng)的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，利用這一點可以確定字母系數(shù)值或取值范圍.妙用分式方程的增根求參數(shù)值解分式方程時

11、，常通過適當變形化去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程來解，若整式方程的 根使分式方程中的至少一個分母為零，則是增根，應(yīng)舍去，由此定義可知：增根有兩 個性質(zhì)：(1 )增根是去分母后所得整式方程的根；(2 )增根是使原分式方程分母為零 的未知數(shù)的值，靈活運用這兩個性質(zhì)，可簡捷地確定分式方程中的參數(shù)(字母)值， 請看下面例示：分式方程有增根，求參數(shù)值x2 4x a例1 a為何值時，關(guān)于x的方程匚 =0有增根?分析：先將原分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后運用增根的兩個性質(zhì)將增根代入整式方程可求a的值3.已知方程無增根，確定字母系數(shù)值x2-4x+a=0 (探)解：原方程兩邊同乘以(x-3 )去分母整理，得因為分式方程有

12、增根，增根為x=3，把x=3代入 序）得，9-12+a=0a=3x 8增根，可求得k=- 3，但分式方程這時有一實根x= 3。二、分式方程是無實數(shù)解，求參數(shù)值x 2 m例3若關(guān)于x的方程x 5 = x 5 +2無實數(shù)根，求m的值。分析：因原方程無實數(shù)根，將原方程去分母得到整式方程解出的x值為原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出 m的值 4x a 所以a=3時，廠3 =0有增根。點評：運用增根的性質(zhì)將所求問題轉(zhuǎn)化為求值問題，簡捷地確定出分式方程中的參數(shù)（字母）值1 m2m 2例2 m為何值時，關(guān)于x的方程T7 + 7 = x2 3x 2有增根。分析：原分式方程有增根，應(yīng)是使分母為 0的

13、x值。將這樣的x值代入去分母的整式方程可求出m的值。解：原方程兩邊同乘以（x-1）（x-2 ）去分母整理，得（1+m ）x=3m+4（探）因為分式方程有增根，據(jù)性質(zhì)（2 ）知：增根為x=1或x=2。把x=1代入序），解3得m=- 2 ；把x=2 代入（探）得 m=-23所以m二2或-2時，原分式方程有增根k2點評：分式方程有增根，不一定分式方程無解（無實），如方程x 1 +1= （x 1）（x 2）有解：去分母，得 x-2=m+2x-10，x=-m+8因為原方程無解，所以x=-m+8 為原方程的增根。又由于原方程的增根為x=5，所以-m+8=5所以m=3點評：這類型題可通過列增根等于增根的方程

14、求出參數(shù)值。分式方程的非常規(guī)解法抓特點選方法有些分式方程利用一般方法解非常麻煩， 若能根據(jù)題目的特點，采用一些特殊的方 法，就可避免不必要的麻煩，巧妙地求得方程的解，獲得意外的驚喜，現(xiàn)結(jié)合幾道習(xí) 題予以說明.、分組化簡法例1 解方程:分析：本題的最小公分母為（x 2）（x 3）（x 4）（x 5），若采用一般解法，就會出現(xiàn)高次項數(shù)，計算相當繁瑣，而且也極易出錯，我們注意到1 1 1x 2 x 3 (x 2)( x 3)1(x 4)( x 5)在此基礎(chǔ)上再通過比較上面兩式即可將本題求解.1 1 1 1解：原方程化為：（C C）（門門）°，上式可變?yōu)椋? 10 即1(x 2)(x 3)1

15、(x 4)(x 5)(x 2)(x 3) (x 4)(x 5)(X 2)(x 3) (x 4)(x 5)，解這個整式方程得：x 3.5，當x 3.5時，該分11檢驗得：冷 2, X2 -都是原方程的解.原方程的解為捲 2, X2 -.55式方程中各分式的分母的值均不為0 ,所以x3.5為原方程的解.、拆項變形法與分式方程根有關(guān)的問題分類舉例例2 .解方程42x2 2x分析：本題求解時應(yīng)首先將題目中的第 1 , 3 , 4個分式的分母因式分解，再將這幾個分式分解成兩個分式差的形式，目的是通過整理將其化繁為簡，使方程變得簡捷易解.3 311122解：原方程變形為：()-()(-)x 2 x 1 x

16、 2 x 1 x x 2 x3 4化簡后整理得： ，：3(x 1) 4x，解得：x 3，當x 3時，分式方程中的x x 1各分式的分母均不為0，故x 3是原方程的解.11三、利用特殊分式方程 x a 求解.xa111分式方程x 113x3x 11y 1 2 1，二y 2或y 1 .即竺2或竺1，解得：人 2, x 丄.經(jīng)y 22 x 1x 125 a 1的解為捲a，X2 -，若一個方程等號兩邊的項分別互為倒xaa數(shù)時，則此時便可套用上面的方程的解法求解.3x x 11例3 .解方程：込以21x 1 3x 2分析：因本題中空與亠，2與丄分別互為倒數(shù)，符合方程x 1 a丄的特點,x 1 3x2x

17、a故可將該方程轉(zhuǎn)化為這種方程的形式求解.3x x 11x 11解：原方程變形為 一一2 -，設(shè)則=-，此時原方程變形為：x 1 3x 23x y與分式方程的根有關(guān)的問題，在近年的中考試題中時有出現(xiàn)，現(xiàn)結(jié)合近年的中考 題分類舉例，介紹給讀者，供學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)有關(guān)內(nèi)容時參考。1. 已知分式方程有增根，求字母系數(shù)的值解答此類問題必須明確增根的意義：(1 )增根是使所給分式方程分母為零的未知數(shù)的值。(2)增根是將所給分式方程去分母后所得整式方程的根。利用(1 )可以確定出分式方程的增根，利用(2)可以求出分式方程有增根時的 字母系數(shù)的值。例1.(2000年潛江市)使關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根的a的值是()A.

18、2B. - 2C.D.與 a 無關(guān)解：去分母并整理，得：因為原方程的增根為x=2，把x=2代入1，得a2=4所以故應(yīng)選C實用標準的值是（例2.（1997年山東省）若解分式方程A. -1 或2C. 1 或 2解：去分母并整理，得：產(chǎn)生增根，則mB. 1 或2D. 1 或一2文檔1分別代入式，得:又原方程的增根是x=0或 ，把x=0或x=m =2 或 m =1故應(yīng)選Co例3.（2001年重慶市）若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為解：原方程可化為：又原方程的增根是，把 代入，得：故應(yīng)填“”。例4.（2001年鄂州市）關(guān)于X的方程會產(chǎn)生增根，求k的值只有增根x=1只有一個實數(shù)根解：原方程可化為：又原方程

19、的增根為x=3 ,把x=3代入，得：k=3例5.當k為何值時，解關(guān)于x的方程：解：原方程可化為：JE x=1 代入 v> ,得 k=3所以當k=3時，解已知方程只有增根x=1 o評注：由以上幾例可知，解答此類問題的基本思路是：(1) 將所給方程化為整式方程；(2) 由所給方程確定增根(使分母為零的未知數(shù)的值或題目給出)(3) 將增根代入變形后的整式方程，求出字母系數(shù)的值。2. 已知分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍例6.(2002年荊門市)當k的值為填出一個值即可)時，方程解：原方程可化為：要原方程只有一個實數(shù)根，有下面兩種情況：(1)當方程彳> 有兩個相等的實數(shù)根，且不為

20、原方程的增根，所以由得k= 1 o當k= 1時，方程1 的根為，符合題意。(2)方程1有兩個不相等的實數(shù)根且其中有一個是原方程的增根，所以由，得k -1 o又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代 入v得k=0 ,或k=3，均符合題意。綜上所述：可填“一0、3”中的任何一個即可。例7.(2002年孝感市)當m為何值時，關(guān)于x的方程無實根？解：原方程可化為：要原方程無實根，有下面兩種情況：(1) 方程無實數(shù)根，由，得；(2) 方程的實數(shù)解均為原方程的增根時，原方程無實根，而原方程的增根為x=0或x=1 ,把x=0或x=1分別代入v得m =2。綜上所述：當或當m=2時，所給方程無實數(shù)

21、解。例8.(2003年南昌市)已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求m的取值范圍。解：原方程化為：要原方程有實數(shù)根，只要方程1有實數(shù)根且至少有一個根不是原方程的增根即(1)當m=0時，有x=1 ,顯然x=1是原方程的增根，所以m =0應(yīng)舍去(2)當時，由，得。又原方程的增根為x=0或,當x=0時，方程不成立；當綜上所述：當且 時，所給方程有實數(shù)根。評注：由以上三例可知，由分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍的基 本思路是：(1) 將所給方程化為整式方程；(2) 根據(jù)根的情況，由整式方程利用根的判別式求出字母系數(shù)的值或取值范圍， 注意排除使原方程有增根的字母系數(shù)的值。3. 已知分式方程無增根，求字母

22、系數(shù)的取值范圍例9.當a取何值時，解關(guān)于x的方程：無增根?解：原方程可化為：又原方程的增根為x=2或 ，把x=2或分別代入得:或又由知，a可以取任何實數(shù)。所以，當且 時，解所給方程無增根。評注：解答此類問題的基本思路是：(1)將已知方程化為整式方程;實用標準文檔（2）由所得整式方程求出有增根的字母系數(shù)的值和使整式方程有實數(shù)根的字母系說明：注意例9與例10的區(qū)別，例9有，而例10無這一不等最簡公分母為零，還必須是所化整式方程的根。數(shù)的取值范圍；（3 ）從有實數(shù)根的范圍里排除有增根的值，即得無增根的取值范圍。4. 已知分式方程根的符號，求字母系數(shù)的取值范圍例9.已知關(guān)于x的方程的根大于0 ,求a的取值范圍。解：原方程可化為：所以由題意，得：且所以 且例10.已知關(guān)于x的方程的根小于0，求k的取值范圍。解：原方程可化為：所以由題意，得：所以評注：解答此類題的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）由已知建立關(guān)于字母系數(shù)的不等式，求出字母系數(shù)的取值范圍，注意排除使 原方程有增根的字母系數(shù)的值。式？請讀者思考。增根在分式方程中的靈活運用增根是