線性代數(shù)樣卷B及答案

1、1021線性代數(shù)樣卷 B、選擇題（本題共 10小題，每小題2分，共20分）（從下列備選答案中選擇一個(gè)正確答案）1、排 列7352164的逆序數(shù)為（）（A） 11（ B）12（ C） 13（ D） 142、若A為n階可逆矩陣，下列各式正確的是（）（A）（2A）1 2A1（ B）A A 0(C) (A ) 1A 1A(D) (A1 T 1T 1 T)(A)0010 013、以初等矩陣 010右乘初等矩陣A 100相當(dāng)于對(duì)矩陣A施行初等變換為（）1000 10(A) r2r3(B) C2C3(C) r13( D) GC34、奇異方陣經(jīng)過(guò)(）后，矩陣的秩有可能改變（A）初等變換（B）左乘初等矩陣（C）

2、左右冋乘初等矩陣（D）和一個(gè)單位矩陣相加5、如果n元齊次線性方程組 Ax0有基礎(chǔ)解系并且基礎(chǔ)解系含有s（s n）個(gè)解向量，那么矩陣A的秩為（）(A) n(B) S(C) n S（D）以上答案都不正確6、向量組1, 2,3線性無(wú)關(guān)，2,3, 4線性相關(guān)，則有（)(A)1可由4,2 ,3線性表示(B)2可由1,4 ,3線性表示(C)3可由1,2,4線性表小(D)4可由1,2 ,3線性表示7、以下結(jié)論正確的是（）（A）一個(gè)零向量一定線性無(wú)關(guān)；（B） 個(gè)非零向量一定線性相關(guān);（C）含有零向量的向量組一定線性相關(guān);（D）不含零向量的向量組一定線性無(wú)關(guān)8、n階方陣A具有n個(gè)不同的特征值是 A與對(duì)角陣相似的

3、（）（A）充要條件（B）充分不必要條件（C）必要不充分條件（D）既不充分也不必要條件9、關(guān)于x的一次多項(xiàng)式 f(x)，則式中一次項(xiàng)的系數(shù)為(A) 2(B) 2(C)(D) 310、下列不可對(duì)角化的矩陣是(A)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣(B)有n個(gè)相異特征值的n階方陣(C) 有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的 n階方陣(D) 不足n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的 n階方陣、填空題(本題共10空，每空2分，共20分)(請(qǐng)將正確答案填入括號(hào)內(nèi))1、若三階方陣A的3重特征值為2,則行列式 A =2、已知D687 6324 33 423 ，則 6A21 8A22 3 A23 4A24 =1 22 13.設(shè)A為三階可逆矩陣，且A1，則1

4、3A32154、=131125、矩陣134的秩是1341236、行列式247中兀素一2的代數(shù)余子式是6257、設(shè)AX 0為一個(gè)4元齊次線性方程組，若1, 2, 3為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則秩R(A)（1）寫(xiě)出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A.（3分）8、設(shè) A 12 的行最簡(jiǎn)形為:9、已知 x (6,4,3) T,y (1, 3, 2)T，貝V x, y10、 設(shè)向量(3, 2,2)T與向量(4,3,t)正交，則三、計(jì)算題(本題共2小題,每小題6分，共12分)(要求寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果)1、計(jì)算D42M2224M2222M4222M24、已知f(x)x24x00，求2f(A).四、綜合應(yīng)用題(本題共4小題,共

5、48分)(要求寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果)1、( 8分)已知向量組 11,2,3,21, 1,3,0T5,7, 3,4,，(1 )求該向量組的秩.(2)求該向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組(3 )將不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示2、( 8 分)驗(yàn)證 1(0,2,1)t,2 (2, 1,3)t, 3( 3,3, 4)T 為 R3 的一個(gè)基并求1(1,2,3)t,2(2, 3,1)t在這個(gè)基中的坐標(biāo)。3、( 14 分)設(shè)有向量組 A:a1 (2, 2, 4)t, a2 (1,2,4)T,a3 (2, , 3)T及向量b (1,3, )T，問(wèn)，取何值時(shí)。(1) 向量b不能由A向量組線性表示？(2) 向

6、量b能由A向量組線性表示，且表示式唯一？(3) 向量b能由A向量組線性表示，且表示式不唯一?224、( 18分)已知二次型=2x1 4x1 x2 +x24x2x3,（2）求矩陣A的特征值.（3分）（3）求矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.（6分）（4） 求正交變換x Py把二次型 =2xj 4x1x2+x22 4x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型.（6分）線性代數(shù)樣卷B答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題（本題共10小題,每小題2分，共20分）1-5: C B D D C 6-10: D C B A D、填空題（本題共10空，每空2分，共20分）1351、 82 、03、4、5、2121 006、-47、1 8、0 109、一

7、12 10、30 01三、計(jì)算題（本題共2小題,每小題6分，共12分）(2n2)2n 1(6分)1、122L22122L2142L22020L0C1 Ci解：Dc 1(2n2)MMMG A (2 n 2)002L01 (2n 2)122L42i 2,L nMMMM122L24000L2122、已知f(x)x24x1，A 2 100340解： 2（ 2 分）A2430004640fAA24AE46000300 ，求2f (A).4A480（ 2 分）8400082 分）四、綜合應(yīng)用題（ 本題共 4小題，共 48 分）（要求寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果）1、（ 8 分）已知向量組T1,2,3,2 T ,

8、 2TT1, 1,3,0 , 3 5,7, 3,41）求該向量組的秩2）求該向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組3）將不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示115102217r013解：A（2 分）333000204000（1）該向量組的秩R( 1, 2,3)2， （2 分）2）該向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為1, 2 （2 分）（ 3） 32 1 3 2 (2 分）2、（8 分）驗(yàn)證 1(0, 2,1)T ,2(2, 1,3)t, 3( 3,3, 4)t 為 R3 的一個(gè)基并求 1(1,2,3)T,2 (2,3,1)T在這個(gè)基中的坐標(biāo)。解：證 A( 1, 2,3) B( 1,2)0 23 1 210(A,

9、B)21 323:01134 3 100A :E即1,2,3為R3,的一個(gè)基且12123 ,241即1,2在這個(gè)基中的坐標(biāo)分別為(2,0 24017(4 分)11 47 24 31, 1)和(4,7, 4)(2 分)(2 分)3、(14 分)設(shè)有向量組 A:a,(2, 2, 4)t, a2 (1,2,4)T, a3 (2, , 3)T及向量b (1,3, )T，問(wèn)，取何值時(shí)。4、(18分)已知二次型=2財(cái)24x1 x2 +x2 4x2x3,(1) 向量b不能由A向量組線性表示？(2) 向量b能由A向量組線性表示，且表示式唯一？(3) 向量b能由A向量組線性表示，且表示式不唯一？解：設(shè)x1a1X

10、2a2X3a3b 記 A(a1, a2, a3)X(X1, X2 , X3 )T212 1 21 21(A b)2230324(5分)443003 26(1)當(dāng)3且26 時(shí) R(A)2 R(代b)3,Ax b無(wú)解，即b不能由A組線性表示。(3 分)(2)當(dāng)43步3, Ax時(shí) R(A)R( A,b)b有唯 解,b冃匕由A組唯表小。(3分丿(3)當(dāng)13且6 時(shí)，R(A)R(A,b)2 3,Ax b有無(wú)窮多解，b能由A表示且不唯一。(3分)(1 )寫(xiě)出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣 A .(3分)(2)求矩陣A的特征值.(3分)（3）求矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.（6分）2（4）求正交變換x Py把二次型 =2xj24X1X2+X24X2X3化為標(biāo)準(zhǔn)型 （6 分）2-2 0解：（1）A-21 -2（3分）0-2 022 0（2）AE21 2（1）（4）（2）02故得特征值為 12, 21, 34 . （3 分）42 0X（3）當(dāng)12時(shí),由（A2E）X0,即232X2002 2X3X11解得X2k1 2 得特征向量12（2 分）X322120x1當(dāng)21時(shí)，由（A-E）X0,即 202 x20021X3X22解得X2k2 1得特征向量21（2 分）X32222 0X1當(dāng) 34時(shí)，由（A-4E）X0,即232X20024X3X22解得X2k32得特征