(新教材)2020人教B(2019)中數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)練：11.4.1直線與平面垂直

1、第十一章立體幾何初步11.4空間中的垂直關(guān)系11.4.1 直線與平面垂直課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.如圖所示PA，平面ABC,BC，AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為 （）B.3A.4C.2D.1因?yàn)椋?L平面? 懈析 ? ?平面？?L ?和平?L? ? ? ?面? BCXPC,所以直角三角形有 PABAPAC,AABC,APBC,故選A.ffA2.在 4ABC 中,AB=AC= 5,BC=6,PAL平面 ABC,PA=8,則點(diǎn) P 至 U BC 的距離是（）A.v5B.2V5C.3V5D.4V512 _解析|由題 PB=PC= V82 + 52 =依9,則 P 至ij BC 的距離 d=V?.（2

2、?）,ip pd=v89-9 = 4v5.答案D3,下列命題中，正確的有（）如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直.過直線l外一點(diǎn)P,有且僅有一個(gè)平面與l垂直.如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面過點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi).A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)正確，中當(dāng)這兩條直線平行時(shí)，可能直線平行平面或在平面內(nèi)答案C4 .一條直線和平面所成角為Q那么。的取值范圍是（）A.（0° ,90° ）B.0 ° ,90° 0.（0° ,

3、90° D.0° ,180° 研由線面角的定義知 B正確.答案|B5 .在正方體 ABCD-AiBiCiDi的六個(gè)面中，與AAi垂直的面的個(gè)數(shù)是（）A.1B.20.3D.6而僅有平面ABCD和平面AiBiCiDi與直線AAi垂直.O|B6 .直線a與平面”所成的角為50° ,直線b/a,則直線b與平面”所成的角等于（）A.40 °B.50°0.90°D.i50°畫根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與“所成的角也是50。.W1B 7.（多選題）如圖,AB0D-AiBi0iDi為正方體，下面結(jié)論正確的是A.B

4、D/平面 0BiDiB.A0i±BD0.A0i,平面 0BiDiD.異面直線AD與0Bi所成的角為60°畫.BD/ BiDi,A 正確；.A0LBD,BD,00i,. .BD，面 A00i,得 BD，A0i,知 B 正確；由 A0i±BD,.-.A0i±BiDi.又 Bi0±B0i,Bi0±AB,# Bi0L平面 AB0,Bi0，A0i,得 A0,平面 0BiDi,故 0 正確;D中顯然異面直線 AD與0Bi所成的角為45° .故選AB0 .答案AB08 .空間四邊形AB0D的四條邊相等，則對(duì)角線A0與BD的位置關(guān)系為 麗取

5、A0中點(diǎn)E,連BE,DE.由 AB=BC 彳導(dǎo) AC，BE.同理ACXDE,所以AC上面BED.因此,AC±BD.產(chǎn)1垂直9 .已知PA垂直于平行四邊形 ABCD所在的平面若PCLBD,則平行四邊形 ABCD 一定 是.辨析|由于PAL平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PAXBD.又 PCLBD,且 PC?平面 PAC,PA?平面 PAC,PCnPA=P 所以 BDL平面 PAC.又AC?平面PAC,所以BDXAC.又四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形 ABCD是菱形.后照菱形10 .£>iC如圖所示,M,N分別是正方體 ABCD-A1B1C1D1中BB1,B

6、C1的中點(diǎn).(1)則MN與CD1所成的角為 .(2)則MN與AD所成的角為 .畫(1)由圖易知MN/AD1,.祥CD1構(gòu)成正三角形. .AD1 與 CD1 成 60° 角，：MN 與 CD1 成 60° 角.(2)AD1 與 AD 成 45° 角，而 MN/AD1,.MN 與 AD 成 45° 角.圖案(1)60(2)45。11 .線段AB在平面a的同側(cè)，A,B到a的距離分別為3和5,則AB的中點(diǎn)到a的距離為 畫如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M,分別過A,M,B向a作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,則由線面垂直的性質(zhì)可知,AA1 II MM1 II BB1,四邊

7、形AAiBiB為直角梯形，AAi=3,BBi=5,MMi為其中位線，：MMi=4. S<1412.如圖，在三棱錐 A-BCD 中,CA=CB,DA=DB.作BE，CD,點(diǎn)E為垂足，作AHLBE于點(diǎn)H.求證:AHL平 面 BCD.此叫取AB的中點(diǎn)F,連接CF,DF.CA=CB ,DA=DB ,/.CF± AB,DF ±AB. CFnDF=F，：AB,平面 CDF. CD?平面 CDF,. . ABXCD.又 CD，BE,AB ABE=B，： CD ± 平面 ABE. AH?平面 ABE,. . CD ±AH.,. AH±BE,BEnCD=E

8、，：AH,平面 BCD.能力提升1.C D如圖所示，已知六棱錐 P-ABCDEF的底面是正六邊形，PAL平面ABCDEF,則下列結(jié)論不正確的是()A.CD / 平面 PAFB.DFL平面 PAFC.CF / 平面 PABDC平面PAD解析|由CD / AF得CD /平面PAF,A正確；由 DF ±AF,DF ±PA 得 B 正確；由CF / AB得C正確;CF與AD不垂直，：CF與平面PAD不垂直 得D不正確. 答案D2.1如圖所不，正萬體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,線段BiDi上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) E,F,且EF= 2,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.ACXBEB.EF /

9、平面 ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.AAEF的面積與4BEF的面積相等辨析|由AC,平面DBBiDi,BE?平面DBBiDi知A正確；由EF?平面AiBiCiDi且平面 AiBiCiDi/平面ABCD知B正確油ABEF面積Sxi X=Va-befX X1 =必知C正確，D中兩三角形以 EF 22432424為底邊，高不等，則面積不等，故d錯(cuò)誤.答案D3 .將圖（i）中的等腰直角三角形 ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體 ABCD 如圖（2）,則在空間 四面體ABCD中,AD與BC的位置關(guān)系是（）A.相交且垂直B.相交但不垂直C.異面且垂直D.異面但不垂直而在圖（i）中的等腰

10、直角三角形 ABC中,斜邊上的中線 AD就是斜邊上的高，則AD ± BC,翻折后如圖（2）,AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段均與 AD垂直，即ADL BD,AD，CD,故 ADL 平面 BCD 所以 ADLBC,選 C.答案C4 .（多選題）在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)E,F,G分別為棱 AiDi,AiA,AiBi的中點(diǎn)，下列命題中正確的 是（）A.EFXBiCB.BCi/平面 EFGC.AiCL平面 EPGD.異面直線FG,BiC所成角的大小為4畫如圖，連接 ADi,則 EF /ADi / BCi,而 BCiBiC,則 EFBiC

11、,故 A 正確；,BCi/ EF,EF?平面 EFG,BCi?平面 EFG, ： BCi/平面 EFG,故 B 正確；AiC± EFACEG,EF AEG=E ,：AiC,平面EFG,故C正確;FG / ABi, ： / ABiC為異面直線FG,BiC所成角，連接AC,可得AABiC為等邊三角形，則/ 仃.- 仃、一一一、一.ABiC=3,即異面直線FG,BiC所成角的大小為3,故D錯(cuò)誤.故選ABC.森|ABC5 .在三柱ABC-AiBiCi中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BBiCiC的中心，則AD與平面BBiCiC所成角的大小是（）A.30 °B.45°

12、;C.60°D.90°畫如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接AE,則AEL平面BCCiBi.故/ADE為直線 AD與平面BBiCiC所成的角.設(shè)各棱長為a,則AE=%,DE=2a.tan/ADE= v3.: / ADE= 60°答案C6 .如圖,三條相交于點(diǎn) P的線段PA,PB,PC兩兩垂直，點(diǎn)P在平面ABC外,PHL平面ABC于點(diǎn)H,則垂足H 是 AABC 的（）A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心pW| PCX PA,PC ± PB,PA nPB=P ,.PC,平面 PAB.又AB?平面 PAB,. .AB±PC.又.ABLPHPH nPC=P,：ABL

13、 平面 PCH.又CH?平面 PCH,/.AB±CH.同理 BC ±AH ,AC± BH. ： H 為 AABC 的垂心.答案C7 .如圖,正方體ABCD-AiBiCiDi中，與ADi異面且與ADi所成的角為90°的面對(duì)角線（面對(duì)角線是指正方體各個(gè)面上的對(duì)角線 ）共有 條.辨析|與ADi異面的面對(duì)角線分別為 AiCi,BiC,BD,BAi,CiD淇中只有BiC和ADi所成的角為90° .件案i8 .等腰直角三角形 ABC的斜邊AB在平面a內(nèi)若AC與a所成的角為30° ,則斜邊上的中線 CM與a 所成的角為.畫如圖，設(shè)C在平面a內(nèi)的射影

14、為。點(diǎn)，連結(jié)AO,MO,貝U/CAO=30°，/CMO就是CM與a所成的角設(shè) AC=BC= i,則 AB= v2,加=白。弓,_?、刀.sin/ CMO= ?2：Z CMO= 45°答案459 .AABC的三個(gè)頂點(diǎn) A,B,C到平面a的距離分別為2 cm,3 cm,4 cm,且它們?cè)?a的同側(cè)，則那BC的重 心到平面 a的距離為.畫如圖，設(shè)A,B,C在平面a上的射影分別為 A',B',C',那BC的重心為G,連接CG并延長交AB于中 點(diǎn)E,又設(shè)E,G在平面a上的射影分別為E',G',i5則 E'CA'B'Ge

15、C'E',EE'=2（A'A+B'B ） = 5,CC'=4,CG : GE=2 ： i,在直角梯形 EE'C'C中，取GC,G'C'中點(diǎn)H,H', 設(shè) GG'=X1,HH'=x2,則?= ?=?+5U-'則X1=3，即可求得GG'=3. ?+42 ,答案3 cm10.如圖在三棱錐 P-ABC 中,PA=PB=PC= 13,/ABC= 90° ,AB= 8,BC= 6,M 為 AC 的中點(diǎn).(1)求證:PM，平面 ABC;(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值

16、.|證明' PA=PC ,M為AC的中點(diǎn)，.PMXAC.又/ABC=90° ,AB= 8,BC= 6, 1. AM=MC=MB= 2AC= 5.在HMB 中,PB=13,MB= 5.PM=，？?= V 1:2-52= 12. :PB2=MB 2+PM 2, . .PM ± MB. 由可知PML平面ABC.(2)闕.PM，平面 ABC,MB為BP在平面ABC內(nèi)的射影，/ PBM為BP與底面ABC所成的角.，一 ?12在 RtAPMB 中 tan / PBM= 一 =?5 .11.C如圖，在四棱錐 P-ABCD 中,PAL平面 ABCD,AB=BC= 2AD=CD= v

17、7,PA= v3, Z ABC= 120° .G 為 線段PC上的點(diǎn).證明：BD,平面APC;(2)若G為PC的中點(diǎn)，求DG與平面APC所成角的正切值；?八若G滿足PC，平面BGD,求避J值.|證明誑嵐O為AC,BD的交點(diǎn).由AB=BC ,AD=CD彳導(dǎo)BD垂直平分線段 AC.所以。為AC的中點(diǎn),BD±AC.又因?yàn)镻AL平面 ABCD,BD?平面ABCD,所以PA ± BD.又PAAAC=A，所以BDL平面APC.(2)阿隹接OG.由(1)可知ODL平面APC,則DG在平面APC內(nèi)的射影為 OG,所以/ OGD是DG與平面PAC所成白角.由題意得OG=2pa=3在那BC中，因?yàn)?AB=BC，/ABC