2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：1.5.1　曲邊梯形的面積 1.5.2　汽車行駛的路程 Word版含解析

1、15.1曲邊梯形的面積 15.2汽車行駛的路程目標(biāo) 1.知道“以直代曲”的意義.2.學(xué)會(huì)求曲邊梯形面積和汽車行駛路程的步驟.3.感受解決問(wèn)題過(guò)程中滲透的思想方法重點(diǎn) 求曲邊梯形面積與計(jì)算汽車行駛的路程問(wèn)題難點(diǎn) 求曲邊梯形面積的方法與步驟知識(shí)點(diǎn)一 曲邊梯形的面積填一填1連續(xù)函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間i上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把它稱為區(qū)間i上的連續(xù)函數(shù)2曲邊梯形的面積(1)曲邊梯形：由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖)(2)求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即

2、用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖)(3)求曲邊梯形面積的步驟：分割，近似代替，求和，取極限答一答1“曲邊梯形”與“直邊梯形”有什么聯(lián)系與區(qū)別？提示：曲邊梯形與直邊梯形都有四條邊，直邊梯形的四條邊都是線段，而曲邊梯形有一條邊是曲線段，其余三條邊都是線段2“以直代曲”思想的本質(zhì)是什么？提示：曲邊梯形的邊中有曲線，不方便直接求出其面積，因此，我們把曲邊梯形分割成一系列的小曲邊梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，無(wú)限“細(xì)分”去“逼近”面積的精確值，這種極限的思想是學(xué)習(xí)定積分的一種重要的思想3分割步驟中，小

3、區(qū)間的多少對(duì)最終結(jié)果有何影響？提示：對(duì)區(qū)間a，b劃分的越細(xì)，估計(jì)值就越接近精確值，即小矩形面積的和越趨近曲邊梯形的面積4近似代替步驟中，f(i)有何要求？提示：“近似代替”中每一個(gè)小區(qū)間上函數(shù)f(x)的值可用f(i)來(lái)代替，ixi1，xi，不影響極限的值為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)或中點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)二 求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移(路程)填一填如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)vv(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取極限的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.答一答5求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的方法和求曲邊梯形的面積的方法有什么關(guān)系？提示：相同6汽車行駛路程用“求曲邊梯形面積”的依

4、據(jù)是什么？提示：事實(shí)上，我們可以認(rèn)為汽車在每個(gè)小時(shí)間間隔，上近似地以任意時(shí)刻i，處的速度v(i)做勻速行駛，并且我們有s(i)tv(i)求曲邊梯形面積的注意事項(xiàng)1在分割過(guò)程中，分割得越細(xì)，近似代替后所求面積的和越接近曲邊梯形的面積，也可以不是等分2當(dāng)把區(qū)間0,1n等分時(shí)，第i個(gè)區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值為f，右端點(diǎn)的函數(shù)值為f.可以用每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一般常用左端點(diǎn)的函數(shù)值，或用右端點(diǎn)的函數(shù)值作為小矩形的高3當(dāng)n時(shí)，所得梯形的面積不是近似值，而是真實(shí)值.類型一 曲邊梯形的面積【例1】求曲線yx2與x1，y0所圍成的區(qū)域的面積【解】將區(qū)間0,1等分為n個(gè)小區(qū)間(如圖所示)：，每個(gè)小區(qū)間

5、的長(zhǎng)度為xi.過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，再分別用小區(qū)間左端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2為高，xi為底作小矩形，于是圖中曲線之下矩形面積依次為：02·，2·，2·，2·.所有這些小矩形的面積和(圖中陰影部分的面積)sn02·2·2·2·021222(n1)2·.由此得到ssn .從圖形上看，當(dāng)n越大時(shí)，劃分越來(lái)越細(xì)，陰影部分的面積與曲邊梯形面積相差越來(lái)越小當(dāng)n時(shí)，陰影部分趨近于曲邊三角形，因此，可以將視為此曲邊三角形的面積當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)f(x)x2在區(qū)間上的值可以用下列哪一項(xiàng)近似代替(c)af

6、 bfcf df(0)類型二 汽車行駛的路程【例2】一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，汽車在時(shí)刻t的速度為v(t)t25(單位：km/h)，試計(jì)算這輛汽車在0t2(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的路程s(單位：km)【思路分析】由v(t)及t0，t2，v0所圍成的面積即為汽車行駛的路程，按照求曲邊梯形面積的方法求解即可【解】(1)分割：在區(qū)間0,2上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間：，記第i個(gè)小區(qū)間為(i1,2，n)，t，則汽車在時(shí)間段，上行駛的路程分別記作s1，s2，s3，sn，有snsi.(2)近似代替：取i(i1,2，n)，siv·t··(i1,2，

7、n)(3)求和：snsi···10(1222n2)10·108×10.(4)取極限：ssn.這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的路程s為 km.若物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為vv(t)，則我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在axb內(nèi)所走的路程s.一輛汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a(t)t2(單位為m/s2)，試計(jì)算這輛汽車在0t10(單位為s)這段時(shí)間內(nèi)的末速度v(單位為m/s)解：(1)分割：在0,10上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間：0，記第i個(gè)小區(qū)間為，(i1,2，n)，t，則汽車在時(shí)間段0，上速度的增量分別記作v1，

8、v2，vn，有vnvn.(2)近似代替：i(i1,2，n)，via()·t()2(i1,2，n)(3)求和：vnvi()(1222n2)×(1)(2)(4)取極限：vvn，這段時(shí)間內(nèi)汽車末速度為 m/s.搞錯(cuò)區(qū)間端點(diǎn)導(dǎo)致出錯(cuò)【例3】求由拋物線y2x2與直線x0，xt(t>0)，y0所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，將區(qū)間0，t等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i1個(gè)區(qū)間為()a. b.c. d.【錯(cuò)解】解決本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為區(qū)間左端為，從而誤選c.【錯(cuò)因分析】本題選c是錯(cuò)把i1個(gè)區(qū)間看作第i個(gè)區(qū)間，而選c.【正解】每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為，故第i1個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)為0(i2)×，右端點(diǎn)為.

9、【答案】d在求直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊三角形的面積時(shí)，把區(qū)間0,2等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間是(c)a. b.c. d.解析：將區(qū)間0,2等分為n個(gè)小區(qū)間后，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，第i個(gè)小區(qū)間為.1和式(xi3)等于(c)a(x13)(x103)bx1x2x3x103cx1x2x3x1030d(x13)(x23)(x33)··(x103)2函數(shù)f(x)在區(qū)間xi，xi1上近似值等于(c)a只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)b只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi1)c可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(i)(ixi，xi1)d以上答案均正確3在計(jì)算由曲線yx2以及直線x1，x1，y0所圍成的圖形面積時(shí)，若將區(qū)間1,1n等分，則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為.解析：每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為.4求由拋物線f(x)x2，直線x3以及x軸所圍成的平面圖形的面積時(shí)，若將區(qū)間0,35等分，如圖所示，以小區(qū)間中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，所有小矩形的面積之和為8.91.解析：由題意得s(0.320.921.522.122.72)×0.68.91.5利用分割，近似代替，求和，取極限的辦法求函數(shù)y1x，x1，x2的圖象與x軸圍成梯形的面積并用梯形的面積公式加以驗(yàn)證解：f(x)1x在區(qū)間1,2上連續(xù)，