曲面積分-習(xí)題課2ppt課件

1、例例 題題習(xí)習(xí) 題題 課課教學(xué)要求教學(xué)要求第十章 曲面積分場論初步場論初步Gauss) 、2.了解散度、旋度的概念及其計算了解散度、旋度的概念及其計算1. 了解兩類曲面積分的概念及高斯了解兩類曲面積分的概念及高斯并會并會計算兩類曲面積分計算兩類曲面積分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.3. 會用曲面積分求一些幾何量與物會用曲面積分求一些幾何量與物理量理量.一、教學(xué)要求一、教學(xué)要求理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)

2、()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三場論初步（三場論初步;1),(,22dxdyzz

3、yxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)1yxzz 若若曲曲面面那么那么 如果曲面方程為以下三種：如果曲面方程為以下三種：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么),(:)2zxyy 若若曲曲面面對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若若曲曲面面那那么么計算的關(guān)鍵是看所給曲面方程的形式！計算的關(guān)鍵是看所給曲面方程的形式！曲面方程以哪兩個變量為自變量，就向這兩個曲面方程以哪兩個變量為自變量，就向這兩個變量所確定的坐標平面投影，得到積分區(qū)域。變量所

4、確定的坐標平面投影，得到積分區(qū)域。對坐標的曲面積分的計算法對坐標的曲面積分的計算法解法有三種解法有三種1. 利用高斯公式利用高斯公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 閉曲面閉曲面具有具有那么那么取取其其中中 外側(cè)外側(cè). .在在若若RQP,中中所圍成的空間域所圍成的空間域 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,)2(,比較復(fù)雜比較復(fù)雜非閉而非閉而若若RQP 在在RQP,后后加加面面 )(為為閉閉 中中所構(gòu)成的空間域所構(gòu)成的空間域 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么那么 I 1. 利用高斯公式利用高斯公式2. 通過投影化為二重積分通過投影化為二重積分yxzyxRxzz

5、yxQzyzyxPIdd),(dd),(dd),( yzDzyzyzyxPdd),),( zxDxzzxzyxQdd),(,( xyDyxyxzyxRdd),(,(注意注意 的確定的確定!3. 向量的點積法向量的點積法 yxRxzQzyPIdddddd SnAd0)dd,dd,dd(),( yxxzzyRQP面投影面投影在在將將xOy yxzzSyxdd1d22 )1 ,(yxzz 的的法法向向量量為為 ,1)1 ,(220yxyxzzzzn ),(yxfz 的方程為的方程為設(shè)曲面設(shè)曲面yxzzRQPyxdd)1 ,(),( xyD 的的側(cè)側(cè)與與若若題題設(shè)設(shè)中中曲曲面面 ,)1 ,(相相同同y

6、xzz ., 否否則則取取取取規(guī)定規(guī)定yxzzRQPyxdd)1 ,(),( ,122222的的上上半半部部分分為為橢橢球球面面設(shè)設(shè) zyxS,),(處的切平面處的切平面在點在點為為點點PSSzyxP ,)0 , 0 , 0(的的距距離離到到平平面面為為點點O解解,),(上上任任意意一一點點為為設(shè)設(shè) ZYX的方程為的方程為則得出則得出 122 zZyYxX由點由點O到平面的距離公式到平面的距離公式,得得例例),(zyx .d),(SzyxzS 求求222441),(zyxzyx 22122yxz 由由,221222yxxxz 221222yxyyz yxyzxzSdd1d22 得得yxyxyx

7、dd221242222 的上半部分的上半部分為橢球面為橢球面設(shè)設(shè)122222 zyxS所以所以SzyxzSd),( xyDyxyxdd)4(4122 23 122:22 yxDxyyxyxyxSdd22124d2222 221441),(22222yxzzyxzyx rrrd)4(d412022 0 q q2222d ,06xSxyaz求其中為柱面 22ddxSyS222231ddd622axSxySSa解：由于解：由于 關(guān)于變量關(guān)于變量 x, y x, y 輪換對稱性輪換對稱性 例例在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上側(cè)側(cè)為為平平面面為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)其其中中計計算算1,),(,),(),

8、(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用向量的點積法利用向量的點積法,1 , 1, 11 ,yxzzn的的法法向向量量為為dxdyzzyxfyzyxfxzyxfI1),()1(),(21),(dxdyzyxI)(xyDdxdy1.21 在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI1-1yx1 yxxyD所所截截部部分分的的外外側(cè)側(cè)被被平平面面錐錐面面為為其其中中計計算算2, 1,222 zz

9、yxzdxdyzxdzdxydydzI例例解解,2222yxyzyxxzyxD 法一：利用向量點積法法一：利用向量點積法 q q 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22dxdyyxyyxxzxyI122222,41:22 yxDxy所截部分的外側(cè)所截部分的外側(cè)被平面被平面錐面錐面為為其中其中計算計算2, 1,222zzyxzdxdyzxdzdxydydzI用高斯公式用高斯公式.補面：補面： 取下面，取下面，221:1,1zxy取上面。取上面。222:2,4zxy那么那么 構(gòu)成封閉曲面，且取外側(cè)。構(gòu)成封閉曲面，且取外側(cè)。12 122,ydydzxdzdxz dxd

10、y 計算計算2,Py Qx Rz 由高斯公式由高斯公式()PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz法法2 2：122,ydydzxdzdxz dxdy 2zdv2221115222zDzdzdxdyz z dz12()ydydzxdzdxz dxdy 下側(cè)22()16ydydzxdzdxz dxdy上側(cè)1212I 下外下上152 122,ydydzxdzdxz dxdy 2zdv2122220010122rdrdrzdzdrdrzdzqq（柱坐標）注意：若用柱面坐標計算三重積分，要分區(qū)域考慮。注意：若用柱面坐標計算三重積分，要分區(qū)域考慮。23xyzO解解 333,zRyQxP zyxzy

11、xIddd)(3222 q q dddsin322rrr,32xxP rrRdsindd320004 q q 球球 例例 yxzxzyzyxI,dddddd333計計算算的的為為球球面面2222Rzyx ,32yyQ 23zzR .5125R 外側(cè)外側(cè). . yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)( zyxo y,xzxzyzyxdddddd其中其中 222yxRz 的上側(cè)的上側(cè). .且取下側(cè)且取下側(cè) , , 提示提示: : 以半球底面以半球底面0原式原式 = = 3323R 0 32R 0zyxddd3 0ddddddyxzxzyzyx記半球域為記半球域為 , ,高斯公式有高斯公式

12、有計算計算為輔助面為輔助面, , 利用利用為半球面為半球面例例 2121I例例 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面2221: zxy9)1(16)2(5122 yxz 23222dddddd)zy(xyxzxzyzyxI解解: : 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù), , 作曲面作曲面取下側(cè)取下側(cè) 使其包在使其包在 內(nèi)內(nèi), , 為 xoy 平面上夾于之間的部分之間的部分, ,且取下側(cè)且取下側(cè) , ,1 與與21ozyx取上側(cè)取上側(cè), , 計算計算, )0( z那那么么221ozyx)2(133 I 2121I 1dddddd13yxzxzyzyx 2 第二項添加輔助面第二項添加輔助面, , 再用高斯公式再用高斯公式

13、計算計算, , 得得232220 d d()xyxyvd0 例例證明證明: : 設(shè)設(shè)(常向量)那那么么單位外法向向量單位外法向向量, , 試證試證 Sdcoscoscoscoscoscos 0 vzyxd)cos()cos()cos( zyddcos xzddcos yxddcos 設(shè)設(shè) 為簡單閉曲面為簡單閉曲面, a , a 為任意固定向為任意固定向量量, ,n 為為的的 . 0d)cos( Sa,n Sa,nd)cos( Sand0)cos,cos,(cos n)cos,cos,(cos0 a例例 計算曲面積分計算曲面積分 其其,d2)(22SzyzyxI 中中 是球面是球面.22222z

14、xzyx 解解: : Szxd)22( 32 SzyxId )(222 zyyx22 Syzxd)(2 Szxd)(20利用對稱性利用對稱性用重心公式用重心公式( (曲面關(guān)于曲面關(guān)于xozxoz面面對稱）對稱）29例例 計算曲線積分計算曲線積分其中其中 為曲線為曲線 0,2222zyxRzyxR zxyzxy,d)3(d)2()d1(若從若從x軸正向看過去軸正向看過去, 為取逆時針方向為取逆時針方向.解解 設(shè)設(shè)為為 所圍的圓盤所圍的圓盤, 所在的曲面方程為所在的曲面方程為 , 0 zyx取上側(cè)取上側(cè), 其單位法向量為其單位法向量為 31,31,31按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , ),cos

15、,cos,(cos zxyOn30SRQPzyxdcoscoscos zRyQxPddd 原式原式Sxzyzyxd321313131 31,31,31)cos,cos,(cos Sd3 .32R RzxyOn設(shè)設(shè)為為 所圍的圓所圍的圓盤盤 222xyz1.設(shè)為球面+=1的上半部分的上側(cè)，則下列式子錯誤的是( ) 20Ax dydz 0Bydydz 0Cxdydz20Dy dydzC選擇題：選擇題：222221,.yozyzxyz ds2.設(shè)是平面上的圓域則等于 0;A ;B ;4C.2D22221,.xyzxyzDxoyxyzdydz3.設(shè)是旋轉(zhuǎn)拋物面+,1的外側(cè)，是平面上圓域則可化為二重積分 222;xyDAxyxdxdy 222;xyDBxyx dxdy 222;xyDCxyydxdy22