有限元在電磁場中的應用

1、有限元法在電磁場分析中的應用有限元法在電磁場分析中的應用有限元法簡介 有限元法是一種數(shù)值計算方法，最初用于力學領(lǐng)域，六十年代中期開有限元法是一種數(shù)值計算方法，最初用于力學領(lǐng)域，六十年代中期開始用于電磁場計算始用于電磁場計算 。目前在電磁場分析中，有限元法是較先進的方法之。目前在電磁場分析中，有限元法是較先進的方法之一。這種方法以變分原理為依據(jù)，具有牢固的數(shù)學基礎(chǔ)。一。這種方法以變分原理為依據(jù)，具有牢固的數(shù)學基礎(chǔ)。 在實際的電磁場中，場是連續(xù)的，空間無限多個點的每一點都有確在實際的電磁場中，場是連續(xù)的，空間無限多個點的每一點都有確定的的場量（即具有數(shù)學上所稱的無窮維自由度定的的場量（即具有數(shù)學上

2、所稱的無窮維自由度) )。而有限元法是將場域。而有限元法是將場域劃分為有限個單元，用一個簡單的函數(shù)作為場變量模型（又稱插值函劃分為有限個單元，用一個簡單的函數(shù)作為場變量模型（又稱插值函數(shù)），構(gòu)成每個單元中場的試探解。有限元法可以將單元中任一點的待數(shù)），構(gòu)成每個單元中場的試探解。有限元法可以將單元中任一點的待求量求量 ，用該單元邊界與其他單元邊界的交點，用該單元邊界與其他單元邊界的交點 ( (在有限元法中稱為結(jié)點在有限元法中稱為結(jié)點) ) 上的場量值表示上的場量值表示 。因此，整個場的計算可歸結(jié)為有限個結(jié)點上場量的。因此，整個場的計算可歸結(jié)為有限個結(jié)點上場量的 的計算，即將無窮維自由度問題轉(zhuǎn)化為

3、有限個自由度的問題。的計算，即將無窮維自由度問題轉(zhuǎn)化為有限個自由度的問題。 結(jié)點場量計算的思路如下：描述電磁場規(guī)律的是些偏微分方程，結(jié)點場量計算的思路如下：描述電磁場規(guī)律的是些偏微分方程， 首先找出與之相應的泛函，這樣偏微分方程的邊值問題就成了求泛函首先找出與之相應的泛函，這樣偏微分方程的邊值問題就成了求泛函的極值問題。場域被分成有限單元后，整個場域的泛函就是各單元泛的極值問題。場域被分成有限單元后，整個場域的泛函就是各單元泛函之和。在引入插值函數(shù)并用結(jié)點場量表示單元內(nèi)任一點的場量后，函之和。在引入插值函數(shù)并用結(jié)點場量表示單元內(nèi)任一點的場量后，泛函近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)，變分極值近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)

4、的極值。在泛函近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)，變分極值近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值。在對場量取偏導并令之為零后，得到的方程是代數(shù)方程。每個單元建立對場量取偏導并令之為零后，得到的方程是代數(shù)方程。每個單元建立一個方程，在整個求解區(qū)域中則有一個代數(shù)方程組，計及邊界條件后一個方程，在整個求解區(qū)域中則有一個代數(shù)方程組，計及邊界條件后解此方程組就可求出各結(jié)點場量。在此過程中，并不要求每個單元中解此方程組就可求出各結(jié)點場量。在此過程中，并不要求每個單元中的插值函數(shù)滿足整個場域的邊界條件，所以可以很容易的確定。由于的插值函數(shù)滿足整個場域的邊界條件，所以可以很容易的確定。由于 整個計算過程都是代數(shù)運算，故可由計算機進行。正因

5、如此，有限元整個計算過程都是代數(shù)運算，故可由計算機進行。正因如此，有限元法成了求解電磁場邊值的一種簡單有效的方法。法成了求解電磁場邊值的一種簡單有效的方法。有限元法解題的一般步驟用有限元求解實際問題的步驟大致如下：用有限元求解實際問題的步驟大致如下：（1 1）找出與被求解的邊值問題相應的泛函。目前，電磁場中常遇到的一些偏微分）找出與被求解的邊值問題相應的泛函。目前，電磁場中常遇到的一些偏微分方程相應的泛函均已被找到，例如與泊松方程方程相應的泛函均已被找到，例如與泊松方程 相應的泛函（對第二類邊相應的泛函（對第二類邊界條件）為界條件）為 （1 1）其中，其中， 表示電位表示電位 的梯度，的梯度，

6、 表示求解域體積，表示求解域體積，s s為其表面積，為其表面積，f f為常數(shù)為常數(shù)（2 2）對求解域的連續(xù)域進行離散，即按一定方式將場域剖分為有限個單）對求解域的連續(xù)域進行離散，即按一定方式將場域剖分為有限個單元體。若求解的是平面場，則可以用三角形、矩形、曲線四邊形等單元體。若求解的是平面場，則可以用三角形、矩形、曲線四邊形等單 2=-f2s1J=-2fd-ds2 元去分割（見圖元去分割（見圖1 1）。對于三維空間場，單元的形狀可以是四面體、長）。對于三維空間場，單元的形狀可以是四面體、長方體、任意六面體等（見圖方體、任意六面體等（見圖2 2）。不論是平面場還是空間場，對于同）。不論是平面場還

7、是空間場，對于同一求解域可以用不同類型的單元去分割。究竟場域如何剖分及結(jié)點如一求解域可以用不同類型的單元去分割。究竟場域如何剖分及結(jié)點如何編號等，需要根據(jù)場域及邊界的具體形狀、結(jié)構(gòu)、計算機容量、計何編號等，需要根據(jù)場域及邊界的具體形狀、結(jié)構(gòu)、計算機容量、計算速度和求解的精度等因素來確定。算速度和求解的精度等因素來確定。如平面場域中若用三角形如平面場域中若用三角形【見圖見圖1 1（a a）】，作為基本單元，當單元中每個結(jié)，作為基本單元，當單元中每個結(jié)點的自由度為點的自由度為1 1時，則線性場變量模型為時，則線性場變量模型為 （2 2）式中，式中， 代表單元內(nèi)任意一點的場量，代表單元內(nèi)任意一點的場

8、量，x x、y y為該點的坐標，為該點的坐標， 為系數(shù)為系數(shù)若用雙線性元的矩形單元若用雙線性元的矩形單元【見圖見圖1 1（b b）】為基本單元，則場變量模型為：為基本單元，則場變量模型為： （3 3）1234xy =+yxy（ ， ）xy（ ， ）1234xy =+xyxy（ ， ） （4 4）求出單元特征式。當選定單元形狀和場變量模型后，就可確定表示單元）求出單元特征式。當選定單元形狀和場變量模型后，就可確定表示單元特性的矩陣公式。例如，平面場中若選定三角形單元來分割，它的場變量模特性的矩陣公式。例如，平面場中若選定三角形單元來分割，它的場變量模型由（型由（2 2）式表示，其中系數(shù)）式表示，

9、其中系數(shù) 與三角形的三個頂點處的坐標極點及電位值與三角形的三個頂點處的坐標極點及電位值有關(guān)。若令三角形有關(guān)。若令三角形ijmijm【見圖見圖1 1（a a）】的三個頂點的函數(shù)值分別為的三個頂點的函數(shù)值分別為 、 和和 ，則有，則有 （4 4）ijm解式（解式（4 4）可得）可得 （5 5）式中式中 （6 6） 表示為表示為ijmijm三角形面積。將式（三角形面積。將式（5 5）代入式（）代入式（4 4）經(jīng)整理可得）經(jīng)整理可得 （6 6）其中其中 （7 7）iijjmmxy =N+N+N（ ， ）式（式（8 8）稱為三結(jié)點三角單元的形狀函數(shù)（也稱內(nèi)插函數(shù)或基函數(shù)）。至此）稱為三結(jié)點三角單元的形狀

10、函數(shù)（也稱內(nèi)插函數(shù)或基函數(shù)）。至此，可用已知結(jié)點的場景及形狀函數(shù)來表示單元中未知點場量。，可用已知結(jié)點的場景及形狀函數(shù)來表示單元中未知點場量。 若令式（若令式（1 1）中）中f=0f=0，對于第一、第二類邊界條件，則式（，對于第一、第二類邊界條件，則式（1 1）變?yōu)椋┳優(yōu)?(9) (9)這就是第一、第二類邊界條件下的拉普拉斯方程所對應的泛函。將這就是第一、第二類邊界條件下的拉普拉斯方程所對應的泛函。將式（式（7 7）代入式（）代入式（9 9），然后進行求導運算可得），然后進行求導運算可得21()d2VJV （10 10）這就是拉普拉斯方程的三角單元矩陣特征式這就是拉普拉斯方程的三角單元矩陣特征

11、式（5 5）集合單元特性得到表示整個解域性質(zhì)的矩陣方程式。為了求得）集合單元特性得到表示整個解域性質(zhì)的矩陣方程式。為了求得全系統(tǒng)模型的特性，就必須全系統(tǒng)模型的特性，就必須“集合集合”全部單元的特性，然后求泛函的全部單元的特性，然后求泛函的極值，導出聯(lián)立代數(shù)方程組（又稱有限元方程）。極值，導出聯(lián)立代數(shù)方程組（又稱有限元方程）?！凹霞稀彼罁?jù)的所依據(jù)的原理是：在一些單元相互連接的結(jié)點處，要求所有包括此結(jié)點的單元原理是：在一些單元相互連接的結(jié)點處，要求所有包括此結(jié)點的單元在該結(jié)點處的場變量相同。（在該結(jié)點處的場變量相同。（4 4）和（）和（5 5）步可一并由計算機來完成。）步可一并由計算機來完成。（6 6）求解有限元方程。這首先要考慮邊界條件，然后由計算機解出）求解有限元方程。這首先要考慮邊界條件，然后由計算機解出未知結(jié)點的場變量值，通過這些結(jié)點值就能求出場內(nèi)任一點的場量值未知結(jié)點的場變量值，通過這些結(jié)點值就能求出場內(nèi)任一點的場量值。總之，有限元法是從變分原理出發(fā)，通過區(qū)域劃分和分片插值找出形總之，有限元法是從變分原理出發(fā)，通過區(qū)域劃分和分片插值找出形狀函數(shù)，在通過狀函數(shù)，在通過“集合集合”把變分問題近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問題把變分問題近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問題。因它在理論上以變分原理為基礎(chǔ)，這既保障了方法的收斂性，同時又因它在理論上以變分原理為基礎(chǔ)，這既保障了方法的收斂性，同