解三角形完整講義(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正余弦定理知識要點：1、正弦定理:或變形：.2、余弦定理： 或.3、解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。4、判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)

2、化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.5、解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。6、已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S1/2 * absinC7、三角學中的射影定理：在ABC 中，8、兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC 中，【例題】在銳角三角形ABC中，有（ B ） AcosA>sinB且cosB>sinA BcosA<sinB且cosB<sinA CcosA>sinB且cosB<sinA DcosA<sinB且cosB>sinA9、三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，正弦定理專題：公式的直接應用1

3、、已知中，那么角等于（ ）ABCD2、在ABC中，a，b，B45°，則A等于（C）A30° B60° C60°或120°D 30°或150°3、的內(nèi)角的對邊分別為，若，則等于（ ）AB2CD4、已知ABC中，則a等于（ B ）A B. C. D.5、在ABC中，10，B=60°,C=45°,則等于 （B ）ABCD 6、已知的內(nèi)角，所對的邊分別為，若，則等于 （）7、ABC中，則最短邊的邊長等于（ A ）A . B. C . D . 8、ABC中，的平分線把三角形面積分成兩部分，則（ C ）A . B .

4、 C . D .9、在ABC中，證明：。證明： 由正弦定理得： 專題：兩邊之和1、在ABC中，A60°，B45°，則a ；b .（,）2、已知的周長為，且（1）求邊的長；（2）若的面積為，求角的度數(shù)專題：三角形個數(shù)1、ABC中，A=60°, a=, b=4, 那么滿足條件的ABC ( C )A.有 一個解 B.有兩個解 C.無解 D.不能確定2、ABC中,a=1,b=, A=30°,則B等于（ B ） A60° B60°或120° C30°或150° D120°3、在ABC中，根據(jù)下列條件解三角

5、形，則其中有兩個解的是 （ D ）Ab = 10，A = 45°，B = 70° Ba = 60，c = 48，B = 100°Ca = 7，b = 5，A = 80° Da = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列條件的三角形有且只有一個的是（ D ） Aa=1,b=2 ,c=3 Ba=1,b= ,A=30° Ca=1,b=2,A=100° Cb=c=1, B=45°5、在ABC中，a12，b13，C60°，此三角形的解的情況是（ B）A無解B一解C二解D不能確定 6、滿足A=45°

6、,c= ,a=2的ABC的個數(shù)記為m,則a m的值為（ A ）A4 B2 C1 D不定7、已知ABC中，121°，則此三角形解的情況是 無解8、在ABC中，已知，則邊長 ?；?qū)ｎ}：等比疊加1、ABC中，若，則等于（ A ）A .2 B . C . D. 2、在ABC中，A=60°, b=1, 面積為，則= .專題：變式應用1、在ABC中，若A:B:C=1:2:3,則 2、已知ABC中，abc12，則ABC等于(A)A123B231C1：3：2 D3：1：23、在ABC中，周長為7.5cm，且sinA：sinB：sinC4：5：6,下列結(jié)論： 其中成立的個數(shù)是 ( C )A0

7、個B1個C2個D3個 4、在ABC中，已知邊, ，求邊a、b 的長。解：由，,可得 ， 變形為sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B, 又ab, 2A=2B, A+B=. ABC為直角三角形. 由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。5、在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為、b、c ，若，則_。6、設銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，（1）求的大小；（2）求的取值范圍專題：求取值范圍1、ABC中，已知 60°，如果ABC 兩組解，則x的取值范圍( C)ABCD 2、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（ B ）A B CD 3、在銳角中，則的

8、值等于 ，的取值范圍為 . 2答案 ：設由正弦定理得由銳角得，又，故，所以余弦定理專題：公式應用1、在ABC中，a3，b，c2，那么B等于（C）A30°B45°C60°D120° 2、在三角形中，則的大小為（ ）ABCD3、長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為 ( B )A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°4、在ABC中，150°，則b 75、在ABC中，若，則（ C ）A. B. C. D. 6、在中，三邊長分別為,則的值為（ D ）A38 B37 C36 D3

9、57、在ABC中，已知，則角A為（C）AB CD 或8、在鈍角ABC中，已知，則最大邊的取值范圍是 。9、設a、b、c是的三邊長，對任意實數(shù)x，有（ B ）A. B. C. D.9、三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為（ B ）A52B C16D410、在ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊的中線，那么BC= 911、設A、B、C為三角形的三內(nèi)角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=0有等根，那么角B（ D ） AB>60° BB60° CB<60° DB 60

10、6;(sinA-sinC)²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB) =(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)² 專題：判斷三角形1、若，則（ A ）A. 一定是銳角三角形 B. 可能是鈍角三角形C. 一定是等腰三角形 D. 可能是直角三角形2、 在ABC中，角均為銳角，且則ABC的形狀是（ C ）A. 直角三角形 B. 銳角三角形

11、 C. 鈍角三角形 D. 等腰三角形 3、ABC中，則ABC一定是 （ D ）A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 等腰三角形 D. 等邊三角形4、如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為 （ A ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 由增加的長度決定5、ABC中，則ABC一定是 （ D ）A. 直角三角形 B. 鈍角三角形 C. 等腰三角形 D. 等邊三角形6、在ABC中，若，則ABC是（ B ）A有一內(nèi)角為30°的直角三角形B等腰直角三角形C有一內(nèi)角為30°的等腰三角形D等邊三角形 7、 若的內(nèi)角的對邊分別為，且則（

12、）A為等腰三角形B為直角三角形C為等腰直角三角形D為等腰三角形或直角三角形8、的內(nèi)角的對邊分別為，根據(jù)下列條件判斷三角形形狀：9、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ABC是（ B ） A直角三角形 B等邊三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形10、在ABC中，已知,那么ABC一定是 (B)A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 11、在ABC中，若，則ABC的形狀是（D）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 12在中，分別為角，所對邊，若，則此三角形一定是（ C ）A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角

13、形 D. 等腰或直角三角形13、在ABC中，若，則ABC的形狀是（ B ）A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能確定 D. 等腰三角形 14、已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（B ）ABCD 15、A為ABC的一個內(nèi)角,且sinA+cosA=, 則ABC是_三角形. 鈍角16、在ABC中，已知，試判斷ABC的形狀。解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC為等邊三角形。17、已知的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為,向量，且 .（1）求角A的大?。唬?）若，試求當取得最大值時的形狀.9.解：（1）由 又因為 解

14、得分 （）在， ，即, 又由（）知所以，為正三角形 18、在ABC中,求分別滿足下列條件的三角形形狀： B=60°,b2=ac；由余弦定理 ，. 由a=c及B=60°可知ABC為等邊三角形. b2tanA=a2tanB；由A=B或A+B=90°，ABC為等腰或Rt. sinC=，由正弦定理：再由余弦定理：. (a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).由條件變形為.ABC是等腰或Rt. 專題：1、在ABC中，如果，那么等于 。2、在中，已知，則_3、在ABC中，則ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是 1204、在ABC中，cosC是方程的一個根，求ABC周長的

15、最小值。解： 又是方程的一個根 由余弦定理可得：則： 當時，c最小且 此時 ABC周長的最小值為5、在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解 （1）因為，又由得， （2）對于，又，或，由余弦定理得， 專題：已知面積1、已知ABC的面積為，且，則A等于 （ D ）A30°B30°或150°C60°D60°或120° 2、在中，已知角、所對的邊分別是、，邊，且，又的面積為，則_3、已知中，則（ ） A. B C D 或4、若ABC的周長等于20，面積是，A60°，則BC邊的長是（ C ）A5 B6

16、C7D8 5、在ABC中，若SABC= (a2+b2c2),那么角C=_.6、在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程的兩個根，且。求：(1)角C的度數(shù)； (2)AB的長度。解：（1） C120° （2）由題設： 7、在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b 解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.專題：求三角形面積1、在ABC中，,A30°，則ABC面積為 （ B ）A BC或D或 2、已知ABC的三邊長，則ABC的面積為 （ B ）ABCD 3、三角形的一邊

17、長為14，這條邊所對的角為，另兩邊之比為8：5，則這個三角形的面積為 。4、在ABC中，°，°，C70°，那么ABC的面積為（ C ）A BCD 5、 ABC中，則等于 （ C ）A B C 或 D 或6、在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)設AC=，求ABC的面積.7、為的三內(nèi)角，對邊分別為、，若 （）求； （）若，求的面積解：（） 又， ， （）由余弦定理得 即：， 8、在銳角三角形中，邊a、b是方程x22x+2=0的兩根，角A、B滿足：2sin(A+B)=0，求角C的度數(shù)，邊c的長度及ABC的面積。解：由2sin(A+B)=0，得si

18、n(A+B)=, ABC為銳角三角形 A+B=120°, C=60°, 又a、b是方程x22x+2=0的兩根，a+b=2,c=, =×2×= 。 a·b=2, c2=a2+b22a·bcosC=(a+b)23ab=126=6, c=, =×2×= 。9、已知的內(nèi)角的對邊分別為，其中，又向量m，n，m·n=1（1）若，求的值；（2）若，求的面積解：（1）mn 由正弦定理得， ， （2）， ， 又， 10、在中，. （）求的值； （）設，求的面積10.解：（）由，得-2分，-4分-6分（）由，得，-8分由正弦

19、定理得-10分所以的面積-12分11、在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以定理應用1、在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（    ）A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米2 、海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是 (  C  ) A.10 海里    B.5海里     C. 5 海里      D.5 海里3、某市在“舊城改造”中計劃內(nèi)一塊如圖所示