【2020高考數(shù)學(xué)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專項訓(xùn)練

1、【2020高考數(shù)學(xué)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專項訓(xùn)練1 .已知函數(shù) f(x) ae2x (a 2)ex x.(I)討論f(x)的單調(diào)性；(n )若f (x)有兩個零點，求a的取值范圍.22 .已知函數(shù) f x x 1 3aln x,a R.(1)求函數(shù)f x圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)；(2)當(dāng)a 1時，求曲線f x在點(1,f(1)處的切線方程及函數(shù) f x單調(diào)區(qū)間;(3)若對任意x 1,e , f x 4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.3 .設(shè)函數(shù)f x xex ax( a R,a為常數(shù))，e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)f x 0時，求實數(shù)x的取值范圍；(2)當(dāng)a 2時，求使得f x k 0成立的最小正整數(shù) k .144

2、 .已知函數(shù) f(x) x 1 ex ax2, a R.(i)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若f x有兩個零點，求a的取值范圍一 一、 、2 , 一、.,、5 .已知函數(shù) f(x) x (a 2)x aln x(a R).(i)求函數(shù)y f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)a 1時，證明：對任意的 x 0, f(x) ex x2x 2.，2 一，八 6 .已知函數(shù)f x x 2x 1 a(ln x x 1)(其中a R,且a為常數(shù)).(1)若對于任意的x 1, ，都有f x 0成立，求a的取值范圍；a的取值(2)在(1)的條件下，若方程f x a 1 0在x 0,2上有且只有一個實根，求 范圍

3、.x 127 .已知函數(shù) f(x) axe -ax ax(a 0). 2(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a 0時，函數(shù)f (x)在( 8,0止的最小值為g(a),若不等式g(a) ta ln( a)有解，求實數(shù)t的取值范圍.e8 .已知函數(shù)f x alnx - a (e為自然對數(shù)的底數(shù)).x(1)當(dāng)a 0時，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若不等式f x a在區(qū)間0,e2內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍x9 .已知函數(shù) f x alnx e, a R.(1)試討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；(2)若a N ,且f x0恒成立，求a的最大值.參考數(shù)據(jù):x1.61.71.741.810x e4.9

4、535.4745.6976.05022026ln x0.4700.5310.5540.5582.303【2020高考數(shù)學(xué)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專項訓(xùn)練1.已知函數(shù) f (x) ae2x (a 2)ex x.(I)討論f(x)的單調(diào)性；(n )若f (x)有兩個零點，求a的取值范圍.【解析】(1) f (x)的定義域為(，)，f (x) 2ae2x (a 2)ex 1 (aex 1)(2ex 1),(i)若a 0,則f(x) 0,所以f(x)在(，)單調(diào)遞減.(ii)若 a 0,則由 f (x) 0得x lna.當(dāng) x (, In a)時，f (x) 0 ;當(dāng) x ( In a,)時，f (x) 0 ,所

5、以 f (x)在(,lna)單調(diào)遞減，在(lna,)單調(diào)遞增.(i)若a 0,由(1)知，f(x)至多有一個零點.(五)若a 0 ,由(1 )知，當(dāng)x ln a時，f (x)取得最小值，最小值為,1f( lna) 1 ln a. a當(dāng)a 1時，由于f( ln a) 0,故f(x)只有一個零點；1一. .一當(dāng)a (1,)時，由于1 lna 0,即f( lna) 0,故f(x)沒有零點； a1當(dāng) a (0,1)時，1 1 lna 0,即 f ( ln a) 0. a又 f ( 2) ae 4 (a 2)e 2 2 2e 2 2 0 ,故 f (x)在(，lna)有一個零點.3設(shè)正整數(shù)n0滿足n0l

6、n(- 1),則af(n0) en0(aen0 a 2) n0 en0 n02n0 n00.,一 3由于ln( 1) ln a ,因此f (x)在(ln a,)有一個零點. a綜上，a的取值范圍為(0,1). ，一一22 .已知函數(shù) f x x 1 3aln x,a R.(1)求函數(shù)f x圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)；(2)當(dāng)a 1時，求曲線f x在點(1,f(1)處的切線方程及函數(shù)f x單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意x 1,e , f x4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)x 1時，ln1 0,所以f(1) 4,所以函數(shù)f(x)的圖象無論a為何值都經(jīng)過定點(1,4).23當(dāng) a 1 時，f(x)

7、(x 1)2 3lnx. f(1) 4, f'(x) 2x 2 3, f'(1) 1, x則切線方程為y4 1 (x 1),即 y x 3.f(x)單調(diào)遞增;在x (0,)時，如果f'(x) 2x 2 3 0,即x Y7，)時，函數(shù) x2,37 1一 如果f'(x) 2x 2 0,即x (0,-)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. x22 3a 2x 2x 3a (3) f'(x) 2x 2 ,x 0 .xx當(dāng) a 0 時，f'(x) 0, f (x)在1,e上單調(diào)遞增.f(x)min f (1) 4, f(x) 4 不恒成立.1當(dāng) a 0 時，設(shè) g(

8、x) 2x2 2x 3a , x 0. 丁 g(x)的對稱軸為 x - , g(0) 3a 0, 2 g(x)在(0,)上單調(diào)遞增，且存在唯一% (0,)，使得g(%) 0.，當(dāng) x (0,x0)時,g(x) 0,即 f'(x) 0, f(x)在(0,凡)上單調(diào)遞減；，當(dāng) x (%,)時，g(x) 0,即 f'(x) 0, f(x)在(x。,)上單調(diào)遞增1- f(x)在1,e上的最大值 f(x)max max f (1), f (e).f(1) 42(e 1)2 4一，仔(e 1) 3a 4 ,解得 a .f(e) 433 .設(shè)函數(shù)f x xex ax ( a R,a為常數(shù))，

9、e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)f x 0時，求實數(shù)x的取值范圍；(2)當(dāng)a 2時，求使得f xk 0成立的最小正整數(shù) k .【解析】(1)由f x 0可知.x ex a0 ,當(dāng) a0時，ex a 0,由 xex a 0 ,解得 x 0 ；當(dāng) 0 a 1 時，Ina 0,由 x ex a 0,解得 x 0或 x Ina ；當(dāng) a 1 時，Ina 0,由 xex a 0,解得 x Ina 或 x 0；(2)當(dāng)a 2時，要使f x k 0恒成立，即xex 2x k恒成立，令 f x x3 2x,則 f x h x x 1 ex 2,h x x 2 ex,當(dāng)x , 2時，h x 0,函數(shù)h x在 ，2上

10、單調(diào)遞減；當(dāng)x 2, 時，h x 0,函數(shù)h x的2,上單調(diào)一遞增.又因為 x , 1 時，h x 0,且 h0 1(0,h 12e2 2)0,所以，存在唯一的x00,1 ,使得fx0h x0x01e"20,當(dāng)x ,% 時，f x 0,函數(shù)f x在， 上單調(diào)遞減；當(dāng)x %, 時，f x0,函數(shù)f x在 ,上單調(diào)遞增.所以，當(dāng)x x°時，f x取到最小值.xc -2x0一一 .1f x0x0e2x0 2x0 4 2 x0 1 ,x0 1x0 1因為 x00,1，所以 f x01,0 ,從而使得f x k 0恒成立的最小正整數(shù) k的值為1.x 24.已知函數(shù) f(x) x 1

11、e ax , a R.(i)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若f x有兩個零點，求a的取值范圍.【解析】(I) f (x) ex (x 1)ex 2ax x(ex 2a).(i)若 a 0,則當(dāng) x 0 時，f (x) 0;當(dāng) x 0 時，f (x) 0;故函數(shù)f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增.(ii )當(dāng) a 0時，由 f (x) 0,解得：x 0或 x ln( 2a).17若 ln( 2a) 0,即 a ,則 x R, f (x) x(ex 1) 0, 2故f(x)在(，)單調(diào)遞增.1若 ln( 2a) 0,即一a 0 ,則當(dāng) x ( ,ln( 2a) U (0,)時，f

12、 (x) 0；當(dāng) 2x (ln( 2a),0)時，f (x) 0；故函數(shù)在(,ln( 2a) , (0,)單調(diào)遞增，在(ln( 2a),0)單調(diào)遞減.1 .右 ln( 2a) 0 ,即 a ,則當(dāng) x (,0) U(ln( 2a),)時，f (x) 0 ;當(dāng)x (0,ln( 2a)時，f (x) 0；故函數(shù)在(，0) , (ln( 2a),)單調(diào)遞增，在(0,ln( 2a)單調(diào)遞減.,0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增.(n) (i)當(dāng)a 0時，由(i)知，函數(shù)f(x)在( f(0)1 0, f (2) e2 4a 0,取實數(shù) b滿足 b 2且 b In a , f (b) a(b 1) ab2

13、 a b2 b 1 a 4 2 10,所以f(x)有兩個零點.(ii )若a 0,則f(x) (x 1)ex,故f(x)只有一個零點.(iii ) a的取值范圍是 0,25 .已知函數(shù) f(x) x (a 2)x aln x(a R).(i)求函數(shù)y f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)a 1時，證明：對任意的x 0, f(x) exx2 x 2.【解析】(i)由題意知，函數(shù) f (x)的定義域為(0, +8),由已知得(i)=2x- (a- 2) -a 2/一一 a 一 4)G+1)xXI當(dāng)aw 0時，f' (x) >0,函數(shù)f (x)在(0, +oo)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f (x)

14、的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +8).當(dāng) a>0 時，由 f (x) >0,得由 f (x) < 0,得所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 令，。)，單調(diào)遞減區(qū)間為 S, 1).綜上，當(dāng)aw0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +8)；當(dāng)a>0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 號,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 土. (n)證明：當(dāng) a=1 時，不等式 f (x) +ex>x2+x+2 可變?yōu)?ex - ln x- 2>0,令h (x) =ex - ln x- 2,則h/ G)=已* _ ,可知函數(shù)h' (x)在(0, +8)單調(diào)遞增,而，h1 省)

15、二F-3口. hJ CP=r-l> 0_ _,_4_rrr1所以萬程h' (x) =0在(0, +oo)上存在唯一實根 Xo,即上Ko當(dāng)xC (0, X0)時，h' (x) v 0,函數(shù)h (x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC ( xo, +8)時，h' (x) >0,函數(shù)h (x)單調(diào)遞增；所以卜(“皿5七6口)= J。一 Inx。一 2? 一 11r47 - 2+s0- 2>° A 0 巴口 40即ex - In x- 2>0在(0, +8)上恒成立，所以對任意x>0, f (x) +ex> x2+x+2成立.-26 .已知函數(shù)f x

16、 x 2x 1 a(ln x x 1)(其中a R,且a為常數(shù)).(1)若對于任意的x 1,都有f x 0成立，求a的取值范圍；a的取值(2)在(1)的條件下，若方程f x a 1 0在x 0,2上有且只有一個實根，求 范圍.rj ；、 fl A (XCI)【解析】(1)-1 =:<1才/r當(dāng)值02時*x)>。對于K三(1,+Mi恒成立門/年)在(L+g)上單調(diào)遞增. /"一,3,此時命題成立；(a 當(dāng)值m2時,二,仕)在1.三 上單調(diào)遞減，在 三 g 上單調(diào)遞增，二當(dāng)工w t-時，有了1)</(1)二° .這與題設(shè)矛盾.故度的取值范圍是-03,2(2)依

17、題意疫 ei-co,2,設(shè)g(工)=/(工)+&+1 ,原題即為若且(工)在,2上有且只有一個零點，求次的取值范圍.顯然函數(shù)目 與的單調(diào)性是一致的.當(dāng)0時，因為函數(shù)自在區(qū)間(0J)上遞減,0,2上遞增,所以式"在(0,2上的最小值為= .+1,由于-1 一4+ 1>0 ,要使目(工)在(。,2上有且只有一個零點需滿足 虱1)=?；騡fZ <0，解得這三一1或鼻< In 2當(dāng)口 = 2時，因為函數(shù)自在電2上單調(diào)遞增,e e所以此時g (工)在Q 2 上有且只有一個零點當(dāng)0<設(shè)<2時，因為函數(shù) 虱工在口£ 上單調(diào)遞增，在-A上單調(diào)遞減，在口

18、,2上單調(diào)遞 12/12 J'增,又因為二"斗1 > 0,所以當(dāng)KWa -(廿 + 2)+ 蟆 ° +2u+ 2 <0上單調(diào)遞增，I 2)所以gG)在上必有零點，又因為g工)在Ong l 2JI 2)從而當(dāng)0<q<2時,g(工)在i。,2上有且只有一個零點.2綜上所述，當(dāng)Oe傀工2或*_-或鼻二一1時,In 2方程/伊+口+1=0在大名(0,2上有且只有一個實根.x 127.已知函數(shù) f(x) axe -ax ax(a 0). 2(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a 0時，函數(shù)f(x)在( 8,0止的最小值為g(a),若不等式g(a)

19、 ta ln( a)有解，求實數(shù)t的取值范圍19【解析】(1)由f x axe -ax ax , 2x得 f' x a x 1 e x 1當(dāng)a 0時，令f x0,得 x 1 ex 10,所以解得x 0或x 1.所以解得所以函數(shù)當(dāng)a所以函數(shù)0,得 x 1 ex 10,f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0時,0,得 x 1 ex 1綜上可得,0,0,的單調(diào)遞增區(qū)間為0,由可知1由可知x當(dāng)a 0時,x的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)a 0時,x的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由（1）可知若a 0，則當(dāng)x上單調(diào)遞增,所以所以不等式taln；單調(diào)遞減區(qū)間為1,0 .1 或x 0.1,0 ；單調(diào)遞減區(qū)間為,1,0,1,0,；單調(diào)遞減

20、區(qū)間為1,0 .1,0 ；單調(diào)遞減區(qū)間為,1,0,0ae時，函數(shù)f上單調(diào)遞減，在 1,0有解等價于taIn a有解,lna 一一有解(a0),設(shè)ln所以當(dāng)所以從而tx 一(x x1 In x2，xe,0,e時,時，'x0,0,x單調(diào)遞減,x單調(diào)遞增,x的極小值也是最小值，且最小值為In e11112所以實數(shù)t的取值范圍為2 e e2 e. e8.已知函數(shù)f x alnx - a （e為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)a 0時，求函數(shù)f(x)的極值;(2)若不等式f xa在區(qū)間0,e2內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍.eax【解析】（1）當(dāng)a 0時，a e a x af X - 2 2 0X X Xe

21、 -e當(dāng) 0 x - , f x 0；當(dāng) x 時，f x 0. aa3a alna ,無極大值.e即函數(shù)f x有極小值f 一 a(2) f x a 區(qū)間0,e2內(nèi)有解, ealnx 一 x20在區(qū)間0,e 內(nèi)有解，即求x 0,e2 時,e_ r-alnx 一0即可x mine2令 g x alnx , x 0, e , g xxaeax e一 22x x x0,e2e2當(dāng)a 0時，g x alnx 一在0,e 遞減, x2.2 e _1_1則 g x min g e alne 2a - 0 a ee2e當(dāng)a 0時，g xe - e 、， ， , ealnx 在0,遞減，在, x aa遞增當(dāng)e e2a 1時,aemin,e e .aln a 1 lna a eaa 2a alna 02 lna 0 a e2alne2 1 2a 1 0, e e 'e2_12當(dāng)-e 0 a 一 時，g x min g e ae、,1c綜上，a一或a