【KS5U解析】吉林省長(zhǎng)春市2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）（三?？荚嚕?shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、長(zhǎng)春市2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合， ，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】故可得故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由其實(shí)部即可求得參數(shù).【詳解】，.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，實(shí)部和虛部的辨識(shí)，屬基礎(chǔ)題.3.已知向量，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)（ ）a. b

2、. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算，求得的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋峙c向量共線故可得，解得.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)公式，涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)的圖象為c，為了得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象，只要把c上所有的點(diǎn)（ ）a. 向左平移個(gè)單位b. 向左平移個(gè)單位c. 向右平移個(gè)單位d. 向右平移個(gè)單位【答案】a【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，即可求得結(jié)果.【詳解】由為奇函數(shù)，得當(dāng)時(shí)，.故為得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖像，只要把向左平移個(gè)單位即可.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查輔助角公式，函數(shù)圖像的

3、平移，以及余弦型函數(shù)的奇偶性，屬綜合中檔題.5.函數(shù)的圖象大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)解析式求得函數(shù)奇偶性，以及即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，排除c，d，驗(yàn)算特值，排除a,故選：b【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的辨識(shí)，涉及函數(shù)奇偶性的判斷和指數(shù)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.6.在的展開(kāi)式中，一定含有（ ）a. 常數(shù)項(xiàng)b. 項(xiàng)c. 項(xiàng)d. 項(xiàng)【答案】c【解析】【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由通項(xiàng)公式代入驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，可得其含有項(xiàng)；當(dāng)，可得其含有項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，可得其含有項(xiàng)；故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.7.已

4、知直線和平面，有如下四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)面面垂直，線面垂直以及線面平行的判定，即可容易判斷.【詳解】若，則一定有，故正確；若，則，又因?yàn)?，故可得，故正確；若，故可得/，又因?yàn)?，故可得，故正確；若，則或，故錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直，面面垂直的判定以及線面平行的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.8.風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一，風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成，其塔俯視圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形.下圖是風(fēng)雨橋中塔的俯視圖.該塔共5層，若，則五層正六邊形的周長(zhǎng)和為（ ）a. b.

5、c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前項(xiàng)和進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)正六邊形的中心為，容易知均為等邊三角形，故長(zhǎng)度構(gòu)成依次為的等差數(shù)列周長(zhǎng)總和為，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的求解，屬基礎(chǔ)題.9.已知圓的圓心在軸上，且與圓的公共弦所在直線的方程為，則圓的方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)圓心的連線與公共弦所在直線垂直，即可求得圓心；再結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可容易求得半徑.【詳解】?jī)蓤A圓心連線與公共弦垂直，不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為，又圓的圓心為，半徑為1，故，解得.故所求圓心為.直線截得所成弦長(zhǎng)，圓心到直線的距離為

6、，所以直線截得所求圓的弦長(zhǎng)，解得.故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查圓方程的求解，涉及兩圓位置關(guān)系，屬綜合基礎(chǔ)題.10.某項(xiàng)針對(duì)我國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研究中，列出各個(gè)學(xué)段每個(gè)主題所包含的條目數(shù)（如下表），下圖是統(tǒng)計(jì)表的條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比，按各學(xué)段繪制的等高條形圖，由圖表分析得出以下四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（ ）a. 除了“綜合實(shí)踐”外，其它三個(gè)領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加，尤其“圖象幾何” 在第三學(xué)段增加較多，約是第二學(xué)段的倍.b. 所有主題中，三個(gè)學(xué)段的總和“圖形幾何”條目數(shù)最多，占50%，綜合實(shí)踐最少，約占4% .c. 第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多，第三學(xué)段“圖

7、形幾何”條目數(shù)最多.d. “數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，而其百分比卻一直在減少.“圖形幾何”條目數(shù)，百分比都隨學(xué)段的增長(zhǎng)而增長(zhǎng).【答案】d【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)即可容易求得結(jié)果.【詳解】結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表可知，除了“綜合實(shí)踐”外，其它三個(gè)領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加，尤其“圖象幾何” 在第三學(xué)段增加較多，約是第二學(xué)段倍，故正確；所有主題中，三個(gè)學(xué)段的總和“圖形幾何”條目數(shù)最多，占50%，綜合實(shí)踐最少，約占4% ，故正確；第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多，第三學(xué)段“圖形幾何”條目數(shù)最多，故正確；對(duì)中，顯然“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，而其百分比卻

8、一直在減少；而“圖形幾何”條目數(shù)，百分比隨著學(xué)段數(shù)先減后增，故錯(cuò)誤；故選：d【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的辨識(shí)和應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.11.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用之間的關(guān)系，即可容易求得，則得解，再用并項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.【詳解】由得，作差可得：，又得，則所以，所以.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查利用的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及等差數(shù)列前項(xiàng)和的求解，屬綜合中檔題.12.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，焦距為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意，

9、求得，結(jié)合余弦定理，即可求得的齊次式，據(jù)此即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：由得， ，由即，整理得，則，得故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，涉及橢圓的定義，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.一名信息員維護(hù)甲乙兩公司的5g網(wǎng)絡(luò)，一天內(nèi)甲公司需要維護(hù)和乙公司需要維護(hù)相互獨(dú)立，它們需要維護(hù)的概率分別為0.4和0.3，則至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的概率為_(kāi)【答案】0.88【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式直接求解即可【詳解】至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的對(duì)立事件是兩公司都需要維護(hù)，所以至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的概率為，故答案為0.88【

10、點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法以及相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式的應(yīng)用14.等差數(shù)列中，公差，且，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量，用表示出，分離參數(shù)求得函數(shù)的值域，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由得，整理得，又，故.故實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求解，涉及分式函數(shù)值域的求解，屬綜合中檔題.15.若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，即可由方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可求得以及，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可容易求得結(jié)果.【詳解】，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函

11、數(shù)的極值點(diǎn)，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.16.現(xiàn)有一批大小不同的球體原材料，某工廠要加工出一個(gè)四棱錐零件，要求零件底面為正方形， ，側(cè)面為等邊三角形，線段的中點(diǎn)為，若.則所需球體原材料的最小體積為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，討論球體體積最小時(shí)的狀態(tài)，求得此時(shí)的球半徑，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，取中點(diǎn)為，連接，取中點(diǎn)為，連接，如下所示：因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，故可得，又因?yàn)椋瑵M足勾股定理，故可得，則為直角三角形，則.若要滿足題意，只需滿足abcd在球大圓上時(shí)，點(diǎn)p在球內(nèi)部即可，此時(shí)球半徑最小為 ，體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐外接球問(wèn)題，涉及棱錐體積的求解，屬綜合中檔

12、題.三、解答題：共 70 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第 1721 題為必考 題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 2223 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共 60分.17.筆、墨、紙、硯是中國(guó)獨(dú)有的文書(shū)工具，即“文房四寶”.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時(shí)期，其中的“紙”指的是宣紙，宣紙“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，而唐代涇縣隸屬于宣州府管轄，故因地而得名“宣紙”，宣紙按質(zhì)量等級(jí)，可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品），某公司年產(chǎn)宣紙10000刀（每刀100張），公司按照某種質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值給宣紙確定質(zhì)量等級(jí)，如下表所示：公式在所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)抽取了一刀（100張）進(jìn)行檢驗(yàn)，得到

13、頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌紙的利潤(rùn)是10元，副牌紙的利潤(rùn)是5元，廢品虧損10元.（1）估計(jì)該公式生產(chǎn)宣紙的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）；（2）該公司預(yù)備購(gòu)買(mǎi)一種售價(jià)為100萬(wàn)元的機(jī)器改進(jìn)生產(chǎn)工藝，這種機(jī)器的使用壽命是一年，只能提高宣紙的質(zhì)量，不影響產(chǎn)量，這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值的頻率，如下表所示：其中為改進(jìn)工藝前質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值的平均值，改進(jìn)工藝后，每張正牌和副牌宣紙的利潤(rùn)都下降2元，請(qǐng)判斷該公司是否應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)這種機(jī)器，并說(shuō)明理由.【答案】（1）400萬(wàn)元；（2）應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖求得張宣紙中各類(lèi)宣紙的數(shù)量，結(jié)合每種宣紙的盈虧即可容易求得結(jié)果；（2）由頻

14、率分布直方圖求得，即可求得各區(qū)間的頻率分布，據(jù)此即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，一刀（100張）宣紙中有正牌宣紙100×0.1×4=40張，有副牌宣紙100×0.05×4×2=40張，有廢品100×0.025×4×2=20張，所以該公司一刀宣紙的年利潤(rùn)為40×10+40×5+20×（-10）=400元，所以估計(jì)該公式生產(chǎn)宣紙的年利潤(rùn)為400萬(wàn)元; (2) 由頻率分布直方圖可得這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙質(zhì)量指標(biāo)的頻率如下表所示：則一刀宣紙中正牌的張數(shù)為100×0.68

15、26=68.26張，副牌的張數(shù)約為100×（0.95440.6826）=27.18張，廢品的張數(shù)約為100×（10.9544）=4.56張，估計(jì)一刀宣紙的利潤(rùn)為：68.26×（102）+27.18×（52）+4.56×9（10）=582.02，因此改進(jìn)工藝后生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)為582.02100=482.02元，因482.02>400，所以該公式應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)這種設(shè)備.【點(diǎn)睛】本題考查由頻率分布直方圖計(jì)算概率以及平均數(shù)，涉及由樣本估計(jì)總體，屬綜合基礎(chǔ)題.18.在中， 角所對(duì)的邊分別為，且 .（1）求證：； （2）求的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析

16、；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合，即可容易求得；（2）根據(jù)（1）中所求得到之間關(guān)系，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用均值不等式求得函數(shù)的最值，則的最值得解.【詳解】(1)在中，由及正弦定理，得則，. （2）由（1）知，又因?yàn)椋士傻?，由均值不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因此 ，即的最大值為 .【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，涉及均值不等式求和的最小值，以及正切的差角公式，屬綜合中檔題.19.四棱錐中，底面為直角梯形，為的中點(diǎn)，平面平面，為上一點(diǎn)，平面.（1）求證：平面平面； （2）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1

17、）通過(guò)線面平行，推證出點(diǎn)的位置，再結(jié)合面面垂直，推證出平面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角求得長(zhǎng)度，進(jìn)而再由向量法求得二面角的大小即可.【詳解】（1）連交于，連，如下圖所示：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，由，為中點(diǎn)，且，則為平行四邊形，又平面，平面平面，平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.即證.（2）連接，為ad的中點(diǎn)，又平面，平面平面，平面平面，底面，又，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，取平面的法向量，又，設(shè)平面ebf的法向量所以即可得令設(shè)二面角的平面角為，又為鈍角 ，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由線面垂直

18、推證面面垂直，由線面角求線段長(zhǎng)，以及用向量法求二面角的大小，屬綜合中檔題.20.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，以為邊做菱形，且菱形對(duì)角線的交點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程； （2）過(guò)點(diǎn)，其中，作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得菱形中心的坐標(biāo)，進(jìn)而由中心為中點(diǎn)，求得點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式，即可消參求得點(diǎn)的軌跡方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得點(diǎn)處的切線方程，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此求得之間的關(guān)系，再結(jié)合，即可表示出面積，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域即可.【詳解】（1）設(shè)，菱形的中心設(shè)為q點(diǎn)，且在軸上，由題意可得則又

19、為的中點(diǎn)，因此點(diǎn)，即點(diǎn)的軌跡為（為參數(shù)且）化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的切線方程為.可得因此由，可得又則即因此令，則，故為單調(diào)增函數(shù)，故可知當(dāng)時(shí)，為關(guān)于的增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中三角形面積的范圍問(wèn)題，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合中檔題.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性； （2）是否存在正實(shí)數(shù)，使與的圖象有唯一一條公切線，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）存在，【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)參

20、數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可容易求得函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在任意一點(diǎn)處的切線方程，求得方程組，根據(jù)方程有唯一解，利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求得.【詳解】(1)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即由與的圖象有唯一一條公切線，由得代入消去，整理得 則此關(guān)于的方程有唯一解，令，令，由得；由得所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，（i）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在上顯然有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，由方程可得而所以則所以二次函數(shù)在上也有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.綜上，.所以存在正實(shí)數(shù)，使與的圖象有唯一一條公切線.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)對(duì)含參函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬壓軸題.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計(jì)分.22.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，