差分方程和微分方程數(shù)值解

1、東南大學(xué)數(shù)學(xué)實驗報告實驗內(nèi)容：差分方程及微分方程數(shù)值解一實驗?zāi)康氖煜さ拔⒎址匠虜?shù)值方式二預(yù)備知識(1) 了解差分方程穩(wěn)固性、周期分解、混沌等相關(guān)知識(2) 了解歐拉方式、龍格-庫特方式。三實驗內(nèi)容與要求(-)Volterra方程數(shù)值解方程忤“一3,a.b.c.d>0dy.=-ex+dxy,dt'其中a=l,b=,c=,d=x(0)=25,y(0)=2.命令與結(jié)果在函數(shù)編輯器中輸入：functiondxdt=euler(t,x)dxdt=x(l)*x(2)x(2)*+*x(l)；end四階龍格-庫塔公式：在命令窗口中輸入：tspan=015;xO=25;2;(t,x=ode4

2、5(eulentspan,x0);plot(t,x(:J)；r-'LineWidth;holdon;plot(t,x(：,2)；g-,/LineWidth;holdon;(1)相圖四階龍格-庫塔公式：axis(O150125)legend('x(l)?x(2)')gridon30151062520102030406060708090100歐拉公式:歐拉方法：在命令窗口中輸入：tspan=0 15;x0=25:2;(t,x=ode23(eulerjspan,x0);plot(t,x(:, 1 'LineWidth；;hold on;plot。,x(：Z；g'

3、;,LineWidth：;hold on:axis(0 150 125)legend('x(l)?x(2)')grid ontitle(The Numerical Solution OfEuler Equation*)» plot(x(:J),x(2)（2）軌線圖四/五階龍格-庫塔公式:title(TheNumericalSolutionOfCalculablewayoffourthrankRounge-kutf)plot(x(:,l),x(:,2)X x(t) rx(l)N歐拉公式:（二）差分阻滯增加模型在t時刻單位時刻內(nèi)的人口數(shù)量的轉(zhuǎn)變量僅僅與現(xiàn)在的人口數(shù)量X有關(guān)

4、（等于右邊的值）,其中的r表示人口的固有增加率,N表示能容納的最大人口數(shù).通過單位時刻，即一個繁衍周期的種群數(shù)量的增加量僅僅與前一個時期的種群數(shù)量有關(guān)。于是模型為這是一個一階非線性差分方程,關(guān)于給定的初值，咱們能夠從那個遞推公式運用運算機(jī)很容易地計算出一些xk.這是在運算機(jī)秘現(xiàn)以后的一個新的特點.可是咱們更關(guān)切的是那時刻趨于無窮吵即產(chǎn)啖無窗眇”內(nèi)的就購師,J囑期2J程平穩(wěn)由外穩(wěn)固性問題.求用惶分方程的平穩(wěn)點>N和(b-l)/b,它們別離對應(yīng)于差分方程(1)的平穩(wěn)點0和N.咱們將那個差分方程(2)在平穩(wěn)點周圍展開，有%+1=S：%£.砂k=°2(1)'注意到b=

5、l捽1,平穩(wěn)點0是不穩(wěn)固的.令&=7T、r記=r+1，則上式(兩邊乘以-7777)為X*(二十必_：工八一X*=-bxk-X*)2f也%)(/一X*)b略去高的j軸=bxk(1一，)(2)xk+-x=(2-b)(xk-x)因此當(dāng)12上1<1時,平穩(wěn)點x*=(b-l)/b是穩(wěn)固的.12上1>1即b>3時,平穩(wěn)點x*是不穩(wěn)固的.(1)穩(wěn)固情形(b=l.6,2.2)b=1.6b=2.2穩(wěn)定性分析b=，在1到3范圍之間穩(wěn)定命令與結(jié)果(x()圖)functionx=block(bzxO)b=;ifnargin<2x0=;穩(wěn)定性分析b=，在1到3范圍之間穩(wěn)定命令與結(jié)果3?M

6、0圖)functionx=block(b,xO)b=;ifnargin<2x0=;endx=xO;n=l:10000;for i=2:10000x (i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);endplot(n,x, ' . 1);end結(jié)果 x()圖:05i111111111Oda0440420.40出0361111111i1010(0 期00 3000 4000 切00 6COJ 7000 80W 巽00 10300endx=x0;n=l:10000;for i=2:10000x(i)=b*x(i-l)*(l-x(i-l);endplot(n,x,3);end結(jié)果 x(/l

7、)圖：05? I111111111056。弘OM0S30.6205110W WOO 3000 4000 800 6(0) 7000 80S)翼00 1600（2）不穩(wěn)固情形b=3.3b=3.63穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析6=在1到3范1韋之間不穩(wěn)定1到3范圍之間不穩(wěn)定命令與結(jié)果（x（）圖）命令與結(jié)果（M”）圖）（3）倍周期分解b=3.3b=3.5（1）求穩(wěn)定平衡點（1）求穩(wěn)定平衡點可得兩個平衡點：四個平衡點：程序：程序：functionx=block(bxO)functionx=block(bzxO)b=;b=;ifnargin<2ifnargin<2x0=;x0=;endendx=xO;x=x0;n=l:100;n=l:100;fori=2:100fori=2:100x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);x(i)=b*x