年高考數(shù)學(xué)理試題分類(lèi)總匯編：圓錐曲線

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2017 年高考試題分類(lèi)匯編之圓錐曲線（理數(shù)）解析一、選擇題 .1二、填空題 .3三、大題 .5一、選擇題【浙江卷】 2橢圓 x2y21的離心率是94A13B5C 2D 53339【解析】 e9453，選 B.3【全國(guó)1 卷（理）】 10.已知 F 為拋物線 C： y2=4x 的焦點(diǎn)，過(guò) F 作兩條互相垂直的直線l 1，l 2，直線 l 1 與 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，直線 l 2 與 C交于 D、E 兩點(diǎn)，則 | AB|+| DE| 的最小值為 （）A16 B 14C 12 D 10【解析】設(shè) AB 傾斜角為作 AK 1 垂直準(zhǔn)線， AK 2垂直 x 軸AFcosGFAK1（幾何

2、關(guān)系）易知AK1AF （拋物線特性）GPPPP22 AFcosPAF同理 AFP，BFP1 coscos1 AB2P2P12sin2cos又 DE 與 AB 垂直，即 DE 的傾斜角為 2DE2P2 P2 2sincos2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案而 y24x ，即 P 2 AB11sin2cos244DE 2Pcos24sin2cos2sin2 cos21sin2224sin1616 ，當(dāng)sin2 24取等號(hào)即 ABDE 最小值為 16 ，故選 A【全國(guó)卷（理）】 9. 若雙曲線C : x2y21 （ a0 ， b0 ）的一條漸近線被圓a2b2242，則 C 的離心率為（x 2y2所截得的弦長(zhǎng)為）A

3、2B3C2D 2 33【解析】 取漸近線ybbxay0 ，圓心2 ，0到直線距離為2bx ，化成一般式3b2aa2得 c24a 2 ， e24 ， e 2 【全國(guó) III卷（理）】 5.已知雙曲線C: x2y21(a 0, b 0) 的一條漸近線方程為a2b2y5 x , 且與橢圓 x2y21 有公共焦點(diǎn)，則C的方程為 ( )2123x2y2x2y 2C.x2y21x2y28101 B.154D.1A.4543【解析】雙曲線的一條漸近線方程為y5 x ，則 b5 2a2又橢圓 x2y21 與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知 c3 ，則 a 2b 2c29 1235 ，則雙曲線 C 的方程為 x2y2由解

4、得 a2,b1，故選 B.45【全國(guó) III卷（理）】 10. 已知橢圓 C： x2y21，（ a b）的左、右頂點(diǎn)分別為12A，A，a2b2> >0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案且以線段 A1A2 為直徑的圓與直線bxay2ab0 相切，則 C的離心率為 ( )6B.32D.1C.3A. 333【解析】以 A1 A2 為直徑為圓與直線bxay2ab 0相切，圓心到直線距離d 等于半徑， d2aba2ab2又 a0,b 0 ，則上式可化簡(jiǎn)為a 23b2 b2a2c2 ，可得 a23a2c2，即 c22a23c6e，故選 Aa3【天津卷】（ 5）已知雙曲線 x2y21(a0, b 0)的左焦點(diǎn)為

5、F ，離心率為2 .若經(jīng)過(guò)a2b2F 和 P(0, 4) 兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）A. x2y21B. x2y21C. x2y21D. x2y2144884884【解析】由題意得ab, 41c4, ab 22x2y21 ，故選 B.c88二、填空題【全國(guó) 1 卷（理）】15. 已知雙曲線 C： x2y21（ a，b）的右頂點(diǎn)為 A，以 A 為圓心，a2b2>0>0b 為半徑做圓 A，圓 A 與雙曲線 C的一條漸近線交于M、 N兩點(diǎn) . 若 MAN=60°，則 C的離心率為 _.【解析】如圖，OAa ， ANAMb文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 MAN60

6、，AP3 b ， OP22a23 b2OAPA24AP3b tan2OP3a 2b 24b ，3 bb ，解得 a2又 tan23b 2aa232a4b e1b21123a233【全國(guó) 2卷（理）】 16. 已知 F 是拋物線 C : y28x 的焦點(diǎn)， M 是 C 上一點(diǎn)， FM 的延長(zhǎng)線交 y 軸于點(diǎn) N 若 M 為 FN 的中點(diǎn)，則FN【解析】2p4 ，焦點(diǎn)為 F2 ，0，準(zhǔn)線 l : x2 ，y 8 x 則如圖， M為F、N中點(diǎn)，故易知線段 BM 為梯形 AFMC 中位線， CN2， AF4 ， ME 3又由定義MEMF ，且MN NF，NFNMMF6lyCNBMAOFx2【北京卷】（

7、 9）若雙曲線x2y1的離心率為3 ，則實(shí)數(shù) m=_.m文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【解析】 .1m3m21【江蘇卷】8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中, 雙曲線 x2y21 的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分3別交于點(diǎn) P, Q，其焦點(diǎn)是 F1 , F2, 則四邊形 F1 P F2 Q的面積是.【 解 析 】 右 準(zhǔn) 線 方 程 為 x331 0331 03 010， 漸 近 線 為 yx ， 則 P(,) ，1031 01 0Q(3 10 ,30)， F1(10,0) ， F2 ( 10,0) ，則 S210302 3.101010【山東卷】 14. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，雙曲線 x2y21 a0,b0

8、的右支與焦點(diǎn)為 Fa2b2的拋物線 x22 px p0交于 A, B 兩點(diǎn)，若 AFBF4 OF ，則該雙曲線的漸近線方程為 .三、大題【全國(guó) I 卷（理）】20.（ 12分）已知橢圓： x 2y2），四點(diǎn)12），C2（）， （0,1ab2 =1a>b>0P1,1PP3（ 1，3 ），P4（ 1，3 ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上 .22（ 1）求 C的方程；（ 2）設(shè)直線 l 不經(jīng)過(guò) P2 點(diǎn)且與 C相交于 A，B 兩點(diǎn) . 若直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為 1，證明： l 過(guò)定點(diǎn) .20. 解：（ 1）根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性，必過(guò)P3 、 P4文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案又 P4 橫坐標(biāo)為1，

9、橢圓必不過(guò)P1 ，所以過(guò) P2 ，P3 ，P4 三點(diǎn)11b2將， ，3代入橢圓方程得，解得 223a4， b 1P201 P3 1214122ab橢圓 C 的方程為： x2y21 4（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)l : xm，A m，yA，B m ， y AkP2 AkP2 ByA1yA121mmm得 m2，此時(shí) l 過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)lykxb b1A x1 ，y1 ，B x2 ，y2聯(lián)立ykxb，整理得 14k2 x28kbx4b240x24 y240x1 x28kb2 , x1x24b2414k14k2則 kP2 AkP2 By1 1 y21x2 kx1b

10、x2x1 kx2bx1x1x2x1 x28kb28k28kb8kb8k b114k21，又 b 1b2k1 ，此時(shí)64k ，存在 k44 b1b14b214k2使得0 成立直線 l的方程為 ykx2k1當(dāng) x2 時(shí)， y1所以 l過(guò)定點(diǎn)2，1【全國(guó) II 卷（理）】 20.（ 12分）設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓 C： x2y21上，過(guò) M2做 x 軸的垂線，垂足為N，點(diǎn) P滿足 NP2NM .(1) 求點(diǎn) P的軌跡方程；(2) 設(shè)點(diǎn) Q在直線 x=-3 上，且 OP PQ 1 . 證明：過(guò)點(diǎn) P且垂直于 OQ的直線 l 過(guò) C的左焦文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案點(diǎn) F.解：設(shè)P(x ，y) ，易知 N

11、(x ，0)NP (0 ，y) 又 NM1 NP0 ， y22 M x， 1 y ，又 M 在橢圓上2 x2y21 ，即 x2y22 22設(shè)點(diǎn) Q( 3， yQ ) ， P( xP ，yP ) ， ( yQ0) ，由已知： OPPQ(xP ，yP ) (3 yP ，yQyP ) 1 ，2OPOQOPOP OQOP1，OP OQ21 3 ，OP xP xQyP yQ3xPyP yQ3 設(shè)直線 OQ ： yyQx ，3因?yàn)橹本€ l 與 lOQ 垂直 kl3yQ故直線 l 方程為 y3 ( xxP )yP ，yQ令 y0 ，得yP yQ3( x xP ) ，1yyxx，3PQP x1yPyQxP ，

12、3 yP yQ33xP ， x1(33xP )xP1 ，3若 yQ0 ，則 3xP3 ， xP1， yP1 ，直線 OQ 方程為 y0 ，直線 l 方程為 x1 ，直線 l 過(guò)點(diǎn) ( 1 ，0) ，為橢圓 C 的左焦點(diǎn)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【全國(guó) III卷（理）】 20. （ 12 分）已知拋物線：y2=2 ，過(guò)點(diǎn)（ 2,0 ）的直線l交與 ,CxC A B兩點(diǎn)，圓 M是以線段 AB為直徑的圓 .（ 1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn) O在圓 M上；（ 2）設(shè)圓 M過(guò)點(diǎn) P（ 4， -2 ），求直線 l 與圓 M的方程 .解:(1)顯然，當(dāng)直線斜率為0 時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意設(shè) l : x my2 ，

13、 A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，聯(lián)立：y 22 x得 y22my40 ，xmy24m216 恒大于 0 ， y1y22m ， y1 y24 uuruuurOA OBx1 x2y1 y2(my12)( my22)(m21)y1 y22m( y1y2 ) 4uuruuur4(m21)2m(2m)40，即O在圓M上 OAOBuuuruur0(2) 若圓 M過(guò)點(diǎn) P，則 APBP(x14)( x24) ( y12)( y22) 0(my12)( my2 2)( y12)( y22)0(m21)y1 y2(2m2)(y1y2 )80化簡(jiǎn)得 2m2m10 解得 m1或 121當(dāng)

14、my40 圓心為 Q(x0 , y0) ，時(shí)， l : 2x2y0y1y21 ， x01 y029 ，22249212半徑 r|OQ |42則圓 M : ( x9 )2( y1 )2854216當(dāng) m1時(shí)， l : xy20 圓心為 Q(x0 , y0) ，y0y1y21 ， x0y02 3 ，2半徑 r|OQ |3212則圓 M : ( x3)2( y 1)210【北京卷】（ 18）（ 14分）已知拋物線C： y2=2px 過(guò)點(diǎn) P(1,1).過(guò)點(diǎn) (0,1 ) 作直線 l 與拋物線2C交于不同的兩點(diǎn),，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線分別與直線、交于點(diǎn), ，其中O為原點(diǎn) .M NMOP ONA B（）求拋

15、物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）求證： A 為線段 BM的中點(diǎn) .（18）解：（）把P（ 1,1 ）代入 y2=2Px得 P= 1 C: y2=x，2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案焦點(diǎn)坐標(biāo)（114， 0），準(zhǔn)線： x=- .41， A（ x1， y1）， B( x2， y2) ， OP：y=x， ON：y= y2 x ，（）設(shè) l ： y=kx+2x2由題知 (1，x1)， (1， x1 y2 )A xB xx2y kx1k2x2+（ k-1 ） x+ 1 =0， x1+x2= 1k ， x1· x2 =12.y2x4k 24k 2x1kx11x1 y212x1x2y1kx12kx1,

16、x22x22 x2由x1+ 2=1k ，1x2= 1，xk 2x4k21k上式2kx1k 22kx11k 2x12x1 A 為線段 BM中點(diǎn) .2x14k2 x1【江蘇卷】 17.（ 14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓 E :x2+y21( a b0)a2b2的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為18. 點(diǎn) P 在橢圓 E 上，且位，兩準(zhǔn)線之間的距離為2于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1 作直線 PF1 的垂線 l 1, 過(guò)點(diǎn) F2 作直線 PF2 的垂線 l 2.（ 1）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）若直線 l 1， l 2 的交點(diǎn) Q在橢圓 E 上，求點(diǎn) P 的坐標(biāo) .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案17.

17、 解 :（ 1）橢圓 E 的離心率為 1， c1 . 兩準(zhǔn)線之間的距離為8，2a28 .2a2c聯(lián)立得 a2, c 1， b3 ，故橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y21 .43yx01( x1)xx0y0（2）設(shè) P( x0 , y0 ) ，則 x0 0, y00 ，由題意得，整理得1 x02 ，x01yy1)y0( xy0點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在橢圓 E 上， x02y021 ， y02(1x02 )2， x0216 , y029，故點(diǎn)4333y0277P的坐標(biāo)是 (4 7,3 7).77【江蘇卷】 B. 選修 4-2 ：矩陣與變換 （本小題滿分10 分）已知矩陣 A= ，B=.(1)

18、求 AB;(2) 若曲線 Cx2y2C求 C的方程 .=1 在矩陣 AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，1;228 2B. 解 : （ 1）AB=.（2）設(shè) P( x1 , y1 ) 是曲線 C1 上任意一點(diǎn)，變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為x02x1，y10y文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案x2 y1 ，即x1y22所以，因?yàn)镻( x , y ) 在曲線 C上，所以 xy82yx1y11 x即曲線 C 的方1112程.【山東卷】（ 21）（本小題滿分13 分）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，橢圓 E ： x2y21 a b 0 的離心率為2 ，焦距為 2.a2b22（）求橢圓E 的方程；（）如圖，動(dòng)直線l ： y k1x3交橢圓

19、 E 于 A, B 兩點(diǎn)， C 是橢圓 E 上一點(diǎn)，直線 OC 的2斜率為 k2 ，且 k1k22， M 是線段 OC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 且 MC : AB 2:3 ， M 的半徑為4MC ， OS,OT 是M 的兩條切線，切點(diǎn)分別為S, T . 求 SOT 的最大值，并求取得最大值時(shí)直線 l 的斜率 .（21）解：（ I ）由題意知c22 ，e， 2ca2所以a2, b1，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2因此 橢圓 E 的方程為xy21 .2（）設(shè) A x1 , y1 , B x2 , y2 ，x2y21,聯(lián)立方程23yk1x,2得 4k122 x24 3k1 x 1 0 ，由題意知0 ，23k1, x1

20、x21，且 x1 x22122k122k1122所以 AB1 k12 x1 x221 k12 1 8k1 .2k11由題意知 k1k22，42所以 k24k1由此直線 OC 的方程為2yx .4k1x2y21,聯(lián)立方程22 x,y4k128k1221得 x1 4 k12 , y1 4k12，因此 OCx2y218k12.14k12文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由題意可知SOTr1，sinr OCOC21r18k122OC14k1而2 2 1 k12 1 8k1 2r3212k132122k1，41 4k1221k1令 t1 2k12，則 t10,1，1,t因此OC3t31311 ，r22t2t 1 21 1

21、221 192t t 2t24當(dāng)且僅當(dāng) 11 ，即 t2 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k12，2t2所以 sinSOT1 ，22因此SOT，26所以SOT 最大值為.3綜上所述：SOT 的最大值為，取得最大值時(shí)直線l 的斜率為 k12.23【天津卷】（ 19）（本小題滿分14 分）設(shè)橢圓 x2y21(ab 0) 的左焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為 A ，離心率為1. 已知 A 是拋物線a2b22y22 px( p0) 的焦點(diǎn)， F 到拋物線的準(zhǔn)線l 的距離為1.2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（I ）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II ）設(shè) l 上兩點(diǎn) P ， Q 關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)，直線AP 與橢圓相交于點(diǎn)B （ B 異于點(diǎn) A ），直線BQ 與 x 軸相交于點(diǎn) D . 若 APD 的面積為6 ，求直線 AP 的方程 .2（19）（）解：設(shè)F 的坐標(biāo)為 (c,0) . 依題意， c1 ， pa ， a c1 ，a222解得 a1， c1， p2 ，23于是 b2a2c