第二章隨機(jī)過程基本概念

1、2隨機(jī)過程的基本概念§2.1 基本概念隨機(jī)過程是指一族隨機(jī)變量 .對(duì)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)分析稱為隨機(jī)過程論 , 它 是隨機(jī)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支,產(chǎn)生于本世紀(jì) 的初期 .其 研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象 ,而它 特別研究的 是隨 “ 時(shí)間 ” 變化的 “ 動(dòng)態(tài) ” 的隨機(jī)現(xiàn)象 .一 隨機(jī)過程的定義1 定義 設(shè) E 為隨機(jī)試驗(yàn), S 為其樣本空間,如果 (1對(duì)于每個(gè)參數(shù) t T , X(e,t為建立在 S 上的隨 機(jī)變量,(2對(duì)每一個(gè) e S , X(e,t為 t 的函數(shù),那么稱隨 機(jī)變量族 X(e,t, t T, e S為一個(gè)隨機(jī)過程,簡(jiǎn) 記為 X(e,t, t T或 X(t。(為隨機(jī)序列。 時(shí),通常

2、稱 , 取可列集合 當(dāng) 可以為無窮。通常有三種形式:參數(shù) 一般表示時(shí)間或空間, 或 有時(shí)也簡(jiǎn)寫為 一個(gè)軌道。隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)或 過程的樣本函數(shù),或稱 隨機(jī) 的一般函數(shù),通常稱為 為 對(duì)于 :上的二元單值函數(shù)。為 即 若用映射來表示 注意:t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=-=ÎÎ×δ&#

3、174;´L L L為一個(gè)隨機(jī)過程。 則 令擲一均勻硬幣, 例 , ( (cos (, 1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =Îîíì=p2 隨機(jī)過程舉例 例 2:用 X(t表示電話交換臺(tái)在 (0, t 時(shí)間內(nèi)接到的呼喚 的次數(shù) , 則(1對(duì)于固定的時(shí)刻 t, X(t為隨機(jī)變量 , 其樣本空間為 0, 1, 2, .,且對(duì)于不同的 t, 是不同的隨機(jī)變量 .(2對(duì)于固定的樣本點(diǎn) n, X(t=n是一個(gè) t 的函數(shù) .(即:在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)來 n 個(gè)人 ?所以 X(t,t>0為一個(gè)隨機(jī)過程 .相位正弦波。 為

4、隨機(jī)過程,稱為隨機(jī) 則 令 例 (2, 0(sin( (3t X U Y R t Y t a t X pwÎ+=例 4 考慮 拋擲骰子 的試驗(yàn) :(i 設(shè) X n 是第 n 次拋擲的 點(diǎn)數(shù) ,對(duì)于 n = 1, 2, 的 不同值, X n 為不同的隨機(jī)變量,因而 Xn , n 1構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程,(ii 設(shè) 是前 n 次拋擲中出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù),n Y 1, ³n Y n 為隨機(jī)過程。k nk n X Y ££=1max例 5 1827年 布朗(Brown 發(fā)現(xiàn)靜水中的花粉在 不停的運(yùn)動(dòng),后來就把這種運(yùn)動(dòng)稱為布朗運(yùn)動(dòng)。 在靜水中花粉運(yùn)動(dòng)的原因是由于花粉受到水

5、中分 子的碰撞,這些相互獨(dú)立的分子每分鐘多達(dá) 1021次對(duì)花粉隨機(jī)碰撞的合力使花粉產(chǎn)生隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。 若用 X(e,t表示在 t 時(shí)刻花粉所處位置的橫坐 標(biāo),那么X(e,t , t(0,+就是描述花粉運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程。(布朗運(yùn)動(dòng)例 6 群體生長(zhǎng)隨機(jī)模型一個(gè)群體 (如:自然生長(zhǎng)的鳥的群體、一個(gè)宇宙 射線粒子引起的裂變的原子全體、數(shù)量遺傳學(xué)中:傳 染病的擴(kuò)散數(shù)、癌細(xì)胞的擴(kuò)散數(shù)等 的大小和組成是 有起伏的(隨時(shí)間而變,用 X(t表示時(shí)間 t 時(shí)群體的 大小, 則 為一隨機(jī)過程。(TttX Î例 7 排隊(duì)問題:顧客來到服務(wù)站要求服務(wù)(如:某時(shí)間段內(nèi) 用戶對(duì)電話交換臺(tái)的呼叫數(shù)、到銀行要求服務(wù)的顧客

6、數(shù)、用戶對(duì)電器故障要求修理的戶數(shù)等,當(dāng)服務(wù) 站中的服務(wù)員都在忙碌時(shí),來到的顧客就要排隊(duì)。 如:用 X(t表 t 時(shí)要求服務(wù)的用戶數(shù),Y(t表 t 時(shí)來到的顧客需等候的時(shí)間Z(t表 t 時(shí)的隊(duì)長(zhǎng),等。則 X(t, Y(t, Z(t 均為隨機(jī)過程。自然界還有許多隨機(jī)現(xiàn)象,如地震波幅 ,結(jié)構(gòu)物承受的 風(fēng)荷載 ,§在時(shí)間間隔 0, t 內(nèi)船舶 甲板 “ 上浪 ” 的次數(shù) , §通訊系統(tǒng)和自控系統(tǒng)中的各種 噪聲和干擾 , §生物群體的生滅問題§數(shù)量遺傳學(xué)§競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象,§傳染病擴(kuò)散,癌細(xì)胞擴(kuò)散§質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng),排隊(duì)問題等等§都可用

7、隨機(jī)過程這一數(shù)學(xué)模型來描述。例 8(., 2, 0(, 1, 13. , , 2, 0(2. , , 1, 11., , sin 為常數(shù) 而 的均勻分布 上 服從 上均勻分布的隨機(jī)變量 是 若 為常數(shù) 上的均勻分布 服從 若 為常數(shù) 上均勻分布的隨機(jī)變量 是 若 畫出其圖形 的任意兩個(gè)樣本函數(shù)并 試寫出隨機(jī)過程Q-QQ-+¥¥-ÎQ+=pwwpwwA A A t t A t X §2.2隨機(jī)過程的分布與存在定理一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)族定義 2.1設(shè) X (t為隨機(jī)過程,對(duì)任意固定的 t ,及實(shí)數(shù) x ,稱為隨機(jī)過程的一維分布函數(shù) , 而 稱為此隨機(jī)過程的

8、一維分布函數(shù)族 ., , , (T t R x t x F ÎÎTt x t X P t x F ΣºD( , (1注意:隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)不是一個(gè)函數(shù)而是一 族(無數(shù)個(gè)函數(shù),描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻 的統(tǒng)計(jì)特性。 1 隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族(1 若有 的一維密度函數(shù)。為 稱 使 可積: ( , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dxt x f t x F t x f xÎ=³ò¥-(2 若有 的一維概率分布。為 稱 滿足 : (1, 0 (T t t X p

9、 pp p x t X P k k k k kk Î=³=åT ttXtX Î=,cos(w例 1 考慮隨機(jī)過程此處 w為常數(shù), X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 試求 X (t 的一維概率密度。 例 2 設(shè)隨機(jī)過程為0(,(>=ttetY X其中 X 服從參數(shù)為 l的指數(shù)分布, 試求 Y (t 的一維概率密度。 定義 2設(shè) X(t為隨機(jī)過程,對(duì)于任意兩個(gè)時(shí)刻 t 1,t 2,及實(shí)數(shù) x 1, x 2,稱為隨機(jī)過程的二維分布函數(shù) , 而稱為此隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)族 .(, ( , , , (221121212x t X x t X P t t x x F

10、££=, , , , , , , (21212121T t t R x x t t x x F ÎÎ2 隨機(jī)過程的 二維分布函數(shù)族注意:隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)描述了隨機(jī)過 程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的聯(lián)系。定義 3設(shè) X (t為隨機(jī)過程,對(duì)于任意 n 個(gè)時(shí) 刻 ,及實(shí)數(shù) ,稱 T t t t n Î, , , 21L R x x x n Î, , , 21L (, , (, ( , , , , , , , (22112121n n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x F £

11、3;£=L L L 1, , , , , , , , , , , , (212121³În T t t t t t t x x x F n n n n L L L 3 n維分布函數(shù)族為 X (t 的 有限維 分布函數(shù)族。為隨機(jī)過程的 n 維分布函數(shù)。稱關(guān)于隨機(jī)過程 X (t 的 所有有限維分布函數(shù)的集合注意:隨機(jī)過程的 n 維分布函數(shù)描述了隨機(jī) 過程在任意 n 不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的 聯(lián)系。隨機(jī)過程 X (t 的有限維分布函數(shù)族的意義何在 ? 隨機(jī)過程的 n 維分布函數(shù)(或概率密度能 夠近似地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性,而且, n 越大,則 n 維分布函數(shù)越趨完善地描述

12、隨機(jī)過 程的統(tǒng)計(jì)特性。1931年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫證明了關(guān)于有 限維分布函數(shù)族的重要性的定理 .(1對(duì)稱性:對(duì)于 (1, 2, , n 的任一排列 i 1,i 2, ,i n 有 滿足 , 1 , , , , , , , , (2121T t n t t t x x x F F i n n n γ=L L , , , , , , , ( , , , , , , , (21212121n n i i i i i i n t t t x x x F t t t x x x F n n L L L L =(, , (, ( , , , , , , , (22112121n

13、 n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x F £££=L L L 則 F 必為某個(gè)隨機(jī)過程的有限維分布族。即存在 X(t,使 (2相容性:對(duì)于任意自然數(shù) m < n ,函數(shù)簇中的 m 維分布函數(shù)與 n 維分布函數(shù)之間有關(guān)系:定理 2.1(存在定理 設(shè)分布函數(shù)簇, , , , , , , , , , ( , , , , , , , (21212121n m n m m m t t t x x x F t t t x x x F L L L L L +¥+¥=例 3 設(shè) 為隨機(jī)過程,其 中 A 和 B

14、為隨機(jī)變量 , 相互獨(dú)立 , 均服從正態(tài)分布 N (0, 1 b t a Bt A t X ££<+=0 , (試求 X (t 的 n 維分布函數(shù)。 二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征與特征函數(shù)1 隨機(jī)過程的數(shù)字特征(1若對(duì)于任意給定的 t , EX (t的存在,則 稱它為隨 機(jī)過程的均值(t 的函數(shù),記為( (t EX t m X =又稱為 X(t的均值函數(shù)。 (2若對(duì)于任意給定的 t , EX 2(t存在,則稱 它為隨機(jī) 過程的均方值函數(shù),記為 ( (22t EX t X =y(3若對(duì)于任意給定的 t, E(X(t-mX (t2存在,則稱它 為隨機(jī)過程的方差函數(shù),記為 2(

15、( (t m t X E t D X X -=(4若對(duì)于任意給定的 t 1,t 2, EX(t1X(t2存在,則稱它 為隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù) , 記為( ( , (2121t X t X E t t R X =(5若對(duì)于任意給定的 t 1,t 2,存在則稱它為隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù),記為 (2211t m t X t m t X E x x -均值函數(shù),均方值函數(shù)與方差函數(shù)是刻畫隨機(jī) 過程在某個(gè)孤立時(shí)刻狀態(tài)的數(shù)字特征,而自相關(guān)函 數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)則是刻畫隨機(jī)過程自身在兩個(gè)不 同時(shí)刻狀態(tài)之間的線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。( ( ( , (221121t m t X t m t X E t t C X

16、 X X -=數(shù)字特征之間具有如下關(guān)系, ( (22t t R t X E t X X =y ( ( , ( , (212121t m t m t t R t t C X X X X -=( , ( , ( (2t m t t R t t C t D X X X X -=( (22t m t X X -=ycos(Q+=tatX w的均值函數(shù),方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 其中, a , w為常數(shù), Q是在 (0, 2p 上均勻分布的隨機(jī)變量。 例 4試求隨機(jī)相位余弦波 2 隨機(jī)過程的特征函數(shù)的一維特征函數(shù)。為 稱 為隨機(jī)變量,記由于給定 ( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u

17、eE u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ=Îåò=¥¥-k k iux X k k iux X p eu t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( ( ( 2 , ( , ( , ( (111jj則 有分布列 若 (,則有密度 若 (有時(shí)也需要利用常用的一些特征函數(shù)來求 隨機(jī)變量的分布函數(shù),由特征函數(shù)與分布函數(shù) 的一一對(duì)應(yīng)性有:kk k k iux t X p x t X P p eu k =Û=å ( ( (j例 6:設(shè) 獨(dú)立,且服從

18、, 0(, (221sN X t X X t X i +=求 X(t的一維特征函數(shù)。 隨機(jī)過程的 n 維特征函數(shù):( , , ; , , ( ( (112211n n t X u t X u t X u i n n X e E u u t t +=L L L j定義:稱隨機(jī)過程 的一維、二 維、 n 維等有限維特征函數(shù)全體為 X(t的有限維特征函數(shù)簇。: (T t t X Î1, : , , ; , , (11³În T t u u t t i n n X L L j隨機(jī)過程與分布函數(shù)一樣,能較全面地描述 X(t的統(tǒng)計(jì)特性。§2.3 隨機(jī)過程的基本類型 對(duì)一般隨機(jī)過程進(jìn)行研究是十分困難的 .因?yàn)閷?shí)際問題產(chǎn)生的隨機(jī)過程總可以歸結(jié)為 一些特殊的隨機(jī)過程,所以我們有必要對(duì)隨