與平行四邊形有關(guān)地常用輔助線作法歸類解析匯報(bào)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析本文結(jié)合例題歸納六類與平行四邊形有關(guān)的常見輔助線，供同學(xué)們借鑒：第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例 1 如左下圖1，在平行四邊形ABCD 中，點(diǎn) E, F 在對(duì)角線 AC 上，且 AECF , 請(qǐng)你以 F 為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF BFDE證明：連結(jié)DB,DF , 設(shè) DB,AC 交于點(diǎn) O四邊形 ABCD 為平行四邊形 AOOC,DO OBAE FC AOAEOC FC即 OEOF四邊形 EBFD 為平行四邊形 BFDE

2、DDCCFOOEA圖 1BABE圖2第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例 2 如右圖 2，在平行四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 和 BD 相交于點(diǎn) O，如果 AC12，BD 10， ABm ，那么 m 的取值范圍是（）AB2 m 22C10 m 12D5 m 61 m 11解：將線段 DB 沿 DC 方向平移， 使得 DBCE ,DC BE,則有四邊形 CDBE 為平行四邊形 , 在 ACE 中 ,AC 12, CEBD10,AE2AB2m12 102m 1210，即 22m22 解得1m11故選 A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例 3

3、 已知：如左下圖3，四邊形ABCD 為平行四邊形求證： AC 2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 2證明：過(guò) A, D 分別作 AEBC于點(diǎn) E， DFBC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) FAC2AE 2CE 2AB2BE 2(BC BE)2AB 2BC 22BE BCBD 2DF 2BF 2(CD 2CF 2)(BCCF)2CD 2BC 22BC CF則 AC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA 22BC CF2BC BE四邊形ABCD 為平行四邊形 AB CD且 ABCD, ADBC文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔ABCDCFAEBDFC 90 0ABEDCFBE CFAC2BD 2AB 2BC 2CD 2DA

4、 2EDCD3 1APF2ECFBAKB圖3圖 4第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例 4：已知：如右上圖4，在正方形 ABCD 中， E, F 分別是 CD 、 DA 的中點(diǎn)， BE 與CF 交于 P 點(diǎn)，求證： APAB證明：延長(zhǎng) CF 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K四邊形 ABCD 為正方形 ABCD且 ABCD,CDAD ,BADBCDD 9001K又DDAK90 0,DFAF CDF KAF AKCDAB CE1 CD, DF1 AD CEDF22BCDD 900BCE CDF 121390 023900CPB900,則KPB 900 AP AB第五類：延長(zhǎng)一邊上一

5、點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例 5 如左下圖5，在平行四邊形ABCD 中，點(diǎn) E 為邊 CD 上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng) AE 與 BC 的延長(zhǎng)線相交于F ，則有AED FEC ,FAB FEC ,AED FABAADDENOFCFBECB圖5圖6文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例 6 已知：如右上圖6，在平行四邊形ABCD 中， ANBN,BE1BC, NE交BD于F，求BF:BD3解：連結(jié) AC 交 BD于點(diǎn) O, 連結(jié) ON四邊形 ABCD 為平行四邊形 OAOC,OBBDOD2

6、 ANBNON 1BC且ON1 BC BEBF22ONFO BE1 BCBE:ON2 : 3BF23FO3 BF2BF:BD1: 5BO5綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對(duì)角線，平移對(duì)角線，延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大

7、片。梯形的輔助線口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。 至于選取哪種方法， 要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：作法圖形文案大全平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔ADBECEADBCADBCEFADEBCF（一）、平移1、平移一腰：例 1.如圖所示，在直角梯形ABCD中， A 90&#

8、176;， ABDC，AD15，AB16，BC 17. 求 CD的長(zhǎng) .DC解：過(guò)點(diǎn) D作 DE BC交 AB于點(diǎn) E.又 ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形 .所以 DEBC17， CDBE.在 Rt DAE中，由勾股定理，得ABDC222222AEDEAD，即 AE1715 64.所以 AE8.所以 BEABAE 1688.ABE文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔即 CD8.例 2 如圖，梯形 ABCD的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC的取值范圍。解：過(guò)點(diǎn) B 作 BM/AD交 CD于點(diǎn) M，在 BCM中， BM=AD=4，CM=CD DM=CDAB=83=5，所以 B

9、C的取值范圍是：54<BC<54，即 1<BC<9。2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC， B C=90°， AD=1，BC=3，E、F分別是 AD、BC的中點(diǎn)，連接 EF，求 EF的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn) E 分別作 AB、CD的平行線，交 BC于點(diǎn) G、 H，可得EGH EHG= B C=90°則 EGH是直角三角形因?yàn)?E、F 分別是 AD、 BC的中點(diǎn)，容易證得F 是 GH的中點(diǎn)所以 EF1 GH1 (BCBGCH )221 (BCAEDE )1BC(AE DE )221 (BCAD )1(31)1223、平移對(duì)角線：例 4、已

10、知：梯形 ABCD中， AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形 AB CD的面積解：如圖，作 DE AC，交 BC的延長(zhǎng)線于 E點(diǎn)文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔ADBC四邊形 ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 在 DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 BDE=90°BDED12作 DHBC于 H，則 DHBE5ADBHCE(AD BC) DH512S梯形 ABCD5622例 5 如圖，在等腰梯形 ABCD中， AD/BC，AD=3，BC=7，BD=5 2 ，求證： A CBD。解：過(guò)點(diǎn) C作 BD的平行線交 AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

11、E，易得四邊形 BCED是平行四邊形，則 DE=BC，CE=BD=5 2 ，所以 AE=ADDE=ADBC=37=10。52，在等腰梯形 ABCD中， AC=BD=所以在 ACE中， AC 2CE 2(5 2)2(5 2)2100 AE 2，從而 ACCE，于是 AC BD。例 6 如圖，在梯形 ABCD中， AB/CD，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD的面積。解：過(guò)點(diǎn) D作 DE/AC，交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，則四邊形 ACED是平行四邊形，即S ABDS ACD S DCE 。文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔所以 S梯形 ABCDS DBE由勾股定理得 EHDE

12、2DH2AC 2DH 21521229 （ cm）BHBD 2DH 220 212 216（cm）S DBE1 BEDH1(916)12 150(cm 2 )所以22，即梯形 ABCD的面積是2150cm。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC， B=50°， C=80°， AD=2， BC=5，求 CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) BA、CD交于點(diǎn) E。在 BCE中， B=50°， C=80°。所以 E=50°，從而 BC=EC=5同理可得 AD=ED=2所以 CD=ECED=52=3例 8.

13、如圖所示，四邊形ABCD中， AD不平行于 BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形 ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.DC解：四邊形 ABCD是等腰梯形 .證明：延長(zhǎng) AD、BC相交于點(diǎn) E，如圖所示 .ABACBD， ADBC， ABBA， DAB CBA. DAB CBA.E文案大全DCAB實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔EAEB.又 ADBC， DE CE， EDC ECD.而 E EAB EBA E EDC ECD180°， EDC EAB， DCAB.又 AD不平行于 BC，四邊形 ABCD是等腰梯形 .（三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 9 如圖 6，在直角梯形 ABCD中

14、，AD/BC，ABAD，BC=CD，BE CD于點(diǎn) E，求證： AD=DE。解：連結(jié) BD，由 AD/BC，得 ADB=DBE；由 BC=CD，得 DBC= BDC。所以 ADB=BDE。又 BAD= DEB=90°， BD=BD，所以 RtBAD RtBED，得 AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例 10 如圖，在直角梯形 ABCD中， AB/DC， ABC=90°， AB=2DC，對(duì)角線 A CBD，垂足為 F，過(guò)點(diǎn) F 作 EF/AB，交 AD于點(diǎn) E，求證：四邊形 ABFE是等腰梯形。文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔證：過(guò)點(diǎn) D作 DG AB于點(diǎn) G，則易知四邊形 DG

15、BC是矩形，所以 DC=BG。因?yàn)?AB=2DC，所以 AG=GB。從而 DA=DB，于是 DAB=DBA。又 EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高ADBEFC例 11、在等腰梯形 ABCD中， AD/BC，AB=CD， ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求： (1) 腰 AB的長(zhǎng)； (2) 梯形 ABCD的面積解：作 AE BC于 E，DF BC于 F，又 ADBC，四邊形 AEFD是矩形，EF=AD=3cmAB=DCBEFC1 (BC EF ) 1cm2在 RtABE中， B=60°， BE=1cmAB=2BE=2cm， AE3BE3cmS梯

16、形 ABCD( AD BC)AE4 3cm22例 12 如圖，在梯形 ABCD中， AD為上底， AB>CD，求證： BD>AC。證：作 AEBC于 E，作 DFBC于 F，則易知 AE=DF。在 RtABE和 Rt DCF中，因?yàn)?AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得 BE>CF。即 BF>CE。文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔在 RtBDF和 Rt CAE中由勾股定理得 BD>AC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例 13 如圖，在梯形 ABCD中， AB/DC，O是 BC的中點(diǎn)， AOD=90°，求證：ABCD=AD。1證：取 A

17、D的中點(diǎn) E，連接 OE，則易知 OE是梯形 ABCD的中位線，從而 OE=2（ ABCD）在 AOD中， AOD=90°， AE=DE所以O(shè)E1AD2由、得 ABCD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例 14 如圖，在梯形ABCD中， AD/BC， E、F 分別是 BD、AC的中點(diǎn)，求證：（ 1） EF/AD；（ 2） EF1 (BC AD) 。2證：連接 DF，并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn) G，易證 AFD CFG 則 AD=CG，DF=GF由于 DE=BE，所以 EF是 BDG的中位線從而 EF/BG，且 E

18、F1 BG2因?yàn)?AD/BG， BGBC CG BC AD文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔所以 EF/AD，EF1 (BC AD )23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。0例 15、在梯形 ABCD中， ADBC， BAD=90，E 是 DC上的中點(diǎn)，連接AE和 BE，求 AEB=2 CBE。解：分別延長(zhǎng) AE與 BC ，并交于 F 點(diǎn)0 BAD=90且 ADBC00 FBA=180 BAD=90又 ADBC DAE= F( 兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等 )AED=FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E 點(diǎn)是 CD的中點(diǎn)） ADE FCE （ AAS） AE=FE0在 ABF中

19、 FBA=90且 AE=FE BE=FE （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在 FEB中 EBF= FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE例 16、已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC，ABBC，E 是 CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段 AE和 BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解： AE=BE，理由如下：延長(zhǎng) AE，與 BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn) FDE=CE， AED=CEF，DAE=FADEBCF ADE FCEAE=EFABBC， BE=AE例 17、已知：梯形 ABCD中， AD/BC，E 為 DC中點(diǎn)， EF AB于 F 點(diǎn)， AB=3c m，EF=5cm，求梯形 ABCD的面積文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔解：如圖，過(guò) E 點(diǎn)作 MN AB，分別交 AD的延長(zhǎng)線于 M點(diǎn)，交 BC于 N 點(diǎn)DE=EC，ADBC DEM CNE四邊形 ABNM是平行四邊形EFAB，2S