平面方程課件

1、平面方程8.28.2內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧設(shè)設(shè)1. 向量運算向量運算點積點積:zzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積叉積:kjixayazaxbybzbbacos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba|sin| |abab 2sin1 cos平面方程混合積混合積:2. 向量關(guān)系向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa()0abca b c0ba平面方程P50 題題1

2、(4)(5)為單位向量為單位向量,且且解解(4), ,a b c 0abc則則a bb cc a ()0abcaa ab ac a ()0abcba bb bc b ()0abcca cb cc c 三式相加得三式相加得:a bb cc a 3.2 (4)向量向量3,4,5.abc0a b c 則則abbcca (5)已知已知且且()0abcab aca (5)=( ).=( ).caa bb ca b 同理同理則原式則原式=33sina ba b 3 3 4 1 =36.3236平面方程一、平面的點法式方程平面的點法式方程二、平面的一般二、平面的一般( (式式) )方程方程三、兩平面的夾角三

3、、兩平面的夾角8.5 平面及其方程 第八八章 平面方程zyxo0Mn一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱稱式式為平面為平面 的的點法式方程點法式方程, ,求該平面求該平面 的的方程方程. .( , , )M x y z法向量法向量. .量量, ),(CBAn nMM000nMM的為平面稱n這是求平面方程的主要方法這是求平面方程的主要方法取平面上一點和平面的一取平面上一點和平面的一法線向量法線向量（常通過向量的叉乘積（常通過向量的叉乘積 求得平面的一法向量）求得平面

4、的一法向量）平面方程kji例例1.1.求過三點求過三點,1M又(14,)0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1M2M3M解解: 取該平面取該平面 的法向量為的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. 利用點法式得平面利用點法式得平面 的方程的方程346231nn3121MMMM9-1平面方程特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為此式稱為平面的此式稱為平面的截距式方程截距式方程. . ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時時, ,)0,(c

5、ba平面方程為平面方程為 PozyxRQ平面方程二、平面的一般二、平面的一般( (式式) )方程方程設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減得以上兩式相減得, 此方程稱為此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù)任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA)0(222CBA),(CBAn 的平面的平面, , 因此方程因此方程的圖形是的圖形是 法向量為法向量為 ( (式式) )方程方程. .過已知點為過已知點為000(,)xy z平面的點法式方程平面的點法式方程: :平面方程缺項平面方程的特征：缺項平面方

6、程的特征： D = 0, A x + B y + C z = 0 表示表示 通過原點通過原點的平面的平面; 當(dāng)當(dāng) A = 0 時時, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 x 軸軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示平行于平行于 y 軸軸的平面的平面;平行于平行于 z 軸軸的平面的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.,),

7、0(iCBn缺誰缺誰誰誰僅誰僅誰誰誰0DCzByAx)0(222CBA平面方程例例2. 求通過求通過 x 軸和點軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解: 因平面通過因平面通過 x 軸軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點代入已知點) 1,3,4(得得BC3化簡化簡, ,得所求平面方程得所求平面方程03 zy另解另解: :取取niOP kji100431=( , , )=( , , )0 01 1-3-3(B0)(B0)則所求平面方程為則所求平面方程為:平面方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面設(shè)平面1的法向量為的法向量為 平面平面2的法向量為的

8、法向量為則兩平面夾角則兩平面夾角 的余弦為的余弦為 cos即即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角( (常為銳角常為銳角) )稱為稱為兩平面的夾角兩平面的夾角. .122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 1212cosnnnn| |平面方程2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n12(3) 重重合合212121CCBBAA12D

9、D平面方程因此有因此有例例3. 一平面通過兩點一平面通過兩點垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即即CA2的法向量的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去約去C , 得得0) 1() 1() 1(2zyx即即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和則所求平面則所求平面故故, ),(CBAn方程為方程為 n21MMn且且平面方程例例3. 一平面通過兩點一平面通過兩點垂直于平面垂直于平面: x + y

10、 + z = 0, 求其方程求其方程 .另解另解: 取平面的法向量為取平面的法向量為則所求平面的法向量為則所求平面的法向量為2(1)(1)(1)0 xyz)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和且且121nM Mn kji1021112 2-1-1 -1-1=( , , )即即02zyx1n注注:為已知平面為已知平面的法向量的法向量. .平面方程外一點外一點, ,求求),(0000zyxP0DzCyBxA例例4. 設(shè)設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為設(shè)平面法向量為),(1111zyx

11、P在平面上取一點在平面上取一點是平面是平面到平面的距離到平面的距離d .0P, ,則則P0 到平面的距離為到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式點到平面的距離公式)平面方程xyzo0M例例5.解解: 設(shè)球心為設(shè)球心為求內(nèi)切于平面求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限則它位于第一卦限, ,且且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程四面體的球面方程.

12、從而從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx平面方程內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式點法式點法式截距式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc( (求平面方程的主要方法求平面方程的主要方法) )設(shè)法取得一法向量設(shè)法取得一法向量常通過向量的叉積常通過向量的叉積平面方程0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平平面面與平面與平面之間的關(guān)系之間的關(guān)系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夾角公式夾角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyB

13、xA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 12(3) 重重合合212121CCBBAA12DD平面方程作業(yè)作業(yè)P42 2 , 6 , 7 , 8， 9平面方程)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx備用題備用題1求過點求過點 且垂直于且垂直于二二平面平面 和和 的平面方程的平面方程. .) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量為已知二平面的法向量為取所求平面的法向量取所求平面的法向量 則所求平面方程為則所求平面方程為化簡得化簡得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nn

14、n平面方程2.2.用參數(shù)式表示直線用參數(shù)式表示直線解解: :043201 zyxzyx取取 z 為參數(shù)為參數(shù) 1234xyzxyz 由由解得解得54331233 xzyz 則直線的參數(shù)式方程為則直線的參數(shù)式方程為: :54331233 xzyzzz (z (z 為參數(shù)為參數(shù)) )平面方程3. 證證:,PBa 在線段在線段AB的一側(cè)有一動點的一側(cè)有一動點P,以以PB,PA為邊向外做正方為邊向外做正方形形PBCD和和PAEF,M為為D,E的中點的中點(如圖如圖).證明證明:(1) PMAB;(2) PM= AB.12ABCDPEFM設(shè)設(shè).APb 垂直屏幕向外的單位向量為垂直屏幕向外的單位向量為. i,PDia .PEib 12PMPDPE 12iaib 12()iab12iAB 所以所以PMAB;且且PM= AB.12平面方程4. 證明證明(1)任意任意三角形三角形ABC的三條中線可構(gòu)成的三條中線可構(gòu)成 1 ;BCA0abcBE 證證: :(1)設(shè)設(shè)ABC三邊的中點分別為三邊的中點分別為D,E,F(D,E,F(如圖如圖) )FD DE(2) (2) 1 的三條中線構(gòu)成的的三條中線構(gòu)成的 三角形三角形2與與 ABC 相似相似, 并求相似比并求相似比記記,BCa ,CAb.ABc 則則三條中線三條中線a 12CFbc b 12ADca c 0abc 所以三條中線可構(gòu)成三