復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為

1、蘇州大學(xué)碩士學(xué)位論文復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為姓名：倪楊春申請學(xué)位級(jí)別：碩士專業(yè)：凝聚態(tài)物理指導(dǎo)教師：許晨20090501復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化中文摘要中文摘要現(xiàn)實(shí)世界是由許許多多的復(fù)雜系統(tǒng)構(gòu)成。從拓?fù)涞慕嵌瓤?，這些系統(tǒng)都可以抽象成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。現(xiàn)在，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為了研究和揭示自然界和人類社會(huì)系統(tǒng)中各種不同復(fù)雜體系的結(jié)構(gòu)和功能的重要工具。自從）和）這兩篇經(jīng)典文章問世之后，有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)功能以及演化規(guī)律等一系列問題的研究已經(jīng)成為不同領(lǐng)域的科學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)。我們重點(diǎn)研究了網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)力學(xué)，涉及網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化及統(tǒng)計(jì)行為。本文主要工作如下。我們首先研究了不同演化規(guī)則下雪堆博弈模型在網(wǎng)

2、絡(luò)中的博弈行為。演化規(guī)則包括模仿機(jī)制和自我反問機(jī)制。我們的研究結(jié)果表明在不同的演化規(guī)則下，出現(xiàn)的合作頻率會(huì)呈現(xiàn)出不同的特征。在自我反問機(jī)制下，系統(tǒng)可能會(huì)產(chǎn)生很高的整體收益。這一現(xiàn)象將有利于整個(gè)競爭群體，但這個(gè)高收益是以犧牲群體中合作者勞動(dòng)力價(jià)值為前提的。其次，我們研究了動(dòng)物沖突現(xiàn)象在不同網(wǎng)絡(luò)中演化的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。和提出動(dòng)物沖突的模型，模型中提出了五種動(dòng)物沖突時(shí)可能運(yùn)用的策略。他們的研究表明動(dòng)物之間的沖突主要是進(jìn)行不嚴(yán)重受傷的有限性沖突，得出具有報(bào)復(fù)性的策略和試探報(bào)復(fù)性的策略是演化穩(wěn)定策略。但在動(dòng)物之間的關(guān)系具有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時(shí)最優(yōu)演化策略就有可能不同。有些網(wǎng)絡(luò)中最終只有一種策略生存，另外一些網(wǎng)絡(luò)中可

3、以有兩種策略共存，甚至有些網(wǎng)絡(luò)會(huì)出現(xiàn)多種策略共存結(jié)果。最后，我們結(jié)合雪堆博弈模型和少數(shù)者博弈的演化方法研究了多人競爭系統(tǒng)中合作行為產(chǎn)生的原因。在不同付出與回報(bào)比值下，少數(shù)者（合作者小于總數(shù)一半）或者多數(shù)合作者都有可能獲得勝利。我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中合作頻率隨著付出與回報(bào)比增加而呈現(xiàn)一個(gè)階梯結(jié)構(gòu)。我們還研究了合作頻率的標(biāo)準(zhǔn)偏差隨記憶長度和付出與回報(bào)比值之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這些參數(shù)對競爭者爭奪有效資源的效率有很大影響。關(guān)鍵字：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；雪堆模型；動(dòng)物沖突模型；博弈模型作者：倪楊春指導(dǎo)教師：許晨復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化英文摘要，”，嬲，觚，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化英文摘要，（）：；蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)聲

4、明學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不含為獲得蘇州大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書而使用過的材料。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人承擔(dān)本聲明的法律責(zé)任。研究生簽名：魚盤塞學(xué)位論文使用授權(quán)聲明蘇州大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館、清華大學(xué)論文合作部、中國社科院文獻(xiàn)信息情報(bào)中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保存

5、期內(nèi)的保喻論文外，允許論文被查閱和借閱，可以公布（包括刊登）論文的全部或部分內(nèi)容。論文的公布（包括刊登）授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理。研究生簽名：紐勉壺期：哇挈：笠絲導(dǎo)師簽名：！縋凌日期：芻叢！互復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論第一章緒論§復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究概述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是研究復(fù)雜系統(tǒng)的一門新興學(xué)科。近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究正受到來自不同領(lǐng)域的越來越多的研究人員的廣泛關(guān)注?，F(xiàn)實(shí)世界中的許多系統(tǒng)都可以通過網(wǎng)絡(luò)的形式來描述，即把其抽象成為由相互作用的個(gè)體組成的網(wǎng)絡(luò)。其中受到廣泛研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有互聯(lián)網(wǎng)、萬維網(wǎng)、鐵路網(wǎng)、航空網(wǎng)、電力網(wǎng)、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)和各種合作網(wǎng)絡(luò)等】。因?yàn)檫@些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與人們的生

6、活和工作環(huán)境息息相關(guān)，所以研究和揭示這些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的規(guī)律具有深遠(yuǎn)的科學(xué)意義。對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的最早研究，我們可以追朔到歐拉的七橋問題。一條小河橫穿哥尼斯堡（）鎮(zhèn)，河中有兩個(gè)小島，島和岸上連有七座橋。有人問：在一次散步中能不能一次性走過所有七座橋后返回出發(fā)點(diǎn)？歐拉在思考了這個(gè)問題之后，將陸地抽象為節(jié)點(diǎn)，把橋抽象為點(diǎn)與點(diǎn)之間的連線，并通過推理得出“不可能一次性不重復(fù)地走完這七座橋”，從而由此開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)分支一一圖論。但此后的一段相當(dāng)長時(shí)間里，圖論并沒有得到足夠的發(fā)展。直到世紀(jì)年代，兩位匈牙利數(shù)學(xué)家和建立了隨機(jī)圖理論。從此研究者開始對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論進(jìn)行系統(tǒng)的研究。在隨后的年中，隨機(jī)圖理論也成為了研究復(fù)雜

7、網(wǎng)絡(luò)的基本理論，被認(rèn)為是描述真實(shí)最適宜的網(wǎng)絡(luò)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，人們能夠收集和存儲(chǔ)各種規(guī)模巨大且種類不同的復(fù)雜系統(tǒng)的拓?fù)湫詳?shù)據(jù)。另一方面，人們可以利用計(jì)算機(jī)高速計(jì)算能力來分析這些大量的數(shù)據(jù)，探查這些復(fù)雜系統(tǒng)的整體特性。在這些大量的統(tǒng)計(jì)分析中，研究人員發(fā)現(xiàn)各種類型的復(fù)雜系統(tǒng)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)并不是完全隨機(jī)的，但表現(xiàn)出相同的統(tǒng)計(jì)屬性。美國康奈爾大學(xué)的和在雜志上發(fā)表的（）】和美國大學(xué)的缸和在雜志發(fā)表的）【，這兩篇經(jīng)典文章開創(chuàng)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究新紀(jì)元，它們分別揭示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界特性和無標(biāo)度性質(zhì)，并建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論立了相應(yīng)的模型。這兩種網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)和大量真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)證研究成果，

8、促使人們?nèi)ヌ剿鳜F(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在演化機(jī)制，從此掀起了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮。§復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本概念我們生活在一個(gè)充滿了各種復(fù)雜系統(tǒng)的世界中，如生物系統(tǒng)、社會(huì)關(guān)系系統(tǒng)，電力系統(tǒng)等等。人們在研究這些復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，任何復(fù)雜系統(tǒng)都可以從實(shí)際背景出發(fā)，抽象成由相互作用的個(gè)體組成的網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)是由許多節(jié)點(diǎn)與連接節(jié)點(diǎn)之間的邊構(gòu)成的，其中節(jié)點(diǎn)用來代表相互作用的個(gè)體，邊用來表示個(gè)體間的關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有相互作用時(shí)就在它們之間連一條邊，否則不連邊。例如，電力系統(tǒng)可以看成是由大量的發(fā)電廠和用戶通過傳輸線相互連接形成的網(wǎng)絡(luò)】；類似的還有神經(jīng)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)【】、演員合作網(wǎng)【】、社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)等等，。如上所述，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為研究

9、復(fù)雜系統(tǒng)提供了一個(gè)嶄新的平臺(tái)，然而一般的系統(tǒng)都很龐大而且具有自身的特殊性，這也決定了與之對應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有復(fù)雜的拓?fù)涮匦浴榱烁玫孛枋鰪?fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特性，研究人員提出了許多重要概念和方法，其中有三個(gè)最基本的概念：平均路徑長度（）、聚類系數(shù)（）、度分布（）。下面我們就來定義這三個(gè)基本概念。平均路徑長度網(wǎng)絡(luò)中的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離等于連接這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)所需的最短路徑的邊數(shù)。假定，為和兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離，我們就可以定義和計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中的平均路徑長度三，即為任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離的平均值（不考慮節(jié)點(diǎn)到自身的距離）三上（），：吒度（）其中為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度有時(shí)也被稱為網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長

10、）。聚類系數(shù)在社交活動(dòng)中，你經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)你所認(rèn)識(shí)的兩個(gè)人也相互認(rèn)識(shí)。像這種屬性我們就稱之為聚類特性。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中某個(gè)節(jié)點(diǎn)有毛個(gè)鄰居時(shí)，這磚個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論多能產(chǎn)生墨（毛）條邊。假定這個(gè)節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)為，則節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)為，即而可，（）整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)就是所有節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)的平均值，即。很明顯，平均聚類系數(shù)的范圍為。當(dāng)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)是全局耦合網(wǎng)絡(luò)，即網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都直接相連。度與度分布度是反映網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的又一個(gè)重要概念。節(jié)點(diǎn)的度趕定義為與該節(jié)點(diǎn)連接的邊數(shù)目。一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度越大，它的近鄰就會(huì)越多。在社交網(wǎng)絡(luò)中，如果某一個(gè)體的度很大就意味著他在社團(tuán)中具有重要

11、地位。網(wǎng)絡(luò)的平均度則為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)度的平均值，即，島。在研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時(shí)，研究者往往用分布函數(shù)（）來描述節(jié)點(diǎn)的度分布情況。（）表示在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)其度恰好為七的概率。對于不同網(wǎng)絡(luò)，其度分布也呈現(xiàn)不同的特性。例如，規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中，所有節(jié)點(diǎn)都有的相同度，度分布為分布；完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布近似為泊松分布。有些網(wǎng)絡(luò)的度分布甚至可以用冪律形式（）芘來描述（為冪律指數(shù)）。§典型的網(wǎng)絡(luò)模型及特性§規(guī)則網(wǎng)絡(luò)人們經(jīng)常研究的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)有三種：最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，全局耦合網(wǎng)絡(luò)，星型耦合網(wǎng)絡(luò)。其結(jié)構(gòu)特征如下圖所示。在最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都和它最近鄰的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，而且具有周期性邊條件。最近鄰耦

12、合網(wǎng)絡(luò)往往由個(gè)以環(huán)狀排列的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有個(gè)鄰居與其相連（圖（）中為）。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有較大的聚類系數(shù)和較大的平均路徑長度，它的度分布為萬（尼）函數(shù)。另外平面格子網(wǎng)絡(luò)也是一種常見的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，例如漁網(wǎng)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論麋忿嵫過夥（）景近郎藕合網(wǎng)絡(luò)（）全局耦合網(wǎng)絡(luò)（）星型月絡(luò)圖（）（）分別對應(yīng)不同規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。棋盤等。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)有東南西北四個(gè)方向的近鄰，即。有趣的是這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)總是為零。全局耦合網(wǎng)絡(luò)是由個(gè)節(jié)點(diǎn)和（一）條邊連接構(gòu)成的，如圖。此網(wǎng)絡(luò)中的平均路徑長度和平均聚類系數(shù)都為，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度都為一。它具有一些現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)小世界和較大聚類系數(shù)的性質(zhì)，但是

13、大多數(shù)大標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)都是趨于分散的，也就是說現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的總邊數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于（）量級(jí)。星型耦合網(wǎng)絡(luò)是一種較為分散的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，如圖（）。它具有很小的平均度。它的聚類系數(shù)。它的平均路徑長度為三專§小世界網(wǎng)絡(luò)（）（）實(shí)際上大多數(shù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通常具有較小的平均路徑長度和較大的聚類系數(shù)，即具有小世界性和聚集性。規(guī)則網(wǎng)絡(luò)雖然具有很高的聚類系數(shù)但不具有較小的平均路徑長度，隨機(jī)圖雖然具有小的平均路徑長度但不具有高的聚類系數(shù)，因此這兩類網(wǎng)絡(luò)都不能很好的展現(xiàn)實(shí)際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征。年和提出一個(gè)兼具小世界和高聚集性的網(wǎng)絡(luò)模型】，它是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的重大突破。小世界網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造思想就是把規(guī)則網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)化。生成算法為：考

14、慮一個(gè)含有個(gè)節(jié)點(diǎn)的最近鄰耦合環(huán)，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有忌（偶數(shù)）個(gè)近鄰，以概率切斷原來的邊并隨機(jī)地重新連復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論黹圖小世界模型是通過對規(guī)則環(huán)重新連邊而得到。（摘自文獻(xiàn)【】）接到網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)。通過調(diào)節(jié)的值就可以實(shí)現(xiàn)從規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（）到隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（）的過渡。圖給出規(guī)則網(wǎng)絡(luò)向隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)演化的過程。這里的重新連接是指：把一條邊的一端從原來的節(jié)點(diǎn)連接到隨機(jī)選取的另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，同時(shí)保證節(jié)點(diǎn)沒有自連接以及兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間沒有重復(fù)連接。所以隨機(jī)化過程中會(huì)產(chǎn)生大約條“長距離圖小世界模型的聚類系數(shù)和平均路徑長度隨重連概率的變化關(guān)系。連接”的邊。模型中聚類系數(shù)（）和平均路徑長度三（）都可以看作是重新連接概

15、率的函數(shù)如圖所示。當(dāng)較小時(shí)重新連接得到的網(wǎng)絡(luò)與規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的局部屬性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論幾乎相同，因此網(wǎng)絡(luò)的聚系數(shù)變化不大，但平均路徑長度卻下降的很快，從圖可以看出隨著的增大，聚類系數(shù)（）和平均路徑長度（）均減小，但平均路徑長度三（）減小得更快。小世界網(wǎng)絡(luò)模型的度分布和隨機(jī)圖一樣服從泊松分布。模型提出后，許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的改進(jìn)，其中應(yīng)用最多的是和提出的小世界網(wǎng)絡(luò)模型【】。模型不同于模型之處在于它不切斷規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中的原始邊，而是以概率重新連接一對節(jié)點(diǎn)。模型的優(yōu)點(diǎn)是簡化了理論分析，因?yàn)槟Ｐ涂赡艽嬖诠铝Ⅻc(diǎn)，而模型不會(huì)。事實(shí)上，當(dāng)很小很大時(shí)這兩個(gè)模型理論分析的結(jié)果是相同的，所

16、以統(tǒng)稱為小世界網(wǎng)絡(luò)模型。§無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)小世界網(wǎng)絡(luò)模型具有小世界性和高聚集性，節(jié)點(diǎn)的度分布近似為泊松分布，這些都與一些實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征相符合。而實(shí)證結(jié)果卻表明還有許多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的度分布具有冪律的形式，即度分布函數(shù)的形式為尸（七）一。在許多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中大多數(shù)節(jié)點(diǎn)僅有少量連接，而少數(shù)節(jié)點(diǎn)卻擁有大量連接，這樣網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度就沒有明顯的特征標(biāo)度。于是，百等人稱度分布具有冪律特性的網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。為了解釋無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的形成機(jī)制，矗和提出了著名的模型。在網(wǎng)絡(luò)生成的過程中，他們引入了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)重要性質(zhì)：增長性和優(yōu)先連接性。模型的生成算法是：首先從一個(gè)具有個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)開始，每次引入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)并且連接

17、到個(gè)已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)上（聊）；這個(gè)新節(jié)點(diǎn)與已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)相連的概率為毛一（毛為節(jié)點(diǎn)的度）；這樣就表達(dá)了增長性和優(yōu)先連接性。經(jīng)過，時(shí)間的演化，這樣就形成一個(gè)有個(gè)節(jié)點(diǎn)和條邊的網(wǎng)絡(luò)。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度為（忉。由此可知，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)為【】：掣陋（瑪一士掣（一、。（）、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論這意味著無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)不具有明顯的聚類特征。另外，研究人員已經(jīng)提出了三個(gè)理論方法來研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布情況，即連續(xù)場理論】、主方程法【】和速率方程法】。這三種理論方法得到的結(jié)果都接近一致尸（后）（）這表明網(wǎng)絡(luò)的度分布函數(shù)為一個(gè)冪指數(shù)為的冪律函數(shù)。通過數(shù)值模擬我們也

18、可以得到其度分布滿足冪律分布如圖所示。圖模型中度分布關(guān)系。在數(shù)據(jù)模擬中，分別為、和。§網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化自年證明了均衡點(diǎn)的存在】，博弈論就被認(rèn)為是研究自然和人類社會(huì)中普遍存在的合作行為最為重要的數(shù)學(xué)工具。其中最著名的模型之一是所謂的“囚徒困境”模型（）。在這個(gè)模型中，最好的策略就是選擇欺騙而不愿意選擇合作，這也抓住了人性自私和背叛的特征。另外一個(gè)典型的模型是雪堆模型（）】。在此模型中，最好的策略要依賴于對方的選擇，如果對方欺騙，則選擇合作；如果對方合作，則選擇欺騙。很顯然雪堆模型比“囚徒困境”模型更容易促進(jìn)合作行為。根據(jù)博弈理論，我們知道自私個(gè)體總是要獲得個(gè)人的最大利益復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈

19、演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論而不會(huì)考慮整體利益，因此博弈的結(jié)果必然是背叛。這一結(jié)論往往與實(shí)際情況不完全吻合。這是因?yàn)樵谧匀唤缰?，同類以及異種生物體之間的合作是一種普遍的現(xiàn)象，例如螞蟻、蜜蜂等的群體合作行為。由此人們自然會(huì)提出一系列重要的問題：為什么由自私個(gè)體組成的群體會(huì)產(chǎn)生合作行為昵？在什么條件下才能產(chǎn)生合作行為？在演化過程中什么樣的策略才是最優(yōu)策略呢？解答這些問題將有助于我們更深刻地認(rèn)識(shí)和理解自然界中的生命體的行為規(guī)律。這也引起了科學(xué)家們的廣泛關(guān)注。和在年提出的“空間博弈”的概念并發(fā)現(xiàn)空間結(jié)構(gòu)能夠促進(jìn)群體中的合作產(chǎn)生】。年和進(jìn)一步研究了空間格子中的雪堆博弈并發(fā)現(xiàn)空間格子卻強(qiáng)烈地壓抑雪堆博弈中的合

20、作】。這顯然與的結(jié)果完全不同。令人驚奇的是雪堆博弈本身比囚徒困境博弈有利于促進(jìn)合作，但是在空間范圍內(nèi)，其表現(xiàn)出來的合作水平要比囚徒困境博弈低得多。這表明空間結(jié)構(gòu)并不是在任何情況下都能提升合作行為的發(fā)生頻率，有時(shí)空間結(jié)構(gòu)也會(huì)限制合作行為。這些矛盾也將激發(fā)研究者做進(jìn)一步的研究。例如年和研究了種群內(nèi)的合作演化行為【】，等人在年研究了囚徒困境模型在網(wǎng)絡(luò)格子中演化時(shí)的合作頻率的連續(xù)相變問題】。后來，研究人員進(jìn)一步地研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈行為。年和首先研究了博弈行為從規(guī)則格子網(wǎng)絡(luò)到隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)變，其中重點(diǎn)討論了小世界網(wǎng)絡(luò)中的博弈行為】。等人在隨后的幾年中又系統(tǒng)地探討了不同網(wǎng)絡(luò)中的演化博弈行為，包括連續(xù)相變

21、、吸收態(tài)等等。年和研究了囚徒困境博弈和雪堆博弈在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的演化行為【】。他們發(fā)現(xiàn)這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以極大的促進(jìn)系統(tǒng)中的合作行為的產(chǎn)生頻率。在由自私個(gè)體組成的系統(tǒng)中能夠產(chǎn)生如此高的合作行為是一個(gè)非常有趣的結(jié)果。后來等人通過研究網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體策略的動(dòng)態(tài)組織結(jié)構(gòu)進(jìn)一步闡述了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中合作行為的形成原因】。§本文的主要工作本文關(guān)注復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為，主要研究和分析了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對合作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論行為的涌現(xiàn)及競爭行為的影響。各部分的具體內(nèi)容如下：我們研究了不同演化規(guī)則下雪堆博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的博弈行為。演化規(guī)則包括模仿機(jī)制和自我反問機(jī)制。我們的研究結(jié)果表明在不同

22、的演化規(guī)則下，出現(xiàn)的合作頻率和整體收益值也會(huì)呈現(xiàn)出不同的特征。例如，在模仿機(jī)制下，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)完全合作的相和完全欺騙的相。在自我反問機(jī)制下，系統(tǒng)不具有這一特征，但是在該種演化規(guī)則下，系統(tǒng)可能會(huì)產(chǎn)生很高的整體收益。這一現(xiàn)象將有利于整個(gè)競爭群體，但這個(gè)高收益是以犧牲群體中合作者勞動(dòng)力價(jià)值為前提的。我們研究了動(dòng)物沖突現(xiàn)象在不同網(wǎng)絡(luò)中演化的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。和提出動(dòng)物沖突的模型，模型中提出了五種動(dòng)物沖突時(shí)可能運(yùn)用的策略。他們的研究表明動(dòng)物之間的沖突主要是進(jìn)行不嚴(yán)重受傷的有限性沖突，得出具有報(bào)復(fù)性的策略和試探報(bào)復(fù)性的策略是演化穩(wěn)定策略。但在動(dòng)物之間的關(guān)系具有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時(shí)最優(yōu)演化策略就有可能不同。有些網(wǎng)絡(luò)中最終只

23、有一種策略生存，另外一些網(wǎng)絡(luò)中可以有兩種策略共存，甚至有些網(wǎng)絡(luò)會(huì)出現(xiàn)多種策略共存結(jié)果。這表明網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)對動(dòng)物沖突現(xiàn)象中的最優(yōu)策略有很大影響。我們結(jié)合雪堆博弈模型和少數(shù)者博弈的演化規(guī)則研究了多人競爭系統(tǒng)中合作行為產(chǎn)生的原因。在不同付出與回報(bào)比值下，少數(shù)者合作者（合作者小于總數(shù)一半）或者多數(shù)合作者都有可能獲得勝利。我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中合作頻率隨著付出與回報(bào)比增加而呈現(xiàn)一個(gè)階梯結(jié)構(gòu)。我們還研究了合作頻率的標(biāo)準(zhǔn)偏差隨記憶長度和付出與回報(bào)比值之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這些參數(shù)對競爭者爭奪有效資源的效率有很大影響。皇雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論參考文獻(xiàn)【】，【】，：，（，）【】，：，（，）【】【】，】，】，【】

24、，【】，】，【】，【】，】，【】，【】，】，【】，：，（，），復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第一章緒論【】凡【】，【】，】，【】，）【】，（，（，）】，（，），【】，【】，【】，【】，】，【】，】，【】，】，【】，【】，【】，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第二章博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化性質(zhì)第二章博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化性質(zhì)博弈論和演化博弈論已經(jīng)成為了研究和理解自私個(gè)體構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)的合作行為的重要理論工具【】。這些復(fù)雜系統(tǒng)廣泛地存在于自然界中的各個(gè)不同領(lǐng)域，包括生物、政治、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)等。因此這一方面的研究一直受到不同學(xué)科研究者的高度關(guān)注。自從提出了囚徒困境模型（）】之后，囚徒困境模型就成為了研究合

25、作行為的普遍工具，而且研究者利用這一工具解釋了自然界中的許多現(xiàn)象【】。然而在處理一些實(shí)際問題時(shí)，囚徒困境模型很難定量參與者的收益值，所以研究者提出了雪堆博弈模型（）并經(jīng)常替代囚徒困境模型來處理實(shí)際問題。在早期的研究中，和發(fā)現(xiàn)空間結(jié)構(gòu)能夠提升合作行為的發(fā)生頻率【】。但最近的研究表明空間結(jié)構(gòu)并不是在任何情況下都能提升合作行為的發(fā)生頻率，有時(shí)空間結(jié)構(gòu)也會(huì)限制合作行為的產(chǎn)生【】。這些矛盾將促使研究者提出更多的演化博弈論，去更好地解釋合作涌現(xiàn)行為。在過去的許多文章中，大部分研究主要集中于學(xué)習(xí)和模仿機(jī)￥，也就是模仿自己鄰居的優(yōu)秀策略。在實(shí)際問題中，參與者不僅僅去學(xué)習(xí)和模仿別人的優(yōu)秀成果，有時(shí)他也會(huì)反思：我

26、做相反的決定結(jié)果會(huì)不會(huì)更好？由此我們提出了一種自我反問機(jī)制。這種機(jī)制在處理問題時(shí)往往也是必不可少的。為此，我們主要模擬了這兩種演化規(guī)則下的雪堆模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化情況，進(jìn)一步研究了這兩種機(jī)制下的合作行為和整體收益情況，這些將會(huì)有助于我們更好地解釋一些自然現(xiàn)象。§雪堆模型的介紹雪堆博弈模型是囚徒困境博弈模型的一個(gè)變化形式。它是兩人對稱博弈，描述了兩個(gè)人相遇時(shí)是彼此合作，共同收益，還是彼此欺騙，相互利用，揭示了個(gè)體理性和群體理性的矛盾對立。它的情境可以描述為兩個(gè)汽車司機(jī)在路上被一堆雪堵住而不能回家的情形。我們假定兩個(gè)司機(jī)都帶有鏟子而且鏟雪所耗的勞動(dòng)力價(jià)值為和回家后每個(gè)司機(jī)將得到一個(gè)總收益值

27、。在被堵住時(shí)，每個(gè)司機(jī)只能做一個(gè)選擇，要么下車鏟雪（即合作，以表示）要么在車上等待對方鏟雪（即欺騙，以表示）。如果他們都復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第二章博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化性質(zhì)選擇合作，他們都能回家，每個(gè)人得到一個(gè)凈收益值尺。如果一個(gè)司機(jī)選擇合作而另一個(gè)司機(jī)選擇欺騙，他們也能夠回家。這時(shí)，合作者得到的凈收益值，而欺騙者不付出如何勞動(dòng)卻得到最多凈收益值。如果彼此都選擇欺騙，每個(gè)司機(jī)都不能回家并且什么也得不到尸。很容易發(fā)現(xiàn)這四個(gè)收益值的大小順序?yàn)?。如果，雪堆博弈模型將變成囚徒困境模型，整個(gè)博弈的環(huán)境也將發(fā)生改變。為了不失一般性，我們令，則這四個(gè)收益值都可以用一個(gè)參數(shù)（）來決定，這個(gè)參數(shù)，即為

28、付出與回報(bào)比值。在廠范圍內(nèi)，雪堆博弈模型中的收益值可以用一個(gè)的矩陣來表示，一，、（），與囚徒困境模型收益值矩陣相比較來看，雪堆博弈模型更能提升合作行為的產(chǎn)生。§不同演化機(jī)制下的網(wǎng)絡(luò)模型我們主要關(guān)注不同演化規(guī)則下網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化行為。實(shí)際的參與者可以抽象為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)。我們把參與者的競爭情境設(shè)置為雪堆博弈模型，即在演化的過程中每個(gè)參與者都是單一的策略者，只能做一個(gè)選擇，要么選擇合作，要么選擇欺騙。每一個(gè)回合，每個(gè)參與者只能與其最近的鄰居發(fā)生作用并且得到一個(gè)累積的收益值。根據(jù)式（），這個(gè)累積收益值的表達(dá)式可以寫為屹（）這里屹表示參與者與其最近的鄰居歹相互作用得到的收益值，歹包括參與者的所

29、有最近的鄰居，這里不包括自我作用。對于策略的演化規(guī)則，我們主要研究了兩種不同的機(jī)制，即模仿機(jī)制和自我反問機(jī)制。§模仿機(jī)制模型在每一回合中參與者將與自己所有的最近的鄰居同時(shí)發(fā)生作用并獲得一個(gè)累積復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第二章博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化性質(zhì)的收益值。相互作用之后，參與者將從自己的最近的鄰居中隨機(jī)地選出一個(gè)鄰居并通過比較兩者的收益值來更新自己的策略。策略的更新概率取決于兩者的收益值之差。為了接近實(shí)際問題，我們把策略的更新概率哆，用費(fèi)米函數(shù)形式來表示，即哼酉（）§自我反問機(jī)制模型在每個(gè)回合中，參與者通過比較此回合的策略與其反策略的表現(xiàn)來確定下一回合的決定（如果這一

30、回合的策略為合作，則其反策略為欺騙，反之亦然）。每個(gè)參與者仍然與自己所有的最近的鄰居同時(shí)發(fā)生作用并取得累積收益值如（）式。相互作用之后，每個(gè)參與者根據(jù)此回合所得的收益值與采取反策略時(shí)所得的虛擬收益值來決定是否改變策略。同樣我們采用費(fèi)米函數(shù)來確定策略更新概率哆的形式，即一雨了的虛擬收益值。（）是此回合中參與者的收益值。圪是在周圍條件不變時(shí)參與者采用反策略所得到在這兩個(gè)模型中，為一個(gè)給定的參數(shù)，相當(dāng)于固體物理中的溫度，它可以用來控制收益值之差（一匕）或（¨一圪）對策略的更新概率哆或哆斗影響的強(qiáng)弱。在極限小時(shí)，當(dāng)形巧時(shí)，哆，；當(dāng)巧時(shí)，哆；當(dāng)形巧時(shí)，哆。這時(shí)更新概率對收益值的差別非常敏感。在

31、丁極限大時(shí)，哆斗，一。收益值的差別對更新概率影響很小。當(dāng)然更有意義的情境為丁處于中間值狀態(tài)，這也是我們要研究的內(nèi)容。§模型與分析為了方便分析，模擬的網(wǎng)絡(luò)是具有周期性結(jié)構(gòu)的二維平面格子，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有東復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第二章博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化性質(zhì)南西北四個(gè)方向的最近的鄰居。此時(shí)我們就不用考慮網(wǎng)絡(luò)的度分布。我們設(shè)置格子的大小為。在演化開始，合作者和欺騙者根據(jù)：的比例來隨機(jī)地填滿整個(gè)網(wǎng)絡(luò)格子。在模擬中，我們采用異步演化，即每一時(shí)刻隨機(jī)地選擇一個(gè)參與者去演化。當(dāng)這個(gè)過程進(jìn)行了次，我們稱其為一個(gè)時(shí)間步。我們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是在經(jīng)過×時(shí)間步后平均時(shí)間步和平均個(gè)不同的初狀態(tài)所得

32、到的。在研究網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化行為時(shí)，合作涌現(xiàn)現(xiàn)象最為關(guān)注的焦點(diǎn)。另外，參與者的收益值也是很值的探討的重要內(nèi)容。圖在模仿機(jī)制下，雪堆博弈模型在二維格子中的演化結(jié)果。在、和時(shí)，系統(tǒng)的合作頻率五隨付出與回報(bào)比值，之間的變化關(guān)系。合作頻率五是理解合作行為的一個(gè)非常重要的物理量，所謂的合作頻率五就是合作者的數(shù)目占總參與者數(shù)目的比例。在圖中，我們給出了模仿機(jī)制下合作頻率五和付出與回報(bào)比值，的關(guān)系。很容易發(fā)現(xiàn)溫度參數(shù)也會(huì)影響系統(tǒng)的合作行為，但是系統(tǒng)在整體上仍然展現(xiàn)出一致的趨勢。這個(gè)結(jié)果也與前人研究的結(jié)果相接近。我們發(fā)現(xiàn)在整個(gè)，范圍內(nèi)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)三個(gè)相，即完全合作的相（五）、完全復(fù)雜月絡(luò)中的博彝演化和統(tǒng)計(jì)行為

33、第章博弈模型在月紹中的演化性質(zhì)欺騙的相（正）和合作欺騙混合的相（和正）。在，較小時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)完全臺(tái)作的相。我們可以從雪堆博弈模型的收益矩陣可咀看出，在，較小時(shí)參與者更傾向于合作。當(dāng)然網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)處于完全合作狀態(tài)的貢獻(xiàn)也是很大的。利用空間結(jié)構(gòu)，合作者可以獲得很高的收益值而形成團(tuán)簇結(jié)構(gòu)來抵御欺騙者的入侵。因此，在較小時(shí)，合作者很容易形成團(tuán)簇結(jié)構(gòu)，欺騙者不能入侵而完全消失。根據(jù)（）式我們知時(shí)網(wǎng)絡(luò)中的荒略分布圖。（）當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)在穩(wěn)志時(shí)網(wǎng)絡(luò)中的策略分布圈。圖中的藍(lán)色的格子為臺(tái)作者（黑白圖片時(shí)為淺色）淺紅色的格子為欺騙者（黑白圖片時(shí)為深色圈模仿機(jī)制，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的網(wǎng)絡(luò)中的策略分布。（鍆當(dāng)和時(shí)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)

34、道，隨著，的增大合作者得到的收益值將減少而逐漸失去競爭優(yōu)勢。形勢對欺騙者也越來越有利了。如圖所示，當(dāng)，增大并超過臨界值時(shí)，欺騙者可以存在于網(wǎng)絡(luò)中形成合作欺騙混合的相。這時(shí)合作者仍然具有團(tuán)簇結(jié)構(gòu)。在團(tuán)簇的邊界上合作者與欺騙者的收益值接近相同。合作者仍然主要依靠團(tuán)簇結(jié)構(gòu)來抵御八侵者如圖（）（）所示。隨著進(jìn)步增大，合作者形成的團(tuán)簇結(jié)構(gòu)也會(huì)越來越小，越來越容易被入侵。當(dāng)增大井超過另一個(gè)臨界值時(shí)較小的團(tuán)簇結(jié)構(gòu)就不能抵御欺騙者的入侵。此刻合作者就不能存在于網(wǎng)絡(luò)中，系統(tǒng)出現(xiàn)完全欺騙的相。從圖中，我們還發(fā)現(xiàn)臨界值和廠都與溫度有關(guān)。我們就進(jìn)一步來分析溫度參數(shù)是如何影響這些臨界值。當(dāng)溫度參數(shù)較小時(shí)，由（）式我們很

35、容易看出更新概率，對收益值之復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第二章博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化性質(zhì)差（形一匕）非常敏感。因此，絕大部分情況下更新概率哆要么為或要么為。在團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的邊界上合作者和欺騙者就會(huì)形成不斷的相互爭奪，這樣的競爭將會(huì)有利于合作欺騙混合的相出現(xiàn)如圖（）。在丁增大時(shí)，更新概率哆斗，對收益值之差敏感程度會(huì)逐漸下降。在團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的邊界上兩種策略的相互爭奪程度會(huì)減弱，這也會(huì)使邊界不容易被對方入侵。因此，溫度越高越能限制混合的相的產(chǎn)生，反之會(huì)促進(jìn)完全合作的相或完全欺騙相的形成如圖（）。當(dāng)很高時(shí)，系統(tǒng)混合的相的范圍會(huì)很狹窄，這與我們模擬的結(jié)果一致。圖自我反問機(jī)制下，在丁、和時(shí)，系統(tǒng)的合作頻率力隨付

36、出與回報(bào)比值，之間的變化關(guān)系。和分別表示在和時(shí)的近似計(jì)算的結(jié)果。在圖中，我們模擬了自我反問機(jī)制下的合作頻率后與付出與回報(bào)比值，之間的變化關(guān)系。與傳統(tǒng)的結(jié)果相比較【，我們發(fā)現(xiàn)雖然在，較小時(shí)不能夠提升合作，但在，較大時(shí)卻能較好地提升合作行為。我們發(fā)現(xiàn)后與，之間表現(xiàn)為單調(diào)關(guān)系，隨著，的增大，五會(huì)逐漸減小。在，的整個(gè)范圍內(nèi)，我們沒有觀察到和尼情況，這與模仿機(jī)制中出現(xiàn)的結(jié)果明顯不同。另外，在丁較大和較小時(shí)層隨，的變化關(guān)系出現(xiàn)了不同的行為。當(dāng)丁增大時(shí)，五所對應(yīng)的，范圍將會(huì)越來越窄。下面我們就具體地分析這些結(jié)果的形成原因。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)平衡態(tài)后，我們知道合作者替代復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第章博弈模型在月絡(luò)

37、中的謫化性質(zhì)欺騙者的數(shù)目將會(huì)等于欺騙者替代合作者的數(shù)目。這樣我們就得到了穩(wěn)忐的平衡方程、（尼；。矗畦。）尼。篙尼厶。尼矗（矗）表示被個(gè)合作者包圍的合作者（欺騙者）的數(shù)目占總參與者的比例。如卵（。）則為被個(gè)合作者包圍的合作者轉(zhuǎn)變?yōu)槠垓_者（欺騙者轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡撸┑母?，圖在自我反問機(jī)制，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的網(wǎng)絡(luò)中的策略分布。（）當(dāng)和，時(shí)，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)網(wǎng)絡(luò)中的策略分布圖。（）當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)網(wǎng)絡(luò)中的策略分布圖。（）當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)阿絡(luò)中的策略分布圖。（）當(dāng)和時(shí)，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)網(wǎng)絡(luò)中的簧略分布圖。圖中淺藍(lán)色的格子為舍作者（黑白圖片時(shí)為淺色）淺紅色的格子為欺騙者（黑白匿片時(shí)為深色復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的博弈演化和統(tǒng)計(jì)行為第二章博弈模型在網(wǎng)絡(luò)中的演化性質(zhì)新概率。因?yàn)楦赂怕示哂匈M(fèi)米函數(shù)形式，則有硝寸吐呻。由此我們進(jìn)一步得至（）式。壹廠，緲上一五（彩上七；廠以）（）從圖中我們很容易觀察到五關(guān)于點(diǎn)（，）具有。旋轉(zhuǎn)對稱性。因此我們可以把分析限制在，范圍內(nèi)。根據(jù)方程（），如果知道各種情況下的，就很容易得到五。因?yàn)椴坏c各種情況下的更新概率有關(guān)，而且還與微觀結(jié)構(gòu)結(jié)合的穩(wěn)定性有關(guān)，所以各種情況下的廠是不容易精確求解的。由（）式可知，在，時(shí)，有更多的合作鄰居的合作者將更容易被欺騙者替代，對于欺騙者而言情況恰好相反。因此，由沒有合作鄰居的合作者和有四個(gè)合