微積分綜合練習題及參考答案

1、(4)設 f(x 1) =x2 -1,則 f(x)二()綜合練習題1 (函數(shù)、極限與連續(xù)部分)1 .填空題(1)函數(shù)f(x)一 的定義域是. 答案：xa2且xh3.In(x -2)Aj(2)函數(shù)f(x)-4 x2的定義域是.答案：(-2,-12(-1,21ln(x 2)(3)函數(shù)f (x 2) = x2 4x 7，貝9 f (x) 口.答案：f(x) = x2+33(4) 若函數(shù) f(x)二 xsin； 1，x ：:0 在 x = 0處連續(xù)，則 k 二.答案：k = 1k,x 蘭0(5) 函數(shù) f (x 一1) =x2 2x，則 f (x)=.答案：f (x) x2 -1(6) 函數(shù)v = -

2、一-的間斷點是.答案：x - -1x+11(7) lim xsin 一二.答案：1X護x(8) 若 lim =2，則 k 二.答案：k =2xT sin kx2. 單項選擇題-x “ x(1) 設函數(shù)v =e -，則該函數(shù)是().2A奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D .既奇又偶函數(shù)答案：B(2) 下列函數(shù)中為奇函數(shù)是().-x J xA. xs inx B . C . In (x1 x2) D . x x22答案：C(3) 函數(shù)v In(x，5)的定義域為().x +4A.x-5B . x-4C . x-5 且 x0 D . x-5 且 x-4答案：DA. x(x +1)B . xC. x

3、(x _2)D . (x+2)(x1)答案：C(5)當 k=()時，函數(shù)f (x)='e2 -9lim 廠x 13 x _2x _3 +2,x = °在x = 0處連續(xù)jk,x = 0A. 0B.1C. 2D .3答案：D“ 2(6) 當k=()時，函數(shù)f(x)=x +1, xhO，在x=o處連續(xù).k, x = 0A. 0B. 1 C . 2D . -1答案：B(7) 函數(shù)f(x) = 2x-x 6x+8 lim x 14 x _5x 4 的間斷點是()x 3x+2A.x =1,=2C. x=1,x=2, x=3D.無間斷點答案：A3. 計算題m2H X1x -3x 2-4解

4、:(2)解:3X2 92x -2-3I”3* 3)x 3 (x -3)(x 1)= IimQx 13 x 12.x -3x 2 (x-2)(x-1)x -11lim 2limlimx 12x -4 x 迄(x 2)(x 2) x 迄 x 24(3)2解:x -6x 8 (x -4)(x -2) lim 2limx)4 x _5x 4J4 (x _4)(x -1)綜合練習題2 (導數(shù)與微分部分)1. 填空題(1) 曲線f(x)x 1在(1,2)點的切斜率是 答案：12(2) 曲線f(x)二ex在(0,1)點的切線方程是 .答案：y =x 1(3) 已知 f(x)=x3 3x，貝寸 f (3)=.

5、答案：f (x) =3x23xln3f (3) =27 (1 In 3)(4) 已知 f(x)=lnx，貝9 f (x) =.答案：f (x)二1 , f (x)=_ xx(5) 若 f(x)二 xe»，貝y(0) =.答案：f (x) - -2e» xe*2. 單項選擇題).A. 2B. 1C. -1D. -2(1)若 f (x) =e"cosx，則 f (0)=(因 f (x) =(e"cosx)'： = (e") cosx e(cosx)所以 f (0) = -e 4(cos0 sin 0) = -1答案：C(2)設 y =lg2

6、 x，貝U dy =).1A.dx B2x答案：B1dxxln 10ln10dxx1.dxx(3)設 y 二 f(x)是可微函數(shù)，則 df(cos2x)二().A . 2f (cos2x)dxBf (cos2x)sin2xd2xC . 2 f (cos2x)sin2xdx D .- f (cos2x)sin 2xd2x答案：D(4)若 f (x)二 sinx - a3，其中 a是常數(shù)，則 f (x)二().cosxA . cosx 3a2 B . sinx 6a C . -sinxD答案：C3. 計算題1(1)設 y = x2ex，求八1 1 “ 1解：y =2xex x2e'(-)二

7、e'(2x-1)x(2)設 y = sin4x cos3 x,求 y .解：y =4cos4x 3cos2x(-sin x)(3)設 y=ex1 2，求 y .x解：12j(x+1 x(4)設 y =x .x In cosx，求 y .1 1解：y =3x2 1(-sin x) =?x2-tanx2 cosx2綜合練習題3 (導數(shù)應用部分)1. 填空題(1) 函數(shù)y=3(x-1)2的單調增加區(qū)間是 .答案：(1：)(2) 函數(shù)f(x)二ax2 1在區(qū)間(0,二)內單調增加，貝V a應滿足答案：a 02. 單項選擇題A.單調增加B.單調減少C.先增后減D .先減后增答案：D(2)滿足方程

8、f(x)=0的點定是函數(shù)y = f (x)的()A.極值點B.最值點 C .駐點D.間斷點(1)函數(shù)y =(x 1)2在區(qū)間(一2,2)是( )答案：C(3) 下列結論中( )不正確.A . f(x)在x =x0處連續(xù)，則一定在x0處可微.B . f (x)在x = x0處不連續(xù)，則一定在x0處不可導.C .可導函數(shù)的極值點一定發(fā)生在其駐點上.D.函數(shù)的極值點一定發(fā)生在不可導點上.答案：B(4) 下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調增加的是().A . sinxx2答案：B3.應用題(以幾何應用為主)(1)欲做一個底為正方形，容積為解：設底邊的邊長為xm高為hmio8m的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。?/p>

9、 容器的表面積為yn2。怎樣做法所用材料最省即容器如何設計可使表面積最小。由已知所以2丄2丄 1082丄432y = x 4xh = x 4x 二 x xx432令=2%-筈=0，解得唯一駐點x=6ox因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以x = 6是函數(shù)的極小值點也是最小值點。故當108x = 6m h 23 m時用料最省.62(2)用鋼板焊接一個容積為4m3底為正方形的開口水箱，已知鋼板的費用為10元/吊，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費用最低？最低總費用是多少?解：設水箱的底邊長為x m,高為h m,表面積為S m2,且有h二飛x 所以 S（x） = x2 4xh =

10、x216,x令 S（x） =0,得 x =2.因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以當x = 2 m,m時水箱的表面積最小此時的費用為 S（2） 1040 =160 （元）（3）欲做一個底為正方形，容積為 32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設底邊的邊長為xm，高為hm,所用材料（容器的表面積）為 yni由已知22322128所以y = x 4xh = x 4x 2 = xxx令y'x-128,，解得唯一駐點x=4。xx=4是函數(shù)的極小值點也是最小值點。故當因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以32x =4m, h = 2 2 m時用料最省.4請結合作業(yè)和復習

11、指導中的題目進行復習綜合練習題4 （一元函數(shù)積分部分）1. 填空題(1) 若f(x)的一個原函數(shù)為Inx2,則f(x)二 .答案：2x(2) 若 f(x)dx 二 sin2x c，貝U f (x).答案：2cos2x(3) 若 Jcosxdx=答案：sin x c(4) .de< =.2答案：e c(5) (sin x) dx =.答案：sin x c(6) 若.f(x)dx =F(x) c,J則.f (2x -3)dx -答案：f(2x _3) c2(7)若 f (x)dx =F(x) c，貝9 xf (1 x2)dx =答案：f(1 x2) c21(8) (sin xcos2x x2

12、 +x)dx =.答案：-3d e 2(9)ln(x1)dx 二dx 1答案：0(10) f e2xdx =.答案：122.單項選擇題(1)下列等式成立的是(A. d f (x)dx 二 f (x)C. f (x)dx = f(x)dx答案：C).B. f (x)dx = f(x)D.df(x)二 f(x)(2)以下等式成立的是(1A.ln xdx = d(-)Bxsin xdx = d(cos x)C. dx =d.x- xx3 dxd3xln 3答案：D(3)xf (x)dx 二()A. xf (x) - f (x) c B.C. 1x2f (x) cD.2xf (x) c(x 1)f (

13、x) c答案：A(4)下列定積分中積分值為 0的是().x1 e e ,dx21(x2 sin x)dxL -itC . (x3 cosx)dx-it答案：A(5)設f(x)是連續(xù)的奇函數(shù),則定積分aL f(x)dx =()-aa0 f (x)dxoD. 2 f(x)dx-a0A. 0 B. f (x)dx C .-a答案：A(6)下列無窮積分收斂的是()B.亠.11.xdxC.D.2xe dxA -heA.0 slnxdx答案：D3計算題(1)(2x -1)10dx解:10(2x-1) dx1 102 (2x-1)如"2211(2x-1) c(2).1 sin/dxx解:dx.1e

14、 xd . x = 2e % csi nd丄二cos】cx x xln 21(216 -125)3In 2 xv 20 e(4 e)dx二ln 2x 2x(4 ex)2d(4 ex)1x、3=(4 - e )3e1 5ln x1=蘇解:e1 5ln x1 .dx (1 5ln x)d(1 5ln x) (1 5ln x) x5 110e17(36 _ 1)=1 1021 J0xexdx解:1exdx = xe0二 e-e=1no2xsinxdx解:02 xsin xdx 二-XCOSx|?J2cosxdx=s inx-0綜合練習題5 (積分應用部分)1.填空題，且曲線過(4,5)，則該曲線的方程(1)已知曲線y = f (x)在任意點x處切線的斜率為是 .答案：y=2.x1 2(2) 由定積分的幾何意義知， a,.a2-x2dx二.答案：三_$04(3) 微分方程y二y, y(0)=1的特解為.答案：y = ex(4) 微分方程 八3y =0的通解為答案：y二ce'x(5)微分方程(y )3 4xy二y7 sinx的階數(shù)為 . 答案：42. 單項選擇題(1)在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(1,4 )的曲線為().(3)微分方程y =0的通解為).2A. y = x + 3B2.y = x + 4C.y