曲線積分的計算

1、曲線積分的計算法曲線積分的計算法曲線積分第一類(對弧長)L第二類(對坐標)定積分(i)選擇積分變量用參數(shù)方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限下小上大下始上終對弧長曲線積分的計算定理設f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), l的參數(shù)方程為r"，(°蘭tP)其中l(wèi)y(t),:(t) (t)在二訂上具有一階連續(xù)導數(shù),且Lf(x,y)ds=(t)(t)2(t) '- 2(t)dt()1. 定積分的下限:一定要小于上限1;2. f(x,y)中x, y不彼此獨立，而是相互有關的特殊情形(1) L : y 二(x) a Ex 空 b.bIL f(x,y)ds = a

2、 fx(x) .1 '- 2(x)dx.(2) L :x ：(y) c 乞 y d.Lf(x,y)d .c f :(y), y d2(y)dy.y _ oCot求I = . xyds L :橢圓丿'(第象限).匚y=bsi nt.HI = ；acost bsint.(asint)2 (bcost)2dt=ab 02 si nt cost VasinbDostdtab a:=a2 f b u du (令u =、a2sin21 b2 cos21)2 2ab(a ab b )-3(a +b)求 I = l yds,解 I = ：y 1 (；)2dy =0-其中 L:y2 =4x,從(

3、1,2)到(1,-2)一段.20求 I = . xyzds, 其中】：x=acosv, y 二 asi n v, z =宀的一段.(0_二 _2二)a2cos)sin J kv . a2 k2d 十宀2 k2.求 I = x2ds,L 2亠 2亠 22其中卩為圓周/ y z =a(X + y + z = 0.解由對稱性,知.X2ds 二.y2ds 二.z2ds.故 I = 1 (x2y2 z2)ds2：a3(2-b= ds,球面大圓周長)對坐標的曲線積分的計算設P(x, y),Q(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)丄的參數(shù)方程為丿X二，當參數(shù)t單調(diào)地由口變 y =屮，到時，點M (x, y)從

4、L的起點A沿L運動到終點B,(t) (t)在以：及為端點的閉區(qū)間上具有一階連 續(xù)導數(shù),且2(t)W2(t) =0,則曲線積分LP(x, y)dx Q(x,y)dy存在,且 l P(x,y)dx Q(x, y)dy二P(t)卩(t) Q(t)(t)F (t)dt a特殊情形(1) L : y =y(x)x起點為a，終點為b.b貝V Pdx Qdy Px, y(x) Qx, y(x) y (x)dx.L“a(2) L :x = x(y)y起點為c,終點為d.d則 L Pdx +Qdy = C Px(y), yx (y) +Qx( y), ydy.例5計算.L(2a-y)dx xdy,其中L為擺線x

5、yycost)上對應t從0至U 2 提示：(2a -y)dx xdy =a(1 cost) a(1 -cost)dta(t -sint),的一段弧.a(t -sint) asintdt2-a tsintdt22 n原式 =a 2 t sin td t0二 a2一 t cost 一 sint 丨："2 na2例6計算.xyzdz其中】由平面y = z 截球面x2 y2 z2邛所得,從z軸正向看沿逆時針方向提示：因在-上有x2 2y2 ",故X = costy =2sint ( 0 蘭 t 乞 2 n)原式=12 cos21 si n2tdt2P2 0n142 cos21 (1

6、 - cos2 t)d t2 2 0n 32422 n16曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)、'第二類(對坐標)匚轉(zhuǎn)化二重積分(1) 選擇積分變量 一代入曲面方程一r第一類：始終非負(2) 積分元素投影:第二類:有向投影(3) 確定二重積分域把曲面積分域投影到相關坐標面對面積的曲面積分的計算法定理：設有光滑曲面1： z =z(x,y), (x, y) Dxyf (x, y, Z在a上連續(xù)，則曲面積分"(xyzgs存在,且有 口0(人 y,Z)dS f f (xzdy): 2 21 Zx (x,y) Zy (x, y)dxdy例 7 計算.(xy z ) ds

7、 ,其中匕為y22平面 y z =5被柱面 xy25 所截得的部分.解 積分曲面 1 : z二5 一 y ,牛 投影域：Dxy = ( x, y) | x2 y2 豈 25 dS = 1 z<2 z/dxdy二 J 0(-1)2dxdy= 2dxdy=：2 (5 x)dxdyDxy= 125 , 2二.故 11 (x y z)ds=一 2 11 (x y 5 - y)dxdyD xy2 二.5 = <2 0 d日 0 (5+r cos°)rdr對坐標的曲面積分計算：一投、二代、三定號例8.計算曲面積分 T/yzdxdy,其中'為球面 X2卄y2+z2=1夕卜側(cè)在第一和第五卦限部分. 解：把a分為上下兩部分二；：z 二 1 x2 _ y2V 2: H-x-y2(X, y) Dxyx? yJ 1x - 0, y - 0zdxd yx y z d x d y 亠！! xyzdxdy-1=2 I I xy 1 _x? y? dxdyDxy=2 r2sin)cosv.1-r2 r d rd 71L L D xy2sin2r d r 0 r ： 1 -r2 d r0 0 i i(zx)dydz二 (z x)cos ds=(z2 x) cos - dxdy 在曲面二上,有 cosx計_1cos =, cos (1 +x2 +y2訓+x2 +y22ii(z x)d