電動力學-靜電場答案詳解

1、實用標準文案精彩文檔班級：-學號:姓名：-成績:第1章靜電場1.證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷體密度， 總等于自由電荷體密度 Q/的-(1-)倍。Dp = -V P二-V -(E) = -P ( (-%)EPP=-U(二)叨=-(-%”8 8編號:實用標準文案精彩文檔2.有一內(nèi)外半徑分別為心和心的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì) 內(nèi)均勻帶靜止自由電荷Qf ,求(1 )空間各點的電場；(2 )極化體電荷?口極化面電荷分布。解1)由電荷分布的對稱性可知：電場分布也是對稱的。電場方向沿徑向故：廠 V 兒時E(r)E(r) = = v v-dV-dV = =0或E(E( r r) ) = = 0 0勺

2、frrfrrrr2 2的球形外：4 4 加遼（廠丿=丄尢4勺比7D(r)D(r) = = p p 7trdr7trdrE(r)E(r) = =實用標準文案精彩文檔式中 = r寫在一起o(rr(rr ) )E=l-()E=l-()3 3rr(r(r rrrD2n =Dn（E2 E El l）=O,n-=O,n-（D D2 2- -Di）=（yf）若兩種介質(zhì)都是線性均勻的，即9 =勺E,E, , , D D2 2= =2E E2 2；上邊兩式為:E2sisi” 0 02 2- - E E、sinsin, 2E2coscos 0 02 2= =1E1coscos于是得：tan0 02 2s s1 1

3、tan習實用標準文案精彩文檔4.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導體的分界面上,在靜電情況下，導體實用標準文案精彩文檔外的電場線總是垂直于導體表面。證明：設(shè)介質(zhì)1為導體，介質(zhì)2為絕緣體。靜電情況下：E, =0,0=0由邊值關(guān)系：HX(E(E2 2-E-E ) ) = =0,H(D2-DJ=DJ= a af f可得:E Eltlt= = E Ey y,D,D2n2n-D-Dlnln= = crcrf fBD ,E E2t2t= = 0 0 , , D D2n2n= = j j對于各向同性線性介質(zhì)=所以，E E = = nn 即導體外的電場線垂直于導體表面實用標準文案精彩文檔5.如圖1 ,有一厚度為

4、2d,電荷密度為。的均勻帶電無限大平板，試用分 離變量法求空間電勢的分布。解：以O(shè)原點建立如圖坐標系，為根據(jù)問題的對稱性,電勢分布僅與x有關(guān)，即一維問題。容易寫出定解問題:(xa)(xa)(xa)加二畝dxdx dxdx實用標準文案精彩文檔直接求解得實用標準文案精彩文檔6.內(nèi)半徑G， 外半徑為b的兩個同匕導體球殼， 令內(nèi)球接地， 外球帶電量Q ,試用分離變量法求空間電勢分布。解根據(jù)球?qū)ΨQ性,空間電勢分布0僅與r有關(guān),定結(jié)問題為:g 時0嚴02心-普心 Q Q求解得=0(ar(ar b)b)rb)實用標準文案精彩文檔7.均勻外電場中，置入半徑為的導體球。求以下兩種情況的電勢分布。(1)導體球上接

5、有電池，使球保持電勢為； ( 2 )導體球上帶有總電荷Q Q 解建立球坐標系極軸方向為均勻電場方向，可知電勢分布具有軸對稱性，即 電勢僅與r有關(guān)1)卩的定解問題為如=0(rRJ(rRJ也廣o(p(pr r=-E=-EQ Qrcos0rcos0 +(p+(pQ Q實用標準文案精彩文檔此時久是導體球放入前,通過坐標原點的等勢面的電勢，用分離變量法解為實用標準文案精彩文檔（p=%-Ejcosp=%-Ejcosg +（o _ %丿傀 + ER：cos 0r r廠2）卩的定解問題為%=0胡廣。（待定丿岸 R R。dtl心類似解為QE E 尺 coscos。0= 00 -E EQ QrcorcoS S0+

6、-0+-+ +4or廠8.介電常數(shù)為的無限均勻介質(zhì)中，挖一個半徑為d的空球，球心處置一電矩為PfPf的自由偶極子，試求空間電勢分布。實用標準文案精彩文檔解如圖建立球坐標系,Pf的方向為極軸方向,0的定解問題為”， 1(ra)(ra)00 a)(ra)0訃.*=0注意到泊松方程 ft 軍的性質(zhì)及電勢分布具有軸對稱性，卩可寫為:乞AF + BJTZ比(COS&)(COS&)/?=0第二項為極化電荷激發(fā)的勢，該項在球心應為有限值，故B Bn n=0=0解的電勢分布_ _ PfPf (W_Wo)Pf1(W_Wo)Pf1 J J4吧廠32 2 庇 o(2o(2 + +竊府二3Pf3Pf

7、F F 47r(47r(2W+)r)r3 3r=a時， =(p=(pe e普=drdrdrdrp pf fcosOcosO4 4 亦。孑(0r(0r a)a)(ra)實用標準文案精彩文檔9.半徑為R的均勻介質(zhì)球中心置一自由偶板子 PfPf,球外充滿另一種介質(zhì), 求空間各點的電勢和極化電荷分布（介質(zhì)球介電常數(shù)為 ,球外為勺X解：求解與上題類似，只需竊 T 勺疋 T 5彳曰。PfPfr r, ,-s-s2 2）p pf fr r牙14碼”4亦（勺+ :弓）尺，廠勿（；?2：2尸凡）極化電荷分布，在介質(zhì)球內(nèi)幾=-（1-/ 因此在球心處有一極化電偶極矩P= 1包p pf f, ,I 丿在廣=他的界面上

8、，由 J =一（卩2 -刃）/P = GW。得3勺 （勺一兮） /coscos0 02碼（ + 22）尺實用標準文案10-兩個接地的無限大導電平面，其夾角為60。，點電荷!2位于這個兩面角的平面上， 并與棱邊 （兩面角之交線） 相距為Q。 試用電像法求真空中的電勢。解：考慮到兩個無限大導電平面是接地的，且點電荷Q Q位于雙面角的平分線實用標準文案實用標準文案精彩文檔平面的電勢為零,應在Q關(guān)于ON對稱的位置3處有一像電荷-Q(2)考慮半面ON ,同樣為了滿足電勢為零的要求，對于&3處兩個點電 荷+Q和-Q,應在4 3關(guān)于ON對稱的位置CQ 處有兩個-Q、+Q,(3)再考慮ON半平面，對于

9、CQ 處的-Q和+Q,應在F處有兩個像 電荷+Q和-Q才能使導體ONON的電勢為零。可以證明E E、F處的兩個點電荷+Q和-Q關(guān)于ON平面對稱， 因而可滿足ON平面的電勢為零,這樣找出了5個像電荷，加上原來給定的點電荷，能夠使 角域內(nèi)的場方程和邊界條件得到滿足，所以角域內(nèi)任一點P P處的電勢可表為)=-Lfe_e+e_e+e_e4碼5 E心 丿其中人,山分別為給定電荷Q及其像電荷到P點的距離。在其余空間的電勢為0 = 0。實用標準文案精彩文檔11.接地空心導體球，內(nèi)外半徑為&和R R2 2. .球內(nèi)離球心。處(a v &)置一實用標準文案精彩文檔點電荷Q，試用電像法求空間電勢分

10、布。導體上感應電荷分布在內(nèi)表面還是 外表面？其量為多少？若導體球殼不接地而是帶電量Q。，則電勢分布又如 何？若導體球殼具有確定的電勢久，電勢分布如何？ 解：根據(jù)題意設(shè)球內(nèi)區(qū)域電勢為,球外區(qū)域電勢為例，vViy,z）V2?2= 0，其中廠=(R(R2 2+a+a2 2- - IRacosIRacos&嚴,r r= =(R(R2 2+b+b2 2- - IRbcosIRbcos&嚴 由邊界條件k=& = oQ Q2 2RR +b-2Rbcos+b-2Rbcos 0=0= Q Q2 2(R(R + + a a2 2-2R,acos-2R,acos 0)0)Q*RQ*R； +

11、+ b b2 2)-)- Q Q2 2(R(R；+ 戻)=2R (/b _Q Q2 2a)cosa)cos 0 0要使上式對任意0成立，必有妙倨+刊_02尿+戸）=02尺（0鉛一02=0BQRR2Rl設(shè)像電荷位置如圖所示Z 01P 04 4 庇 o o1f實用標準文案精彩文檔/./. b b1 1-a-a1 1+ += 0a aR2解得A =a=a舍去）a aR RR R代入（T,得Q Q2 2= = -Q-Q a aa aQ=-QQ=-QClCleQRJQRJ a a| 1 0 + 0o（7?2+a+a2 2- - IRacosIRacos 00R R2 2+ （/?：/_2R2R（RjRj

12、 / / a a）coscos伽 若使有確定皆且兩種情況有相同解皆右譽Q_ _QRJciQRJciylRylR2 2+a+a2 2-2Racos0-2Racos0 I I” R R； 2R2R：R R - -由邊界條件冇學 -學 =-（Jdndn onon總感應電荷0感應=Jy 0寸，p p= -V2 0= 0 ,rr ) )廠va時，p p = =-V2(-qrqr/ 2d)V J): : P P = =實用標準文案精彩文檔15.在一點電荷q q的電場中，距離它為d d的地方有一偶極子，其電矩p p = = qlql , ,求在下列兩種情況下，此電矩所受的力F和力矩L :(1)偶極子的電矩沿點電荷電場的方向；實