電動(dòng)力學(xué)-靜電場(chǎng)答案詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔班級(jí)：-學(xué)號(hào):姓名：-成績(jī):第1章靜電場(chǎng)1.證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷體密度， 總等于自由電荷體密度 Q/的-(1-)倍。Dp = -V P二-V -(E) = -P ( (-%)EPP=-U(二)叨=-(-%”8 8編號(hào):實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔2.有一內(nèi)外半徑分別為心和心的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì) 內(nèi)均勻帶靜止自由電荷Qf ,求(1 )空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；(2 )極化體電荷?口極化面電荷分布。解1)由電荷分布的對(duì)稱性可知：電場(chǎng)分布也是對(duì)稱的。電場(chǎng)方向沿徑向故：廠 V 兒時(shí)E(r)E(r) = = v v-dV-dV = =0或E(E( r r) ) = = 0 0勺

2、frrfrrrr2 2的球形外：4 4 加遼（廠丿=丄尢4勺比7D(r)D(r) = = p p 7trdr7trdrE(r)E(r) = =實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔式中 = r寫(xiě)在一起o(rr(rr ) )E=l-()E=l-()3 3rr(r(r rrrD2n =Dn（E2 E El l）=O,n-=O,n-（D D2 2- -Di）=（yf）若兩種介質(zhì)都是線性均勻的，即9 =勺E,E, , , D D2 2= =2E E2 2；上邊兩式為:E2sisi” 0 02 2- - E E、sinsin, 2E2coscos 0 02 2= =1E1coscos于是得：tan0 02 2s s1 1

3、tan習(xí)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔4.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上,在靜電情況下，導(dǎo)體實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面。證明：設(shè)介質(zhì)1為導(dǎo)體，介質(zhì)2為絕緣體。靜電情況下：E, =0,0=0由邊值關(guān)系：HX(E(E2 2-E-E ) ) = =0,H(D2-DJ=DJ= a af f可得:E Eltlt= = E Ey y,D,D2n2n-D-Dlnln= = crcrf fBD ,E E2t2t= = 0 0 , , D D2n2n= = j j對(duì)于各向同性線性介質(zhì)=所以，E E = = nn 即導(dǎo)體外的電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體表面實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔5.如圖1 ,有一厚度為

4、2d,電荷密度為。的均勻帶電無(wú)限大平板，試用分 離變量法求空間電勢(shì)的分布。解：以O(shè)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，為根據(jù)問(wèn)題的對(duì)稱性,電勢(shì)分布僅與x有關(guān)，即一維問(wèn)題。容易寫(xiě)出定解問(wèn)題:(xa)(xa)(xa)加二畝dxdx dxdx實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔直接求解得實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔6.內(nèi)半徑G， 外半徑為b的兩個(gè)同匕導(dǎo)體球殼， 令內(nèi)球接地， 外球帶電量Q ,試用分離變量法求空間電勢(shì)分布。解根據(jù)球?qū)ΨQ性,空間電勢(shì)分布0僅與r有關(guān),定結(jié)問(wèn)題為:g 時(shí)0嚴(yán)02心-普心 Q Q求解得=0(ar(ar b)b)rb)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔7.均勻外電場(chǎng)中，置入半徑為的導(dǎo)體球。求以下兩種情況的電勢(shì)分布。(1)導(dǎo)體球上接

5、有電池，使球保持電勢(shì)為； ( 2 )導(dǎo)體球上帶有總電荷Q Q 解建立球坐標(biāo)系極軸方向?yàn)榫鶆螂妶?chǎng)方向，可知電勢(shì)分布具有軸對(duì)稱性，即 電勢(shì)僅與r有關(guān)1)卩的定解問(wèn)題為如=0(rRJ(rRJ也廣o(p(pr r=-E=-EQ Qrcos0rcos0 +(p+(pQ Q實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔此時(shí)久是導(dǎo)體球放入前,通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的等勢(shì)面的電勢(shì)，用分離變量法解為實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔（p=%-Ejcosp=%-Ejcosg +（o _ %丿傀 + ER：cos 0r r廠2）卩的定解問(wèn)題為%=0胡廣。（待定丿岸 R R。dtl心類(lèi)似解為QE E 尺 coscos。0= 00 -E EQ QrcorcoS S0+

6、-0+-+ +4or廠8.介電常數(shù)為的無(wú)限均勻介質(zhì)中，挖一個(gè)半徑為d的空球，球心處置一電矩為PfPf的自由偶極子，試求空間電勢(shì)分布。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔解如圖建立球坐標(biāo)系,Pf的方向?yàn)闃O軸方向,0的定解問(wèn)題為”， 1(ra)(ra)00 a)(ra)0訃.*=0注意到泊松方程 ft 軍的性質(zhì)及電勢(shì)分布具有軸對(duì)稱性，卩可寫(xiě)為:乞AF + BJTZ比(COS&)(COS&)/?=0第二項(xiàng)為極化電荷激發(fā)的勢(shì)，該項(xiàng)在球心應(yīng)為有限值，故B Bn n=0=0解的電勢(shì)分布_ _ PfPf (W_Wo)Pf1(W_Wo)Pf1 J J4吧廠32 2 庇 o(2o(2 + +竊府二3Pf3Pf

7、F F 47r(47r(2W+)r)r3 3r=a時(shí)， =(p=(pe e普=drdrdrdrp pf fcosOcosO4 4 亦。孑(0r(0r a)a)(ra)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔9.半徑為R的均勻介質(zhì)球中心置一自由偶板子 PfPf,球外充滿另一種介質(zhì), 求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布（介質(zhì)球介電常數(shù)為 ,球外為勺X解：求解與上題類(lèi)似，只需竊 T 勺疋 T 5彳曰。PfPfr r, ,-s-s2 2）p pf fr r牙14碼”4亦（勺+ :弓）尺，廠勿（；?2：2尸凡）極化電荷分布，在介質(zhì)球內(nèi)幾=-（1-/ 因此在球心處有一極化電偶極矩P= 1包p pf f, ,I 丿在廣=他的界面上

8、，由 J =一（卩2 -刃）/P = GW。得3勺 （勺一兮） /coscos0 02碼（ + 22）尺實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案10-兩個(gè)接地的無(wú)限大導(dǎo)電平面，其夾角為60。，點(diǎn)電荷!2位于這個(gè)兩面角的平面上， 并與棱邊 （兩面角之交線） 相距為Q。 試用電像法求真空中的電勢(shì)。解：考慮到兩個(gè)無(wú)限大導(dǎo)電平面是接地的，且點(diǎn)電荷Q Q位于雙面角的平分線實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔平面的電勢(shì)為零,應(yīng)在Q關(guān)于ON對(duì)稱的位置3處有一像電荷-Q(2)考慮半面ON ,同樣為了滿足電勢(shì)為零的要求，對(duì)于&3處兩個(gè)點(diǎn)電 荷+Q和-Q,應(yīng)在4 3關(guān)于ON對(duì)稱的位置CQ 處有兩個(gè)-Q、+Q,(3)再考慮ON半平面，對(duì)于

9、CQ 處的-Q和+Q,應(yīng)在F處有兩個(gè)像 電荷+Q和-Q才能使導(dǎo)體ONON的電勢(shì)為零?？梢宰C明E E、F處的兩個(gè)點(diǎn)電荷+Q和-Q關(guān)于ON平面對(duì)稱， 因而可滿足ON平面的電勢(shì)為零,這樣找出了5個(gè)像電荷，加上原來(lái)給定的點(diǎn)電荷，能夠使 角域內(nèi)的場(chǎng)方程和邊界條件得到滿足，所以角域內(nèi)任一點(diǎn)P P處的電勢(shì)可表為)=-Lfe_e+e_e+e_e4碼5 E心 丿其中人,山分別為給定電荷Q及其像電荷到P點(diǎn)的距離。在其余空間的電勢(shì)為0 = 0。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔11.接地空心導(dǎo)體球，內(nèi)外半徑為&和R R2 2. .球內(nèi)離球心。處(a v &)置一實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔點(diǎn)電荷Q，試用電像法求空間電勢(shì)分

10、布。導(dǎo)體上感應(yīng)電荷分布在內(nèi)表面還是 外表面？其量為多少？若導(dǎo)體球殼不接地而是帶電量Q。，則電勢(shì)分布又如 何？若導(dǎo)體球殼具有確定的電勢(shì)久，電勢(shì)分布如何？ 解：根據(jù)題意設(shè)球內(nèi)區(qū)域電勢(shì)為,球外區(qū)域電勢(shì)為例，vViy,z）V2?2= 0，其中廠=(R(R2 2+a+a2 2- - IRacosIRacos&嚴(yán),r r= =(R(R2 2+b+b2 2- - IRbcosIRbcos&嚴(yán) 由邊界條件k=& = oQ Q2 2RR +b-2Rbcos+b-2Rbcos 0=0= Q Q2 2(R(R + + a a2 2-2R,acos-2R,acos 0)0)Q*RQ*R； +

11、+ b b2 2)-)- Q Q2 2(R(R；+ 戻)=2R (/b _Q Q2 2a)cosa)cos 0 0要使上式對(duì)任意0成立，必有妙倨+刊_02尿+戸）=02尺（0鉛一02=0BQRR2Rl設(shè)像電荷位置如圖所示Z 01P 04 4 庇 o o1f實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔/./. b b1 1-a-a1 1+ += 0a aR2解得A =a=a舍去）a aR RR R代入（T,得Q Q2 2= = -Q-Q a aa aQ=-QQ=-QClCleQRJQRJ a a| 1 0 + 0o（7?2+a+a2 2- - IRacosIRacos 00R R2 2+ （/?：/_2R2R（RjRj

12、 / / a a）coscos伽 若使有確定皆且兩種情況有相同解皆右譽(yù)Q_ _QRJciQRJciylRylR2 2+a+a2 2-2Racos0-2Racos0 I I” R R； 2R2R：R R - -由邊界條件冇學(xué) -學(xué) =-（Jdndn onon總感應(yīng)電荷0感應(yīng)=Jy 0寸，p p= -V2 0= 0 ,rr ) )廠va時(shí)，p p = =-V2(-qrqr/ 2d)V J): : P P = =實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔15.在一點(diǎn)電荷q q的電場(chǎng)中，距離它為d d的地方有一偶極子，其電矩p p = = qlql , ,求在下列兩種情況下，此電矩所受的力F和力矩L :(1)偶極子的電矩沿點(diǎn)電荷電場(chǎng)的方向；實(shí)