14橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2. 2. 1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與技能：1掌握橢圓的定義；2掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；3能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（二）過程與方法：1. 通過對(duì)橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；2通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，提高學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神和滲透辯證唯物主義的方法論和認(rèn)識(shí)論.二、教學(xué)重

2、難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法和定義法求曲線方程.難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo).三、教學(xué)過程：（一）設(shè)置情景，引出課題1. 問題：2013年6月11日17時(shí)38分，“神舟十號(hào)”載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將 3名航天員送入太空。標(biāo)志著中國(guó)天 地往返運(yùn)輸系統(tǒng)首次應(yīng)用性太空飛行拉開序幕，標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階，請(qǐng)問：“神州十號(hào)”飛船的運(yùn)行軌道是什么？多媒體展示“神州十號(hào)”運(yùn)行軌道圖片和視頻.請(qǐng)學(xué)生列舉生活中橢圓的例子 .2. 手工操作演示橢圓的形成：取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的FF2兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離時(shí)，用鉛筆

3、把繩子拉近，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓 *分析：（1）軌跡上的點(diǎn)是怎么來的？（2）在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，什么是不變的？（二）自學(xué)導(dǎo)案(三) 解決自學(xué)導(dǎo)案(四) 例題精析例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(一4, 0), (4, 0)，橢圓上一點(diǎn) P到兩焦點(diǎn)的距離的和 等于10；35(2) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0, - 2), (0, 2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(一-,-);焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)AC，3 , - 2)和B( 2 .一 3 , 1)a、22xy2兀=1(a > b > 0)ab分析：根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置，后設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

4、方程，求出橢圓中的 b即可若判斷不出焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，可采用標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式.解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在 x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為c= 4T 2a= 10 , 2c = 8， a= 5, b2= a2 c2 = 52 42= 9所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為72y 一 x=1.259因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在 y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為72y -x3 +2,2ab1(a> b > 0)由橢圓的定義知,2a=YV + (|+2)2+j(-|)2+(2)23 1-3 10'、102=2 10又 c= 2,.b2= a2 c2= 10 4= 62 2所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng) = 1.10

5、6解法一：若焦點(diǎn)在 x軸上，設(shè)所求橢圓方程為22y - x22 = 1(a > b> 0)a b由A( .3 , 2)和 B( 2 3 , 1)兩點(diǎn)在橢圓上可得:a2 =15b2 =5若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求橢圓方程為y-2a2xn 2 = 1(a > b > 0)，同上可解得b2-2ab2=5，不合題意，舍去.-15愆=1 ab 解之得丿1(島3)2 丄 1212 2 二1I a b2 2 故所求的橢圓方程為-仝=1.55解法二：設(shè)所求橢圓方程為mx2 + ny2= 1, (m> 0, n>0且m n).由A( , 3 , - 2)和 B(- 2 . 3 ,

6、 1)兩點(diǎn)在橢圓上可得f- 22m (阿3)2 + n (-2)2=1:m ( -2 .3)2 n 12 h剛3m+4n =1即丿12m + n =11m = 解得 15I 1n = _52 2故所求的橢圓方程為 x . y = 1 .155評(píng)注：(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先應(yīng)明確橢圓的焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法求a、b.2 2第(3)小題中的橢圓是存在且惟一的，為計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)其方程為 mx + ny=1(m> 0, n>0)，不必考慮焦點(diǎn)位置，直接可求得方程.想一想，為什么？例2已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC| = 6,且厶ABC的周長(zhǎng)等于16,求頂點(diǎn)A的軌 跡方程.分析：在解析

7、幾何里，求符合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程， 要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 為 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，常常需要畫出草圖.如圖 8 1 1所示，由 ABC的周長(zhǎng)等 于16, |BC|= 6可知，點(diǎn)A到B、C兩點(diǎn)的距離的和是常數(shù)，即 |AB|+ |AC|= 16 6= 10，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫出草圖.圖 81一1解：如圖8 1 1所示，建立坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過點(diǎn)B、C,原點(diǎn)O與BC的中點(diǎn)重合.由已知 |AB|+ |AC|+|BC|= 16, |BC|= 6，有 |AB|+ |AC|= 10,即點(diǎn) A 的軌跡是 以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且 2c= 6, 2a = 10,c = 3

8、, a= 5, b2= 52 32= 16 .由于點(diǎn)A在直線BC上時(shí)，即y= 0時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，2 2所以點(diǎn)A的軌跡方程是 = 1(yM 0).2516評(píng)注：橢圓的定義在解題中有著廣泛的應(yīng)用另外，求出曲線的方程后，要 檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意，如果有不符合題意的點(diǎn)，應(yīng)在方程 后注明，常用限制條件來注明.例3 動(dòng)圓與已知圓 01： (x+ 3)2 + y2= 1外切，與圓 02： (x 3)2 + y2= 81內(nèi)切， 試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.分析：兩圓相切時(shí)，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，可以找到動(dòng)圓圓心滿足 的條件.解：兩定圓的圓心和半徑分別為。1( 3, 0

9、), r1= 1； 02(3, 0), r2= 9設(shè)動(dòng)圓圓心為 M(x, y),半徑為 R,則由題設(shè)條件可得|MO1|= 1 + R, |MO2| =9 R|MO1|+ |MO2|= 10.由橢圓的定義知：M在以。1、。2為焦點(diǎn)的橢圓上，且 a = 5, c= 3.- b2= a2 c2 = 25 9= 162 2故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 L =1.2516評(píng)注：正確地利用兩圓內(nèi)切、外切的條件，合理地消去變量R,運(yùn)用橢圓定義是解決本題的關(guān)鍵，這種求軌跡方程的方法叫做定義法.2 2例4已知P是橢圓X . y = i上的一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，且/ FiPF2= 30°,25 i6求厶

10、PF1F2的面積.1分析：如圖8 1 2所示，已知/ P= 30°，要求 PF1F2的面積，如用2 IF1F2I |yp|.一 1因?yàn)榍驪點(diǎn)坐標(biāo)較繁，所以用 S=|PFi| - |PF2| - sin30°較好，為此必須先求出|PFi| - |PF2|，從結(jié)構(gòu)形式可看出用余弦定理可得出夾30。角的兩邊的乘積.9圖 81 2I2 2解：由方程-/ = i,得a= 5, b= 4,25 i6二 c = 3,. |FiF2|= 2c= 6|PFi|+ |PF2|= 2a = i0/ FiPF2= 30° .在厶 FiPF2 中，由余弦定理得 |FiF2|2=|PFi|2

11、+ IPF2I2 2|PFi| |PF2| cos30° 即 62= |PFi|2+ 2|PFi|. |PF2|+ |PF2|2 2|PFi| - |PF2| 3 - |PFi| - |PF2|(2 +、.3)|PFi| |PF2|= (|PFi |+ |PF2|)2 36= iOO 36= 64,64- |PFi|- |PF2|= = 64(2 .3)2 +J31 1 1 S左門=|PFi| - |PF2| - sin30°=? 64(2 . 3 ) -= 16(2 . 3).評(píng)注：在解答解析幾何的習(xí)題中要善于根據(jù)曲線和圖形的性質(zhì)，用平面幾何 的知識(shí)加以解答，本題用余弦定

12、理和橢圓的定義，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算，達(dá)到化繁為 簡(jiǎn)的目的.例5橢圓ax2 + by2= 1與直線x+ y= 1相交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|= 2 、. 2 .且PQ的中點(diǎn)C與橢圓中心連線的斜率為求橢圓方程.a、b之值即可.解:廣 22ax +byx + y =1分析：該題是求橢圓方程，即利用題設(shè)中的兩個(gè)獨(dú)立條件，求出二 1得(a+ b)x2 2bx+ b 1= 0設(shè) P(X1, y1), Q(X2, y2)，則2bb 1X1+ X2=, XrX2 =a +ba +b- |PQ= 1 12 (為X2)2 匚4x1X2 = . 2 ( 2b )2 一4 b"Y a + b a + b2 2.

13、 a b - ab _ 2 2 a +b . a b - ab = a+ b 又PQ的中點(diǎn)C(- , 1)，即C( , )a b a ba b a ba koc=導(dǎo)耳二b b 2a b1J2由得a = , b =3 3所求橢圓方程為上紅=1.3 3評(píng)注：本題是一個(gè)小型綜合題，此類問題一般先將兩個(gè)獨(dú)立的條件都用待定 系數(shù)a, b表示出來，再聯(lián)立解方程組，可得所求橢圓方程.例6中心在原點(diǎn)的橢圓 C的一個(gè)焦點(diǎn)是F(0, , 50),又這個(gè)橢圓被直線I: y=3x 2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1 、，求該橢圓方程.2策略：本題中涉及到弦的中點(diǎn)及弦所在直線的斜率，故可采用“平方差法”2 2解：據(jù)題意，此橢

14、圓為焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓，設(shè)其方程為爲(wèi)X2a b=1（a> b>0）設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)分別為A（X!, y“, B（X2, 丫2）,則有:2 2y1x1a2b2- =12, 2ab兩式相減得：(yi *2)0 72)(I X2)(XX2)= 0a2b2.% -y2 _ a2(Xi X2)% X2-b2(yi y2)2 a x 1o o即 3 =石一a = 3b -b 疋（_1）又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為 f（o, J50） c= J50則 a2 b2= 50由解得：a2= 75, b2= 252 2該橢圓方程為 = 1.X的一元二次方程,7525評(píng)注：此題也可以把直線方程與橢圓方

15、程聯(lián)立后，得到利用X1+ X2= 1來求，但過程較繁，利用平方差法簡(jiǎn)便易行.課堂練習(xí)1. 如果方程X2 + ky2= 2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù) k的取值范圍是 _2 22. 已知橢圓-=1, F1、F2分別為它的兩焦點(diǎn)，過 F1的直線交橢圓于 C、259D，則 F2CD的周長(zhǎng)為2 23. 橢圓X 匚=1的一個(gè)焦點(diǎn)為 F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段 PF1的中點(diǎn)M123在y軸上，那么點(diǎn) M的縱坐標(biāo)是 2 24設(shè)橢圓X y = 1的兩焦點(diǎn)分別是Fi和F2, P為橢圓上一點(diǎn)，并且 PF!±4520PF2,則 |PFi|PF2|等于2 25.點(diǎn)P是橢圓=1上一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2是其焦點(diǎn)，且/ FiPF2= 60 ，則10064 F1PF2的面積為.7. ABC的兩頂點(diǎn) B( 8, 0), C(8, 0), AC邊上的中線 BM與AB邊上的中線CN的長(zhǎng)度之和為30,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為.8. F1、F2為定點(diǎn)，|F1F2|= 6,動(dòng)點(diǎn) M滿足|MF1|+ |MF2| = 6,則 M點(diǎn)的軌跡 是.349 .以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)P(, 4)和Q( , 3)，則此橢圓的55方程是.2 210.在橢圓X y = 1內(nèi)，過點(diǎn)(2, 1)且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程164是.". ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 B(0, 6)和C(0, 6)，另兩邊AB、A