§162幾種特殊的平行四邊形

1、§16. 2 幾種特殊的平行四邊形1.矩形情境體驗(yàn)探索發(fā)現(xiàn)XX 姿樣做購貿(mào) 工人師傅做鋁合金窗框分下而三個(gè)步驟進(jìn)行：3（盒建?窗今（1）先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖16. 2. 1），使 AB = CD, EF=GH：（2）擺放成如圖的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是:（3）將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角（如圖），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí)（如圖），說明窗框合格，這時(shí)窗框是形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是：;（4）當(dāng)身邊沒有直角尺而只有帶有刻度的直尺時(shí)，你能檢驗(yàn)窗框是否合格嗎？E=FiHAt - J B d -學(xué)會(huì)思考：工人師傅先根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊

2、形是平行四邊形，將 鋁合金窗框擺成平行的四邊形；再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形， 調(diào)整窗框的邊框，使宜角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙.當(dāng)沒有宜角尺的時(shí)候， 可以根據(jù)兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，用帶有刻度的直尺測(cè)疑兩對(duì)角 線的長(zhǎng)度是否相等.知識(shí)提煉疑難解讀1. 矩形的定義及特征：(1) 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形(rectangle)，它也 叫長(zhǎng)方形.(2) 矩形的特征：從邊看：矩形的對(duì)邊平行且相等：從角看：矩形的四個(gè)角都是直角：從對(duì)角線看：矩形的對(duì)角線相等且互相平分：矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.解讀：矩形的對(duì)稱軸有兩條，分別是它對(duì)邊中點(diǎn)的連線；對(duì)角線的

3、交點(diǎn)是 它的對(duì)稱中心.2. 矩形的識(shí)別方法：(1) 一個(gè)角是直角的平行四邊形(或有三個(gè)角是直角的四邊形)是矩形：(2) 對(duì)角線相等的平行四邊形(或?qū)蔷€相等且互相平分的四邊形)是 矩形.解讀：在識(shí)別一個(gè)四邊形是否是矩形時(shí)，可以采用"逐層識(shí)別法”，即丸 識(shí)別它是一個(gè)平行四邊形，再識(shí)別其對(duì)角線相等，或有一個(gè)直角.另外，對(duì)角 線相等的四邊形不一定是矩形.思維方法解題技巧例1四位同學(xué)分別畫了一個(gè)四邊形ABCD(對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0), 并各自測(cè)得的結(jié)果如下，請(qǐng)識(shí)別其中哪些同學(xué)畫的一左是矩形.Z ABC=90°AB=CD=3BC=AD=2ZBAC=ZDCAAB=CD=4廠張明C

4、D=DA =3 cmOB=OD=2.5 cm思維點(diǎn)撥王強(qiáng)同學(xué)測(cè)得的四邊形兩組對(duì)邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平 行四邊形，又因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角，因此它是矩形：李花同學(xué)測(cè)得的四邊形 一組對(duì)邊平行且相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形，又對(duì)角線AC=BD,因此是 矩形；鄧濤同學(xué)測(cè)得的四邊形的對(duì)角線互相平分且相等，這個(gè)四邊形也是矩形； 張明同學(xué)測(cè)得的四邊形四邊相等，這個(gè)四邊形是平行四邊形，但它的內(nèi)角不一 泄是直角，因此這個(gè)四邊形不一泄是矩形.解只有張明同學(xué)畫的四邊形不一泄是矩形，英余三位同學(xué)畫的都是矩形.點(diǎn)悟（1）判泄一個(gè)四邊形是否為矩形，通?？煞謨刹剑菏紫却_泄這個(gè)四邊 形是平行四邊形.如果它不是平行四邊形

5、，就一定不是矩形，因?yàn)榫匦问翘厥獾钠叫兴倪呅危浩浯?，再看這個(gè)平行四邊形中是否有一個(gè)內(nèi)角是直角或兩條對(duì)且相等）DB16. 2 2角線的長(zhǎng)度是否相等即有一內(nèi)角是直角（或兩條對(duì)角線相等）的平行四邊形 MA/N是矩形：（2）也可直接進(jìn)行判泄：有三個(gè)角是直角（或?qū)蔷€目例2如圖162.2,已知直線MNPQ,直線AC交MN. PQ于點(diǎn)A、C,所得的同旁內(nèi)角的四邊形是矩形.的角平分線AB. BC和AD、CD分別相交于點(diǎn)B、D.試猜想AC與BD的大小關(guān)系，并說明理由.思維點(diǎn)撥先利用平行線的性質(zhì)和平角的定義，得到四邊形ABCD中有三個(gè)內(nèi)角是直角，從而確定四邊形ABCD為矩形,66再根拯矩形的性質(zhì)確泄AC與BD的

6、大小關(guān)系.解：（1） AC與BD相等且互相平分.（2）理由：因?yàn)镸NPQ （已知），故ZMAC+ZACP=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）, 而BA、BC分別平分ZMAC、Z ACP （已知）, 得 ZBAC+ZBCA=90° ,同理可得Z ADC=90° ,有三個(gè)角是直矩形從而ZABC=90° （直角三角形中兩銳角互余）,角的四邊形是而Z ACP+ZACQ=180° （平角的定義）, 又BC、CD分別平分ZACP、故ZACB + ZACD=90° （鞏労Q的宦義）,即 ZBCD=90°所以四邊形ABCD是矩形，故AC

7、與BD互相平分. ° O點(diǎn)悟識(shí)別一個(gè)四邊形是矩形的方法有：（1）有三個(gè)角是直角的四邊形（或有一個(gè)內(nèi)角是 直角的平行四邊形）是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形（或?qū)蔷€相等的平行四邊形）是矩形;此題也可先運(yùn)用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，來說明ABCD, BCAD,從而得到四邊形ABCD為平行四邊形，再說明ZBCD=90°得到這個(gè)平行四邊 形為矩形，最后運(yùn)用矩形的性質(zhì)確左AC與BD大小關(guān)系，同學(xué)們不妨試一試.例3如圖1623,矩形ABCD的對(duì)角線AC, BD交于點(diǎn)6過頂點(diǎn)C作BD的垂線與ZBAD圖 16. 2. 366的平分線相交于點(diǎn)E試說明AC=CE.思維點(diǎn)撥要說明AC=

8、CE,可確泄ZE=ZCAE.如果過A作AF丄BD于點(diǎn)F,則有AFCE,因而只須說明ZFAE=ZCAE解過A作AF丄BD于點(diǎn)F,因?yàn)镚E丄BD （已知），則AFCE （兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行）, 從而ZFAE=ZAEC （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,RtAABD 中，ZBAF+Z ABD=90Z ABD+Z ADB=90則 ZBAF=Z ADB.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形（已知）, 因此 OA=OD, °O 從而 ZBDA二ZCAD,所以ZBAF=ZDAC而AE平分ZBAD （已知）,貝lj ZBAE=ZDAE,ZBAE- ZBAF=ZDAE- ZDAC.ZFAE=

9、ZCAE,所以 ZCAE=ZCEA.故CA=CE點(diǎn)悟運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，挖掘矩形與三角形的關(guān)系：（1）矩形的對(duì)角線將矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，即RtA ADCRtABCDRtACBARtA66DBA,因此可以把矩形中的邊角問題，轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決：（2）矩形 的對(duì)角線相等且互相平分，因此矩形的對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角圖 16. 2. 4形，即：A AOB ADOC, AAOD ABOC 例4（河北省，2002）如圖16. 2. 4,在矩形ABCD中, AB=12厘米,BC=6厘米點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)：點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒 的速度

10、移動(dòng).如果P、Q同時(shí)岀發(fā)，用1（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0WtW6）,那么：（1）當(dāng)t為何值時(shí),AQAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的而積；并提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；思維點(diǎn)撥（1）因?yàn)槿切蜵AP是直角三角形，要使它為等腰三角形， 只有AQ=AP, iTiJ AP=2 t, QA=6 t,因此可列出關(guān)于t的方程：（2 ）因?yàn)樗倪?形QAPC的面積等于AAQC和AAPC的而積，因此可用t的代數(shù)式表示這兩個(gè) 三角形的而積，再分析計(jì)算的結(jié)果，從中找出規(guī)律解(1)因?yàn)?AP=2 t , DQ= t ,貝lj QA=6-t 只有當(dāng)QA=AP時(shí) QAP為等腰直角三角形,從而6 l=2t解得：t=

11、2 （秒）, 所以，當(dāng)1=2秒時(shí).AQAP為等腰直角三角形；(2)在厶 QAP 中，QA=6-t , QA 邊上的髙 DC=12, 則 Saqac= QA DC=(6 t) 12=36 6t»2 2在AAPC 中，AP=t, BC=6,貝I Saapc= AP BC= - 2t 6=6t»2 2所以 Saqac+Saapc=（366t） +6t=36（厘米 2）.由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)在移動(dòng)的過程中，四邊形QAPC的而 積始終保持不變.點(diǎn)評(píng)（1）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過代數(shù)中的列方程發(fā)現(xiàn)圖形中的有關(guān) 結(jié)論；（2）本題的解法較多.例如，四邊形QAPC的而積也可用矩形AB

12、CD的 而積減去厶QDC和ABPC的而積來計(jì)算；（3）結(jié)論也可以不同，例如提出：P、 Q兩點(diǎn)到AC的距離之和保持不變.生活數(shù)學(xué)興趣樂園用紙折黃金矩形黃金矩形的長(zhǎng)與寬之比是多少？長(zhǎng)寬之比約為16的矩形稱為黃金矩形.它看上丿匸/協(xié)調(diào)、勻稱、舒適，在建筑、美術(shù)造型等方而有許多這樣的矩形.你能用紙折岀這樣的矩形嗎？請(qǐng)按以下的步驟折疊：找一張矩形的紙，它的長(zhǎng)寬之比要大于16,不妨用四邊形ABCD代表它.（1）把紙片折一個(gè)角，使DA邊落在DC上折痕為DE （如圖16.2.5（1）：（2）過點(diǎn)E將ABCD對(duì)折，得到正方形ADFE （如圖（2）：（3）將正方形ADFE對(duì)折，使AD與EF重合，得到折痕GH （如

13、圖（3）：（4）使HC過點(diǎn)E,把矩形HCBG再折一次（如圖（4）, HC上與點(diǎn)E重合的A G E IbD H FC圖（3）D H F J圖(5)圖（4）圖（6）圖122.5（5）過I. J點(diǎn)對(duì)折矩形，得到折痕IJ （如圖（5）：（6）沿IJ剪開，所得矩形AIJD就是一個(gè)黃金矩形（如圖（6）自我測(cè)評(píng)潛能開發(fā)基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 如圖16.2.6,過矩形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,那么圖中矩形AMKP的而積5與矩形QCNK的而積S2的大小關(guān)系是SiS2 （填”或“”或“="）.2. 如圖 16. 2. 7,在矩形 ABCD 中，E、F、G. H 分別為 AB、B

14、C、CD、DA 的中點(diǎn)，若 AD=10, AB=6,則四邊形EFGH的而積為3. 如圖1628,把一張矩形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處，且BE與AD相交于點(diǎn)0.寫出一組相等的線段（不包括AB = CD和AD=BC）.4. （南寧市，2003）如圖16.2.9,將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，可得到一條折痕（圖中虛線）.續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次 后，可以得到7條折痕，那么對(duì)折四次可以得到條折痕.如果對(duì)折n次，可以得到條折痕.圖 16. 2. 10使得四邊形ABCD是矩形的條件的序號(hào)有5. 已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,分別添加下列條件:(1)

15、Z ABC=90° : (2)AC 丄 BC； (3)AB = BC； (4)AC 平分 BAD； (5)AO=DO，D6. 矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AE 垂直 BD 于 E,若 ZDAE=3ZBAE,貝lj ZEAC=7. 如圖圖16211,矩形的周長(zhǎng)為2 , 邊中點(diǎn)與對(duì)邊兩頂點(diǎn)連線所夾角為直角，則矩形各邊的長(zhǎng)分別為8. 下列條件：已知矩形的一邊和一對(duì)角線長(zhǎng): 已知矩形的一對(duì)角線長(zhǎng)和對(duì)角線的夾角； 已知矩形的一邊長(zhǎng)和對(duì)角線的夾角： 已知矩形的周長(zhǎng).能確泄矩形的條件是（A.、B.廠f矩形是特殊的 平行四邊形669. 矩形具有平行四邊形不具有性質(zhì)是（）A.對(duì)角相等

16、B.對(duì)角線互相平分C.對(duì)邊平行且相等D.對(duì)角線相等10. 矩形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到小邊距離比到大邊的距離多4,若矩形的周長(zhǎng)為56,則矩形的兩鄰邊的長(zhǎng)為（）A19和9B10和8C. 12 和 16D. 18 和 10能力測(cè)試11如圖16212,在矩形ABCD中，AC、BD相交于O, AE平分ZBAD交 BC 于 E, ZCAE=15° ,求 ZBOE 的度數(shù).12（南寧市，2002）如圖16213, AC是矩形ABCD的對(duì)角線，EF平分AC 于點(diǎn)O,且分別交AD. BC于點(diǎn)E.F.試說明：ED=BF13（陜西省，2002）如圖16. 2. 14,在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB.C

17、D 上，BFDE若 AD=12cm, AB=7cm,且 AE : EB=5 : 2則陰影部分圖 16. 2. 14應(yīng)用創(chuàng)新14.如圖 16. 2. 15,四邊形ABCD的對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn),且 AD=2AB,AN. BM 交于點(diǎn) P, DN、CM交于Q.試說明四邊形PMQN為矩形.16. 21.矩形1. s1=s2（點(diǎn)撥：圖中有五個(gè)矩形，根據(jù)矩形的一條對(duì)角線將英分成兩個(gè)面積 相等的直角三角形，則 Saabd= Sabcd> Sapdk= Szpnk, Sabmk= Sz.bqk,而 Si = Sa ABD SaPDK- Sabmk» S：= Sa BCD Sapnk- SaB

18、qKi 所以 S i = S：）2. 30（點(diǎn)撥：連結(jié)EF、GH,則四邊形EFGH面積等于矩形面積的一半.）3 OA=OE, OB=OD, AB=ED, CD=ED, BC=BE, AD=BE （點(diǎn)撥：根拯軸對(duì)稱 的特征，知圖中 ABD ACDB AEDB）4. 15, 2"1或l+2+2:+2s+-.+2a_1 （點(diǎn)撥：通過列表發(fā)現(xiàn)對(duì)折的次數(shù)與所得到 的折痕的關(guān)系式.）5（1） （5）（點(diǎn)撥：有一個(gè)角是直角（或?qū)蔷€相等）的平行四邊形是矩形.）645° （點(diǎn)撥：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，貝lj OA=OD, Z ADO=ZBAE= 22.5° ,從而 ZEAC=90° -2X22.5° =45° ）7 .（點(diǎn)撥：圖中的三個(gè)三角形都是等腰直角三角形.）33338. D（點(diǎn)撥；運(yùn)用尺規(guī)作圖進(jìn)行一一識(shí)別，已知矩形的周長(zhǎng)并不能確泄其邊長(zhǎng).）9. D （點(diǎn)撥：平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不一定相等.）10. D （點(diǎn)撥：設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)到大邊的距離等于X,到小邊的距離等于 x+4,矩形的長(zhǎng)和寬分別為