第二章_大氣運動基本方程組_圖文

1、數(shù)值天氣預報第二章大氣運動基本方程組蘭州大學大氣科學學院數(shù)值天氣預報數(shù)值天氣預報：在給定的初始條件和邊界條件下，數(shù)值求解大氣運動基本方程組，有已知的初始時刻的大氣狀態(tài)預報未來時刻的大氣狀態(tài)。構(gòu)建數(shù)值天氣預報的方程組要根據(jù)大氣運動所遵循的基本物理規(guī)律給出相應的數(shù)學表達式，并進行必要的相應簡化。大氣運動遵循牛頓第二定律、質(zhì)量守恒定律、熱力學能量守恒定律、氣體實驗定律和水汽守恒定律，它們的數(shù)學表達式分別稱為動量方程、連續(xù)方程、熱力學方程、狀態(tài)方程和水汽方程等。此外在實際的數(shù)值預報和模擬中還可以針對實際的問題，給出其他相應的預報方程，比如污染物方程，各種水質(zhì)方程等。 前面給出的大氣動量方程是以矢量的形

2、式給出的，在實際的數(shù)值預報過程中，需要把這種矢量形式的方程展開成相應的標量形式的方程組。在實際的氣象學研究和數(shù)值模擬及預報中，物理量個別變化首先是以Largrange形式表示的，這樣的表示主要是針對氣體微團來進行的。然而在實際的應用中并不方便，主要是由于通常我們對于大氣中各種物理量的觀測是固定在觀測點上的，并不是針對氣體微團來進行的，因此需要把各種預報方程在相應的坐標系中展開。與通常采用笛卡爾坐標系的方法不同，在大氣科學中，通常采用球坐標系、柱坐標系以及局地直角坐標系等曲面正交坐標系來進行理論研究和進行數(shù)值天氣預報。球坐標系中的基本方程組實際地球是一個橢球體，其半徑在赤道和極地相差22公里。這

3、個差值比地球半徑小得多，因而氣象上一般都把地球當作球體，其平均半徑為6371公里。設表示經(jīng)度，為緯度，r 是以地心為原點的質(zhì)點位置向量。由直接坐標轉(zhuǎn)換或借助于普遍的正交曲線坐標都可以推導出球坐標中標量形式的運動方程和連續(xù)方程:球坐標系中的大氣方程組球坐標系：大氣是圍繞地球運動通常采用球坐標作為坐標系。( , , r 分別是在球面上點P 的經(jīng)度、緯度和地心指向P 點的長度，相對應的單位矢量分別為與緯圈相切指向東、與經(jīng)圈相切指向北以及和地表面相垂直指向天頂。需要注意的是：這三個單位矢量隨著在地球面上的位置不同而方向不同。利用球坐標描述大氣運動最為適宜，但運動方程和連續(xù)方程比較復雜。因此出了研究全球

4、范圍的大氣運動采用球坐標外，一般多采用局地直角坐標系。 局地直角坐標系對短期預報，在不太大的水平范圍(例如1、2千公里 內(nèi)，可以略去地球此率的影響。令a cos d =dx , ad =dy這相當于采用了一個新的坐標系，它的原點在觀測點，x 軸自該點指向正東，y 軸指向正北，z 軸指向天頂(垂直向上 。在這種定義下，顯然對不同的觀測點，坐標軸的方向是不同的。這種坐標稱為局地直角坐標系或簡稱局地直角坐標系。局地直角坐標中，運動方程和連續(xù)方程的形式為: 地圖投影在進行天氣分析或數(shù)值天氣項報時，需要用天氣圖來填繪觀測到的或計算出來的氣象資料，推導大氣運動方程組時，水平方向上經(jīng)常采用直角坐標(x，y,

5、 如果用差分方法求數(shù)值解，一般取正方形網(wǎng)格；這些都要求把地球這一球面上的氣象要素表示在一個平面上。因此我們要研究怎樣將球面投影在平面上、這種投影的性質(zhì)、投影圖上大氣運動方程組的形式以及如何計算地圖投影放大系數(shù)等。一、基本概念地圖投影就是假設將地球表面投影到一個簡單的曲面上，如平面、圓錐面或圓柱面上，這種曲面稱為投影面或映象面。將曲面沿某一經(jīng)線展成平面，稱為映象平面。投影面上的圖形(即投映面在幾何形狀、長度、面積等方面與實際球面上的相應圖形不可能全都一致。距離保持不變的投影稱為等距投影。兩條交線之間的夾角保持不變的投影叫做正形投影或保角投影。 普遍曲線正交坐標系中的方程組地球自轉(zhuǎn)角速度在X ，Y

6、 和Z 方向的分量分別為：如下為曲線坐標系中的方程組：數(shù)值模式的初值條件和邊值條件前面給出的是數(shù)值天氣預報的一般方程，對某個特定時間的預報而言還需要給出定解條件。（1）初值條件：初始時刻氣象要素的空間分布v =v 0+at 要確定質(zhì)點運動任意時可的速度，必須知道v 0 其中=(u,v,w,p,T,q 等模式需要預報的氣象要素。如何確定初始條件，將在第四章、 第八章中詳細介紹。 邊值條件：上下邊界、內(nèi)邊界、側(cè)邊界(3 水平（側(cè)）邊界條件：對于中尺度或者區(qū)域模式，由于模式是建立在一個大氣中有限的區(qū)域內(nèi)，因此，在模式的水平邊界處，需要有邊界條件。詳細內(nèi)容在第四章介紹。(4 內(nèi)邊界條件：大氣內(nèi)部經(jīng)常會

7、出現(xiàn)氣象要素的過渡帶或者不連續(xù)面，例如鋒面和逆溫層、海洋和大氣的界面等，在這種情況下有關氣象要素的梯度是不連續(xù)的，此時運動方程和連續(xù)方程都會失去意義，這時一般把這種不連續(xù)面看成大氣的內(nèi)邊界。前面我們給出了進行數(shù)值預報的閉合方程組及其相應的初、邊值條件。從理論上來說，就可以采用數(shù)值的方法進行求解。然而，在實際的大氣數(shù)值模擬（預報）制作過程中還需要考慮到很多實際的問題，比如在Z 坐標系中，如何獲得各個等高面的氣象資料？等高面和地形相交后出現(xiàn)的側(cè)邊界問題如何處理？在局地直角坐標系中，如何保證球面的距離與局地直角坐標系中的距離更加接近，變形更少？在實際的數(shù)值求解中如何保證它穩(wěn)定有效的數(shù)值積分？等等問題

8、必須在構(gòu)建數(shù)值模式的時候進行很好的處理。大氣模式的垂直坐標變換一方面，由于模式需要上下邊界；另一方面，不同的模式物理過程需要在不同垂直坐標下描述。因此，不同坐標系之間經(jīng)常需要相互轉(zhuǎn)換。其中，一個主要的轉(zhuǎn)換是垂直坐標的轉(zhuǎn)換。垂直坐標變換主要是對局地直角坐標系的方程組進行相應的展開處理。由于局地直角坐標系中的方程是利用幾何高度Z 作為垂直坐標的，因此，對于各種氣象場的分析只能在等高面上來進行，因此它的適用性并不高。一般的數(shù)學變換是純粹的幾何變換，并不涉及物理內(nèi)容。由于在大氣科學中選取氣象要素作為垂直坐標，因此這種變換不僅應該滿足數(shù)學上的一些要求，也應該滿足物理上的要求。 坐標系中的方程組靜力方程

9、水平運動方程利用靜力方程，氣壓梯度力可以改寫成：上式表明坐標系中的水平氣壓梯度力是由兩項組成的，在地形陡峭的地區(qū)， 兩項的近似計算為：這兩項的數(shù)值都很大，但其符號相反，因此在地形陡峭的地區(qū)，坐標系中的水平氣壓梯度力是兩個大值的小差，難于精確計算。這說明，采用坐標系中使得模式的下邊界變得非常簡單，但它并沒有解決處理地形問題存在的困難，而是把P 坐標系中下邊界難于處理的問題轉(zhuǎn)化為水平氣壓梯度力的精確計算問題。在實際的數(shù)值預報中，可以采用靜力扣除法或者先在等壓面上計算氣壓梯度力，然后在把它插值到等面上去等方法來處理。 坐標系中的方程組連續(xù)方程這個連續(xù)方程不再是一個診斷方程，它與P 坐標系的連續(xù)方程相

10、比變得更為復雜。但在實際的數(shù)值模式設計中，它卻是一個非常有用的方程，不僅可以預報地面的氣壓傾向，也可以用來診斷各個等面上的垂直速度。垂直速度方程 熱力學方程狀態(tài)方程在實際的數(shù)值模擬實踐中，還需要把預報方程改寫成相應通量形式的方程，這種通量形式的方程易于構(gòu)造守恒的差分格式，也便于討論大氣中的能量轉(zhuǎn)換關系。坐標系中通量形式的方程通過利用連續(xù)方程和動量方程、熱量方程、水汽方程，很容易得到。坐標系的下邊界條件非常簡單，也便于討論地形對大氣運動的影響。但是，前面提到，坐標系中的水平運動方程變得相對比較復雜，在地形陡峭的地區(qū)，氣壓梯度力很難精確計算。隨著數(shù)值天氣預報理論研究的進展和技術(shù)的進步，這個問題逐步

11、得到改善。盡管坐標系存在一些問題，但它仍然是數(shù)值天氣預報常用的一種坐標系，為其他追隨地形坐標系的建立，提供了非常重要的指導作用。氣候模式方程組數(shù)值模式在短期天氣預報中取得了顯著的進展。開始嘗試建立適合于長期數(shù)值積分的模式用于氣候預測和試驗。由于氣候系統(tǒng)具有向外源適應的特征，一些在天氣尺度模式（中尺度模式）中顯得不重要，時間尺度較長的物理過程則必須在氣候模式中描述。因此，氣候模式需要對氣候系統(tǒng)各個子系統(tǒng)中的物理過程進行描述的同時，也要考慮它們之間復雜的相互作用，因此氣候模式較短期和中期天氣預報模式而言，需要考慮更多的因子。目前的氣候模式主要包含了大氣、海洋這兩個流體系統(tǒng)，并考慮了陸面等過程。早期

12、的氣候模式稱為大氣環(huán)流模式GCM，其中大氣模式稱為AGCM（Atmospheric General Circulation Model，美國的Community Atmosphere Model-CAM），海洋模式稱為OGCM（Oceanic General Circulation Model），陸面模式為LSM（Land Surface Model）等，全部考慮在內(nèi)的模式稱為耦合模式CGCM（Coupled General Circulation Model ）。第一個大氣環(huán)流模式是Phillips（1956）構(gòu)造的，模式采用了準地轉(zhuǎn)方程組來作為基本的方程組，并利用該模式進行大氣環(huán)流方面的模

13、擬研究。此后大氣環(huán)流模式得到了快速的發(fā)展，在模式中不斷引進有關邊界層、平流層、比較細致的大氣氣溶膠輻射效應以及水汽相變等有關的物理過程。大氣環(huán)流模式的基本方程組中有關的模式離散化方法、守恒格式的設計、物理過程參數(shù)化等的基本思路和中尺度模式一致在AGCM 中，Phillips 提出的坐標系，非常有利于描述復雜大地形對氣候系統(tǒng)的影響。AGCM 的模式方程組如下：目前世界各國的GCM 采用的垂直 坐標形式較多。GCM 模式需要考慮 的物理過程非常復雜，尤其是目前發(fā) 展的氣候系統(tǒng)模式CSM（Climate System Models）。但在實際的研 究過程中，根據(jù)研究的對象，也可采 用一些簡化的氣候模式進行有關的數(shù) 值試驗。簡化的氣候模式 主要包括能量平衡模式、輻射對流模 式、統(tǒng)計動力模式等。 小結(jié) 1 大氣運動基本方程組包含兩個水平運動方程、靜 力平衡方程、狀態(tài)方積、連續(xù)方程、熱力學方程和 水汽方程。它們在不同的平坐標和垂直坐標里可以 展開成不同的標量形式。 2 數(shù)值天氣預報中常用的水平坐標有球坐標和局地 直角坐標。后者是由前者簡化而來的。