線性代數(shù)與解析幾何：第3章 線性方程組

1、 線性代數(shù)課程結(jié)構(gòu)簡圖線性代數(shù)課程結(jié)構(gòu)簡圖未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)相等行列式矩 陣線性代數(shù)方程組未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)不等向向量量空空間間第三章第三章 線性方程組線性方程組n第一節(jié) 解的有關(guān)概念n第二節(jié) 線性方程組的解法n第三節(jié) 解的理論 2022-1-20411 11221121 1222221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb解集合：解集合：解的全體解方程組解方程組：求出解集合同解同解相容相容方方程程組組有有相相同同解解集集合合存存在在解解集集合合否則否則不相容不相容若方程組的解能用統(tǒng)一的形式來表示，若方程組的解能用統(tǒng)一的形式來表示，稱該解為線

2、性方程組一般解稱該解為線性方程組一般解(或通解或通解)；相對應(yīng)的具體的解稱為特解。相對應(yīng)的具體的解稱為特解。 求解線性方程組就是把線性方程組求解線性方程組就是把線性方程組經(jīng)過同解變換化成容易求解的方程組。經(jīng)過同解變換化成容易求解的方程組。從而寫出方程組的解。從而寫出方程組的解。AX = BA X = B1111nmmnaaAaa1nxXx1mbBb系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣未知量未知量矩陣矩陣常數(shù)項常數(shù)項矩陣矩陣增廣矩陣增廣矩陣11111()nmmnmaabaabAAB方程組 Ax=B 與下面的增廣矩陣存在一一對應(yīng)關(guān)系一一對應(yīng)關(guān)系： 這是線性代數(shù)中最基本的也是最重要的一次抽象抽象，世界上所有的方程組 與

3、所有的矩陣（增廣矩陣）之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，從此，對方程組 的研究徹底的轉(zhuǎn)化為對矩陣的研究。11111()nmmnmaabaabAAB第二節(jié) 線性方程組的解法定義定義2 2：方程組的初等變換u（1） 互換兩個方程的位置u（2） 用一個非零數(shù)乘某個方程的兩邊u（3） 將一個方程的兩邊同乘以某常數(shù) 加到另一個方程u性質(zhì)性質(zhì)1：方程組的初等變換是同解變換。 u性質(zhì)性質(zhì)2：方程組的初等變換，對應(yīng)于增廣矩陣的初等行變換。線性方程組解法討論增廣矩陣增廣矩陣初等行變換初等行變換階梯型矩陣階梯型矩陣2022-1-201511 11221121 1222221 122 nnnnmmmnnma xa xa xb

4、a xa xa xba xa xa xb1111212211100010001()00000000000000000rnrnrrrnrrccdccdccddAA B與方程組與方程組比較比較階梯型矩陣中可能有全為零的階梯型矩陣中可能有全為零的行，對應(yīng)的均為多余的方程行，對應(yīng)的均為多余的方程第三節(jié) 解的理論 1 1112122111 000 100 01()0 00000 000000 00000rnrnrrrnrrccdccdccddAAB容易看出方程組有解10( )( )rdRRrAA( )( )R AR Arn11111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxdcxc xxdcx

5、c xxdcxc x矩陣對應(yīng)方程組矩陣對應(yīng)方程組1111 112221 121 111rn n rrn n rrrrrrn n rrnn rxdctc txdctc txdctc txtxt通解為r=nr=n時，方程有唯一解時，方程有唯一解1122nnxdxdxd定理定理1線性方程組解的情形定理定理1線性方程組解的情形有解有解( )( )RRAA無窮多解n唯一解=n定理定理1線性方程組解的情形10rd無解無解( )( )RRAA 對于線性方程組對于線性方程組AX=B，當(dāng)，當(dāng)B=0時，時，稱為齊次線性方程組；反之，稱為非齊稱為齊次線性方程組；反之，稱為非齊次線性方程組。易知齊次線性方程組一次線性

6、方程組。易知齊次線性方程組一定存在零解，所以齊次線性方程組經(jīng)常定存在零解，所以齊次線性方程組經(jīng)常關(guān)心的是它是否存在非零解關(guān)心的是它是否存在非零解.推論推論1：n元齊次線性方程組僅有零解的充要條件是秩(A)=n，有非零解的充要條件是秩(A)n.練習(xí)32132132113101xxxxxxxxx ,)3(;)2( ;) 1 (,求其通解有無窮多解無解有唯一解此方程組取何值時問解11131110111,bA增廣矩陣 0111311111131rr1203011113121rrrr 313003011123rr考慮1.有無解2.有解(唯一解還是無窮多解)310313003或得或得看討論: ., 2,

7、33., 2, 1, 02., 3,301無窮多解無解唯一解時且bArArbArArbArAr000021101101000063303211,bA最后的階梯型矩陣對應(yīng)的線性方程組為其通解為132312x xxx -121,t2xtxt 其中 為任意實數(shù)。方法2由本題的特點:方程組中方程的個數(shù)與未知量個數(shù)一樣,可想到先求系數(shù)行列式,利用克萊姆法則0311111111131111111112令D30或., 0,30解由克萊姆法則知有唯一時且當(dāng)D矛盾方程組變?yōu)?30, 0321321321xxxxxxxxx.)(0232323321321321解之即可不含參變量方程組變?yōu)閤xxxxxxxx從上面介紹的消元法我們知道，消元法實質(zhì)上是利用一系列方程組的初等變換將其變成同解的階梯形方程組.我們強調(diào)