偏微分方程及其應(yīng)用

1、偏微分方程在生物學(xué)上的應(yīng)用劉富沖pb060071431 偏微分方程的發(fā)展偏微分方程是反映有關(guān)的未知變量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系的等式。許多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來描述，物理學(xué)中的許多基本方程本身就是偏微分方程。早在微積分理論剛形成后不久，人們就開始用偏微分方程來描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，并將所得到的研究方法和研究成果運(yùn)用于各門科學(xué)和工程技術(shù)中，不斷地取得了顯著的成效，顯示了偏微分方程對于人類認(rèn)識自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地，以物理、力學(xué)等各門科學(xué)中的實(shí)際問題為背景的偏微分方程的研究成為傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個最主要的內(nèi)容，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實(shí)際問題，

2、不斷地提出和產(chǎn)生出需要解決的新課題和新方法，不斷地促進(jìn)著許多相關(guān)數(shù)學(xué)分支(如泛函分析、微分幾何、計(jì)算數(shù)學(xué)等)的發(fā)展，并從它們之中引進(jìn)許多有力的解決問題的工具。偏微分方程已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中的一個重要的組成部分，是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一座重要的橋梁。在國外，對偏微分方程的應(yīng)用發(fā)展是相當(dāng)重視的。很多大學(xué)和研究單位都有應(yīng)用偏微分方程的研究集體，并得到國家工業(yè)、科學(xué)部門及軍方、航空航天等方面的大力資助。比如在國際上有重大影響的美國的Courant研究所、法國的信息與自動化國立研究所等都集中了相當(dāng)多的偏微分方程的研究人員，并把數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)方法、應(yīng)用軟件及實(shí)際應(yīng)用融為一體，在

3、解決實(shí)際課題、推動學(xué)科發(fā)展及加速培養(yǎng)人才等方面都起了很大的作用。2 偏微分方程的應(yīng)用在科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，很多重要的實(shí)際課題都需要求解偏微分方程，為相應(yīng)的工程設(shè)計(jì)提供必要的數(shù)據(jù)，保證工程安全可靠且高效地完成任務(wù)。在很多的實(shí)際課題中，有不少課題(特別是國防課題)是不能或很難用工程試驗(yàn)的方法來進(jìn)行研究的(一方面是危險(xiǎn)系數(shù)大，另一方面是耗費(fèi)大)，因此就需要盡可能地減少試驗(yàn)的次數(shù)或在試驗(yàn)前給出比較準(zhǔn)確的預(yù)計(jì)。隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，電子計(jì)算機(jī)成為解決這些實(shí)際課題的重要工具。但是有效地利用電子計(jì)算機(jī)，必須具備如下先決條件：針對所考慮的實(shí)際問題建立合理的數(shù)學(xué)模型，而這些能精確描述問題的模型大都

4、是通過偏微分方程給出的。對相應(yīng)的偏微分方程模型進(jìn)行定性的研究。根據(jù)所進(jìn)行的定性研究，尋求或選擇有效的求解方法。編制高效率的程序或建立相應(yīng)的應(yīng)用軟件，利用電子計(jì)算機(jī)對實(shí)際問題進(jìn)行模擬。因此，總體上來說，上述這些先決條件都屬于偏微分方程應(yīng)用的研究范圍，這些問題解決的好壞直接影響到使用電子計(jì)算機(jī)所得結(jié)果的精確性及耗費(fèi)的大小。如果解決得好，就會對整個問題的解決起到事半功倍的效果。到目前為止，偏微分方程已經(jīng)在解決有關(guān)人口問題、傳染病動力學(xué)、高速飛行、石油開發(fā)及城市交通等方面的實(shí)際課題中做出了重大的貢獻(xiàn)。下面主要講一下大家比較熟悉的人口問題及傳染病動力學(xué)問題，詳細(xì)闡述偏微分方程在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。2.

5、1 偏微分方程在人口問題中的應(yīng)用人口問題是生物學(xué)家很感興趣的問題(這里所說的人口是廣義的，并不一定限于人，可以是任何一個與人有類似性質(zhì)的生命群體)。對人口的發(fā)展進(jìn)行研究最先所采用的大多是常微分方程模型，這在我們用的常微分教材例題里有講過。例如，馬爾薩斯模型：其中表示時刻的人口總數(shù)，為初始時刻時的人口總數(shù)，表示人口凈增長率。馬爾薩斯模型只在群體總數(shù)不太大時才合理。因?yàn)楫?dāng)生物群體總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進(jìn)行生存競爭。而馬爾薩斯模型僅考慮了群體總數(shù)的自然線性增長項(xiàng)，沒有考慮生存競爭對群體總數(shù)增長的抵消作用。因此在群體總數(shù)大了以后，馬爾薩斯模

6、型就不再能預(yù)見群體發(fā)展趨勢，這時就要采用威爾霍斯特模型：其中，稱為生命系數(shù)，而且比要小很多。就是考慮到生存競爭而引入的競爭項(xiàng)。當(dāng)群體總數(shù)不太大時，由于比小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項(xiàng)而回到馬爾薩斯模型。但是當(dāng)群體總數(shù)增大到一定程度時，上面方程中右端的第二項(xiàng)所產(chǎn)生的影響就不能忽略。不論是馬爾薩斯模型還是威爾霍斯特模型，它們都是將生物群體中的每一個個體視為同等地位來對待的，這個原則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數(shù)量不僅和時間有關(guān)，還應(yīng)該和年齡有關(guān)，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關(guān)。不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動態(tài)

7、。這時，就必須給出用偏微分方程描述的人口模型：其中，表示任意時刻按年齡的人口分布密度，表示年齡為的人口死亡率，表示年齡為的人的生育率，表示可以生育的最低年齡，表示人的最大年齡。對于上述偏微分方程模型成立如下結(jié)論：定理1：對偏微分方程的初值問題(1)(3)，如果下列條件成立：(I) 在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑；(II) 在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑，并且當(dāng)時，及；(III) ；(IV) 。則該初邊值問題(1)(3)存在唯一的整體解并且滿足且。該模型在經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)后，例如假設(shè)常數(shù)，常數(shù)，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中、均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實(shí)情況相符。因此，偏微分方程模型確實(shí)更進(jìn)一步、

8、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。2.2偏微分方程在傳染病動力學(xué)中的應(yīng)用自“非典”爆發(fā)以后，人們對傳染病也開始給予更多的關(guān)注，不同領(lǐng)域的研究人員都在各自的領(lǐng)域中開始對傳染病進(jìn)行深入細(xì)致的研究。另一方面，由于傳染病本身所特有的傳染性、潛伏性等，不僅給人們的工作學(xué)習(xí)帶來了極大的影響，而且也給研究工作帶來了許多難以克服的困難。為了減少傳染病帶來的負(fù)面影響，就非常有必要對傳染病的發(fā)展趨勢和發(fā)展規(guī)律進(jìn)行研究，以便能夠采取適當(dāng)?shù)拇胧魅静〉牧餍屑右灶A(yù)防和控制?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)方法來考察傳染病的理論，對它的發(fā)展機(jī)理、動態(tài)過程及發(fā)展趨勢進(jìn)行研究，已經(jīng)逐漸成為一個非?；钴S的研究領(lǐng)域。早在1979年，R. M. 安德

9、森就給出了一個傳染病動力學(xué)的常微分方程模型：，其中，分別表示三類人的人口總數(shù)(對應(yīng)健康而可能被傳染的一類人；對應(yīng)已經(jīng)患病的人；對應(yīng)具有免疫力的人)，表示出生率，表示自然死亡率，表示傳染病的死亡率，表示治愈率，表示傳染病的發(fā)病率，表示免疫力失去率。對上述常微分方程組進(jìn)行分析求解，就可以了解不同時刻傳染病的動力學(xué)特征(比如：傳染病病情的發(fā)展趨勢，即各類人的人口數(shù)量的分布情況)。但是，上述常微分方程模型沒有考慮到年齡因素對傳染病發(fā)病情況的影響。而實(shí)際上，對傳染病而言，除極少數(shù)傳染病(如出血熱)外，傳染病的發(fā)病情況均與年齡有關(guān)，而且發(fā)病率、治愈率以及死亡率等也均與年齡有關(guān)。因此，在建立傳染病動力學(xué)模型時，必須考慮年齡因素的影響；同時，傳染病的發(fā)病情況還和發(fā)病時間的長短(病程)有關(guān)，治愈率及死亡率等也可能與病程有關(guān)。那么，能夠精確地反映傳染病動力學(xué)特征的模型就應(yīng)該是不僅考慮時間因素的影響，而且還要考慮年齡因素及病程因素影響的偏微分方程組形式的數(shù)學(xué)模型。由于偏微分方程組模型能夠比較精確地反映傳染病動力學(xué)的發(fā)展動態(tài)及發(fā)展趨勢，因此對它的研究自二十世紀(jì)八十年代以來一直都是一個非常活躍的研究領(lǐng)域，并且也已經(jīng)取得了許多不錯的結(jié)果。3 結(jié)束語由于同一類型的偏微分方程往往可以用來描述許多性質(zhì)上頗不相同的自