(完整版)高中數(shù)列的常見解法)

1、數(shù)列解題方法、基礎(chǔ)知識(shí):數(shù)列：1.數(shù)列、項(xiàng)的概念:按一定 次序 排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列，其中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù) 列的項(xiàng) .2.數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì):有序性：確定性：可重復(fù)性.3.數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標(biāo)表示數(shù)列的項(xiàng)，其中右下角標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào)，因此數(shù)列的一般形式可以寫成ai,a2,a3,，an,()，簡(jiǎn)記作an.其中an是該數(shù)列的第_n_項(xiàng)，列表法、 圖象法、符號(hào)法、列舉法、解析法、公式法(通項(xiàng) 公式、遞推公式、求和公式)都是表示數(shù)列的方法.4.數(shù)列的一般性質(zhì):單調(diào)性:周期性.5.數(shù)列的分類：1按項(xiàng)的數(shù)量分： 有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列 ;2按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)

2、列 、其他；3按項(xiàng)的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；4按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列.6 .數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(n)(n N+或其有限子集1 , 2, 3，n) 來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫 做這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號(hào)是 指數(shù)列中項(xiàng)的位置，是自變量的值由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是散點(diǎn)圖，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 項(xiàng)的序號(hào)值，縱坐標(biāo)是 各項(xiàng)的值不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的 通項(xiàng)公式在形式上未必唯一.7 數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-

3、i(或前幾項(xiàng)an-i,an-2，)間關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(an1)(n=2, 3,)(或an=f(an 1,an 2) (n=3, 4, 5,)，)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)歹U的遞推公式n8數(shù)列的求和公式：設(shè) S 表示數(shù)列an和前 n 項(xiàng)和，即 S=ai=&+&+an，如果 S 與i 1項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式 這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的求和公式S= f(n)(n=1, 2, 3,)來(lái)表示，那么9 通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：通項(xiàng)公式 an與求和公式 S 的關(guān)系可表示為：anS1(nSn1)Sn 1(n2)等差數(shù)列與等比數(shù)列:等差數(shù)列等比數(shù)列文 字疋 義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第

4、二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與 它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列 就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng) 與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè) 數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的 公比。符 號(hào)疋 義an 1and也q(q 0)an分類遞增數(shù)列：d 0遞減數(shù)列：d 0常數(shù)數(shù)列：d 0遞增數(shù)列：a10,q1 或 a10,0q 1遞減數(shù)列：a10, q1 或 a10,0q 1擺動(dòng)數(shù)列：q 0常數(shù)數(shù)列：q 1通項(xiàng)ana1(n 1)d pn q am(n m)d其中p d,q a-idn 1n managamq(q 0)刖 n項(xiàng) 和SnnGan) nain(n 1

5、)d pn2qn2 2甘出dd苴中p，qai2S葺qn)(q 1)Sn1 qna1(q 1)中項(xiàng)a,b,c 成等差的充要條件：2b a ca,b, c 成等比的必要不充分條件：b2ac主 要性 質(zhì)等和性：等差數(shù)列an若m n p q則amanapaq推論：若m n 2p則ama.2apan kan k2anaiana2an 1a3an 2即:首尾顛倒相加，則和相等等積性：等比數(shù)列an若m n p q則amanapaq2推論：若m n 2p則aman(ap)2an kan k(an)a1ana2an 1a3an 2苴丿、它1、等差數(shù)列中連續(xù)m項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列 是等差數(shù)列。即：Sm,S2mSm

6、,S3mS2m,等差，么差為m d則有s3m3(s2mSm)2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列 是一個(gè)等差數(shù)列。女口：印月彳了仙 (下標(biāo)成等差數(shù)列)3、an,bn等差，則a2n,a2n 1,kanb,panqbh也等差。4、等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，即：andn c(d 0)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式是一個(gè)沒有常 數(shù)項(xiàng)的n的二次函數(shù)，即：5 An Bn(d 0)5、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1的等差數(shù)列有：1、等比數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即：Sm, S2mSm.SsmS2m,等 比，公比為qm。2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù) 列是一個(gè)等比數(shù)列。女口：a1.a4

7、.a7.a10,(下標(biāo)成等差數(shù)列)3、an. bn等比，貝V a2n,a?n 1，kan也等比。其中k 04、 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于n的指數(shù)函 數(shù)，即:ancqn，其中C色q等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是一個(gè)平移加振 幅的n的指數(shù)函數(shù)，即：Sncqnc(q 1)5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項(xiàng)數(shù)的積組成的新數(shù) 列是等比數(shù)列。數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以bn的公比q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。性S奇S禺nn 1S奇勺禺a(chǎn)

8、na中S2n 1(2n1)an項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：s奇an，可禺站nd3禺a(chǎn)n 1Dnn(anan 1)質(zhì)6、anm，amn則am n0Sn為則為n0(n m)Snm,Smn則Sm n(m n)證證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法：證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的方法：明 方1、定義法:an1and (常數(shù))1、定義法：an1q(常數(shù))an法2、中項(xiàng)法:an 1an 12an( n 2)2、中項(xiàng)法：an 1an 1(an)2(n 2 耳 0)設(shè)元三數(shù)等差：a d,a,a d三數(shù)等比：,a, aq 或 a, aq, aq2q技 巧 四數(shù)等差：a 3d,a d,a d,a3d四數(shù)等比：23a,aq,aq

9、 ,aq1、若數(shù)列an阜壟韭勘萬(wàn) 【 in 勘Can是等比數(shù)列，公比為Cd，其中C是常數(shù)，d是是等差數(shù)列，則數(shù)列聯(lián)an的公差。系2、若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an0,則數(shù)列Ice olOgaan疋等差數(shù)列,厶差為logaq,其中a是常數(shù)且a0,a1,q是an的公比。數(shù)列的項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：anS (n 1)SnSn 1(n 2)3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求 和。等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題:數(shù)列通項(xiàng)的求法:公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn(即印a2Lanf(n)求a.,用作差法：a.f(1),(n 1)已知a1ga2gL眇

10、f(n)求an,用作商法：a.f (n)(nf(n 1)，(已知條件中既有Sn還有an，有時(shí)先求Sn，再求an；有時(shí)也可直接求an。若an1anf(n)求a.用累加法：a.(a.an1) (an1an2)L(a?aja1(n 2)。已知f(n)求an,用累乘法:an乩_aLa1(n 2)。anan 1an 2a1已知遞推關(guān)系求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)適用于數(shù)列1anan 1(其中an等差)可裂項(xiàng)為:1anan 11、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10,公差d 0,則前n項(xiàng)和Sn有最大值。(i)若已知通項(xiàng)an，則Sn最大an0an 10(ii)若已知Snpn2qn，則當(dāng)n取最靠近話的非零自然

11、數(shù)時(shí)Sn最大;2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10，公差d0,則前n項(xiàng)和Sn有最小值(i)若已知通項(xiàng)an，則Sn最小an0an 10(ii)若已知Sn2pn qn，則當(dāng)n取最靠近2p的非零自然數(shù)時(shí)Sn最小;S,(n 1)&Sn 1,(n2)2特別地，（1）形如ankan 1b、ankan 1bn（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列 后，再求an；形如ankan 1kn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。（2） 形如an也 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan 1b（3） 形如an 1ank的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。（8）遇到an 1an 1d

12、或 空q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式an 1數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法： 在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)， 常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并 在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘 構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n 和公式的推導(dǎo)方法）（5） 裂項(xiàng)相消法： 如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩

13、項(xiàng)差”的形式, 那么常選用裂項(xiàng)相消法求和n(n1) nn 1 111 12 4(k2k 12 k 111r一1k)k(H(k 1)k(k1 1_ , _ 1)k k 1 kn(n 1)( n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)n!1；(n 1)!2(. n.ni)且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),.常用裂項(xiàng)形式有:二、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1、 公式法2、由 Sn求 an（n 1 時(shí)，a1S1, n 2 時(shí)，anSnSn 1）3、 求差（商）法如：an滿足a1p a212nan2n 51解：n1 時(shí)，-a1221 5, 二 a114n 2 時(shí)，-a1丄 a222212“ 1兀12n 1

14、52112得:*an2an2門1 an14 (n 1)2n 1(n 2)練習(xí)數(shù)列an滿足SnSn 153an1，a14， 求an4、疊乘法例如：數(shù)列 an中，a13,an 1n求ann 1 氏 an解：圭a3an12n 1 an1 a1a2an 123na1n又 a13，Aan3n5、等差型遞推公式由 anan 1f(n), a1a0，求 an，用迭加法n 2 時(shí)，a2a1f (2)anan1f(n)anaif(2)f(3)f(n) ana。f (2) f(3)f(n)練習(xí)數(shù)列 an, a11, an3n 1an 1n 2，求 an6、等比型遞推公式ancan1de、d 為常數(shù)，c 0，c 1

15、，d 0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) anx c an 1xancan 1c 1 x令(c 1)x d，二 xc 1dan是首項(xiàng)為a1d，c 為公比的等比數(shù)列c1c 1ddn 1ana1 cc 1c1dn 1dana1cc 1c 1a?f(3)兩邊相加，得:練習(xí)數(shù)列 an滿足 a19, 3an 1an4,求 an7、倒數(shù)法2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。如：an是公差為 d 的等差數(shù)列，求；n1k 1akak 1解：由ak11丄d11,cd 09k9k 19k 19k9kd.n1n111k 1ak9k1k1d9k9k1丄 丄1丄1 1 1d919292939n9n111d919n 1例如：a11，9n2an2求 an由已知得:9n29nan22an9n9n9n-9n為等差數(shù)列,91數(shù)列前 n 項(xiàng)和的常用方法:1、公式法：等差、等比前n 項(xiàng)和公式練習(xí)3、錯(cuò)位相減法:4、倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列