專題17等腰三角形存在性鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))-沖刺2020年中考幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)(解析版)

1、等腰三角形存在性問題鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）1 .平面直角坐標(biāo)系中，已知 A （1, 2）、B （3, 0）.若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn) C,使 ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】C【解析】點(diǎn) A、B的坐標(biāo)分別為（1, 2）、B （3, 0）,AB = 2Mi ,若AC = AB,以A為圓心，AB為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有 3個(gè)交點(diǎn)（B點(diǎn)除外），即（-1, 0）、（ 0, 2十V斤）、（0, 2即滿足 ABC是等腰三角形的 C點(diǎn)有3個(gè)；若BC = AB,以B為圓心，BA為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有 2個(gè)交點(diǎn)，即滿足 ABC是等腰三角形的 C點(diǎn)有2 個(gè)；若CA= CB,作A

2、B的垂直平分線與坐標(biāo)軸有 2個(gè)交點(diǎn)，即滿足 ABC是等腰三角形的 C點(diǎn)有2個(gè).綜上所述：點(diǎn) C在坐標(biāo)軸上， ABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有7個(gè).2.在 ABC中，與/ A相鄰的外角是130° ,要使 ABC為等腰三角形，則/ B的度數(shù)是（）A. 50°B, 65°C. 50° 或 65°D, 50° 或 65° 或 80°【解答】D【解析】/ A=180° - 130° = 50° .當(dāng) AB=AC 時(shí)，Z B=Z C= i （180° - 50° ） =

3、65° ;當(dāng) BC=BA 時(shí)，/ A=/ C=70° ,則/ B=180° 50° 50° = 80° ;當(dāng) CA=CB 時(shí)，Z A=Z B=50° ./ B的度數(shù)為50°或65°或80° ,3 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn)A, B分別在y軸和x軸上，ZABO = 60° ,在y軸上找一點(diǎn)P,使 PAB 是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)共有 個(gè).【解析】 當(dāng)AB=AP時(shí)，在y軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn) P.當(dāng)AB= BP時(shí)，在y軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn) P.當(dāng)AP= BP時(shí)，在y軸上有一點(diǎn)

4、滿足條件的點(diǎn) P.綜上所述：符合條件的點(diǎn) P共有4個(gè).4 .如圖，在xOy中，/ABO = 60° ,在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn) C,使 ABC為等腰三角形，則這樣的C點(diǎn)有 個(gè).【解答】6【解析】當(dāng)AB=AC時(shí)，在y軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn) C,在x軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn) C.當(dāng)AB=BC時(shí)，在y軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn) C,在x軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn) C,有1點(diǎn)與AB=AC 時(shí)的x軸負(fù)半軸的點(diǎn)C重合.當(dāng)AC= BC時(shí)，在x軸、y軸上各有一點(diǎn)滿足條件的點(diǎn) C,有1點(diǎn)與AB = AC時(shí)的x軸負(fù)半軸的點(diǎn)C重合.綜上所述：符合條件的點(diǎn) C共有6個(gè).5 .如圖， ABC中，/ C=90° , A

5、C = 4cm, BC = 3cm,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，沿 C-A一B-C的路徑運(yùn) 動(dòng)一周，且速度為每秒 2cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t =時(shí)，點(diǎn)P與 ABC的某兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰 三角形.器時(shí)點(diǎn)P與 ABC的某兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形【解析】 ABC 中，/C=90° , AC=4cm, BC = 3cm, . AB = vfAC2 + BC- =5 ,當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，當(dāng)FA=PB時(shí)，如圖,5作AB邊上的高 PE,貝U AE=BE=歹,易證得 APEA ABC,&八E _ AP ?.赤一正，即T 彳，此時(shí)（4- 2） + 2=（秒）； 816當(dāng)CP=CB時(shí)，3,. CP =

6、 3cm,此時(shí) 1=3+2=丁（秒）；2當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，當(dāng) AC=AP,此時(shí)（4+4） +2=4 （秒）；當(dāng)AP=PC時(shí)，如圖,點(diǎn)P在AC的垂直平分線與 AB的交點(diǎn)處，即在 AB的中點(diǎn),15則 AP= -AB=-,此時(shí)(4+2.5)當(dāng)CP=CB時(shí)，如圖,作AB邊上的高CD,1 1A AC X BC = a AB X CD . JLiJLk.CD =ACXBC _ 12 -AB 5 '在RtACDP中，根據(jù)勾股定理得，DP=八r=/?！币?，傲'=1.8,BP=2DP=3.6, . AP= 1.4,27t = （AC+AP） +2= （4+1.4） +2=（秒）10當(dāng)BC= B

7、P時(shí)，BP=3cm, CA+AP=4+5 - 3=6 （cm）,，t = 6 + 2= 3 （秒）；當(dāng) PB= PC,點(diǎn)P在BC的垂直平分線與 AB的交點(diǎn)處，即在 AB的中點(diǎn)，此時(shí) CA+AP= 4+2.5= 6.5 （cm）,“ c 13 、t = 6.5+2=（秒）；綜上可知，當(dāng)4或二或與或I或3或喜時(shí)點(diǎn)P與 ABC的某兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形。 lo 4 z 1U6 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn) A坐標(biāo)為（4, 4）, P是y軸上的一點(diǎn)，若以 O, A, P點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】（0, 8）或（0,）或（0,）或（0, 4）【解析】由題可知 OA=

8、4 4/5,分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)OA為腰時(shí)，以。為圓心，OA為半徑畫弧交y軸于兩點(diǎn)，即（0, -4V%）, （0, 4Gx以A圓心，OA為半徑畫弧交y軸于一點(diǎn)，即（0, 8）.（2）當(dāng)OA為底時(shí)，作線段 OA的垂直平分線交y軸于一點(diǎn)，即（0, 4）.，符合條件的點(diǎn) P有4個(gè)，坐標(biāo)為（0, 8）或（0, -4陋）或（0, 4，日）或（0, 4）.7 .如圖：已知在 ABC中，ADLBC于D, E是AB的中點(diǎn)，（1）求證：E點(diǎn)一定在AD的垂直平分線上；（2）如果CD = 9cm, AC=15cm, F點(diǎn)在AC邊上從A點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度是3cm/s,求當(dāng)運(yùn)動(dòng)幾秒鐘時(shí).ADF是等腰三角形?是等腰

9、三角形【解答】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)4s或1s時(shí)，4ADF(1)證明：ADXBC, ./ ADB = 90° ,E是AB的中點(diǎn)， .AE=DE,E點(diǎn)一定在AD的垂直平分線上;（2）解：ADXBC,AD = AD = / 3 = 一步=12 (cm),當(dāng) FA= AD= 12cm 時(shí), 當(dāng) FA= FD 時(shí)，則/ FAD = Z ADF ,又 / FAD+ZC=Z ADF + ZFDC = 90° , ./ C=Z FDC,FD = FC,一 _1、 15 .FA=FC=歹 AC= cm,當(dāng)DF = AD時(shí)，點(diǎn)F不存在,5綜上所述，當(dāng)點(diǎn) F運(yùn)動(dòng)4s或5s時(shí)， ADF是

10、等腰三角形.8.已知：如圖，銳角 ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O,且OB=OC.試說明 ABC是等腰三角形.BC【解答】見解析【解析】證明：= OB=OC,OBC = Z OCB, 銳角 ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn) O, ./ BEC=Z BDC= 90° ,又. / BOE=Z COD, ./ EBO = Z DCO , ./ ABC = Z ACB,AB = AC,ABC是等腰三角形.9.如圖，已知 ABC中，AB=AC, BD、CD分別平分/ EBA、/ ECA, BD交AC于F,連接 AD. (1)解答下列問題：若/BAC = 40° ,則/ BDC =.

11、 求出/ BDC與/ BAC之間的關(guān)系式.(2)求證： ABD為等腰三角形.(3)當(dāng)/ EBA的大小滿足什么條件時(shí)，以 A、B、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？ ./ ABD = Z ADB ,13600【解答】（1）/BDC=20o,/ BDC = - Z BAC ; （2）見解析；（3） / EBA的值為72°或 占I【解析】（1）解： AB= AC, Z BAC = 40° ,（180° - 40° ） = 70° , ./ ABC = Z ACB =q上j BD, CD 分別平分/ EBA, Z EGA, ./ DBC= LaBC=35。

12、, / ECD = - ZACE= 55° , 22 .Z BDC = Z ECD -Z DBG = 20° ; / BDC =BAG . . BD、CD 分別平分/ EBA、/ EGA, BD 交 AC 于 F, ./ BDC+ - / ABC= - / ACE, / BAC+Z ABC=Z ACE, 2(2 / BDC+ - A ABC= - / BAC+ - A ABC, 222H,如圖所示: ./ BDC= BAC. 2)證明：作 DM，BG 于 M, DNAC 于 N, DH，BE 于 . BD、CD 分別平分/ EBA、/ ECA,DM =DH , DN = D

13、H ,DM =DN ,AD 平分/ CAG ,即/ GAD = / CAD,180° , . / GAD+/CAD+/BAC=180° , / BAC+/ ABC + /ACB ./ GAD+/CAD = / ABC + ZACB, AB = AC, ./ ABC = Z ACB, ./ GAD = Z ABC,AD / BC, ./ ADB = Z DBC,又. / ABD=Z DBC,AB = AD, .ABD為等腰三角形；(3)解：AB=AF不可能舍去.AF = BF時(shí)，/ EBA = 72° ,理由如下：. ABF是等腰三角形，/ BAF只能為底角，AF= BF,/ BAF = / ABF = - Z ABC, 2 .Z BAF + Z ABC+Z AC