高數(shù)：連續(xù),導(dǎo)數(shù)微分ppt課件

1、第二講：連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分第二講：連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分1函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3函數(shù)微分函數(shù)微分函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx(1)(2)(3)一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱(chēng)為自變量在點(diǎn)稱(chēng)為自變量在點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),(

2、)(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當(dāng)自變量的增量果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對(duì)應(yīng)的函對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱(chēng)函數(shù)那末就稱(chēng)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). .,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00

3、 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在, ,且等于它在且等于它在點(diǎn)點(diǎn)0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱(chēng)函數(shù)那末就稱(chēng)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù). .例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxf

4、x 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)則稱(chēng)且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)則稱(chēng)且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右

5、連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn).例如例如,.),(內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的有有理理

6、函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿(mǎn)滿(mǎn)足足的的三三個(gè)個(gè)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱(chēng)點(diǎn)并稱(chēng)點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)要有一個(gè)不滿(mǎn)足要有一個(gè)不滿(mǎn)足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf1.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處

7、處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)處處無(wú)無(wú)定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變

8、為連續(xù)點(diǎn). .解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 例例如如, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) xoxy1123.第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類(lèi)間斷點(diǎn)的第二

9、類(lèi)間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱(chēng)點(diǎn)則稱(chēng)點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱(chēng)稱(chēng)為為無(wú)無(wú)窮窮間間例例7 7.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱(chēng)為的振蕩間這種情況稱(chēng)為的振蕩間注意

10、注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). .例例8 8.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a三、小結(jié)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn)

11、第一類(lèi)間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖)可去型可去型第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxf

12、I 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意:1.:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), , 定理

13、不一定定理不一定成立成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf二、介值定理二、介值定理定定理理 3 3( (零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上連連續(xù)續(xù)，且且)(af與與)(bf異異號(hào)號(hào)( (即即0)()( bfaf) ), ,那那末末在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)至

14、至少少有有函函數(shù)數(shù))(xf的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn), ,即即至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn) )(ba ，使使0)( f. .定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線(xiàn)弧與線(xiàn)弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線(xiàn)弧連續(xù)曲線(xiàn)弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端

15、點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對(duì)于那末，對(duì)于A與與B之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間，在開(kāi)區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得Cf )( )(ba . .xyo)(xfy 幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線(xiàn)直線(xiàn)與水平與水平連續(xù)曲線(xiàn)弧連續(xù)

16、曲線(xiàn)弧Cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連

17、續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即三、小結(jié)三、小結(jié)四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法: :先利用最值定理先利用最值定理, ,再利用介值定理再利用介值定理; ;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔

18、助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),F(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理; ; T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線(xiàn)如果割線(xiàn)MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線(xiàn)直線(xiàn)MT就稱(chēng)為曲線(xiàn)就稱(chēng)為曲線(xiàn)C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的切線(xiàn)處的切線(xiàn).極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線(xiàn)線(xiàn)MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線(xiàn)線(xiàn)的斜率為的斜率為切線(xiàn)切線(xiàn)MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義,)(,)(,0);()(,)(

19、,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)并稱(chēng)這個(gè)極限為函并稱(chēng)這個(gè)極限為函處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xx

20、xxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢慢程程度度而而變變化化的的快快因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化反反映映了了它它處處的的變變化化率率點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是因因變變量量在在點(diǎn)點(diǎn) x.)(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間就就稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)處處都都可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)的的每每點(diǎn)點(diǎn)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxfy 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的都對(duì)應(yīng)著都對(duì)應(yīng)著對(duì)于任一對(duì)于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)(

21、)(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如如果果)(xf在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說(shuō)說(shuō))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導(dǎo)導(dǎo).,),(

22、),()(000可可導(dǎo)導(dǎo)性性的的討討論論在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存存在在xf 則則)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可導(dǎo)導(dǎo)，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且三、由定義求導(dǎo)數(shù)三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解h

23、xfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21

24、x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例6 6.0)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhf

25、hfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線(xiàn)的斜率切線(xiàn)的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線(xiàn)表示曲線(xiàn) xfxfxMxfyxf切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法線(xiàn)線(xiàn)方方程程并并寫(xiě)寫(xiě)出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)斜斜率率處

26、處的的切切線(xiàn)線(xiàn)的的在在點(diǎn)點(diǎn)求求等等邊邊雙雙曲曲線(xiàn)線(xiàn)xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線(xiàn)斜率為得切線(xiàn)斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線(xiàn)方程為所求切線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf)0(

27、0 x 例例8 8.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之間間振振蕩蕩而而極極限限不不存存在在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx六、小結(jié)六、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線(xiàn)的斜率切線(xiàn)的斜率;

28、4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考題思考題 函數(shù)函數(shù))(xf在某點(diǎn)在某點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 與導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù))(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系？有什么區(qū)別與聯(lián)系？思考題解答思考題解答 由導(dǎo)數(shù)的定義知，由導(dǎo)數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個(gè)具體的是一個(gè)具體的數(shù)值，數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間I上每一上每一點(diǎn)都可

29、導(dǎo)而定義在點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在I上的一個(gè)新函數(shù)，即上的一個(gè)新函數(shù)，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對(duì)應(yīng)，所以?xún)膳c之對(duì)應(yīng)，所以?xún)烧叩恼叩膮^(qū)別區(qū)別是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點(diǎn)是：在某點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 即是導(dǎo)即是導(dǎo)函數(shù)函數(shù))(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值3 微分：微分：?jiǎn)栴}的提出問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx

30、 )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線(xiàn)線(xiàn)性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無(wú)無(wú)窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0二、微分的定義二、微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱(chēng)并且稱(chēng)可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)

31、有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的的線(xiàn)線(xiàn)性性主主部部叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量微微分分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )由定義知由定義知: :;)1(的線(xiàn)性函數(shù)的線(xiàn)性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xdy ;)()2(高階無(wú)窮小高階無(wú)窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(,)5(線(xiàn)性主部線(xiàn)性主部很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx 三、可微的條件三、可微的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是

32、函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從從而而,)(0 xfxy即即,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)).(.0 xfA 可可微微可可導(dǎo)導(dǎo).)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記記作作微微分分

33、稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)的的的的微微分分在在任任意意點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)例例1 1解解.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱(chēng)為自變量的微分稱(chēng)為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分dxdy微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx22221