凸透鏡成像地?cái)?shù)學(xué)模型

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案“凸透鏡成像的數(shù)學(xué)模型”-凸透鏡數(shù)據(jù)成像基本原理的探究簡介：本文突破了傳統(tǒng)透鏡成像作圖法的羈絆，改模擬的、近似的定性分析方法為定量的精確的分析方法。通過在坐標(biāo)系中深入探究“線段的凸透鏡成像”規(guī)律 , 創(chuàng)建了全新的“凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型”。它可精確確定每一像點(diǎn)的位置及“無窮遠(yuǎn)”的方位。一切物體都可以“凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型”繪制出“數(shù)據(jù)光路圖”，得到該物體的凸透鏡精確成像。從而為進(jìn)一步創(chuàng)建“空間物體凸透鏡數(shù)據(jù)成像”奠定基礎(chǔ)?？蓮V泛應(yīng)用于復(fù)合透鏡設(shè)計(jì)與誤差分析、精密光學(xué)儀器的研究、制造。并提供可靠數(shù)據(jù)和理論依據(jù)。關(guān)鍵詞： 凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型精確 數(shù)據(jù)光路圖數(shù)據(jù)成像一目的 :在幾何光學(xué)的學(xué)習(xí)中

2、，每當(dāng)討論物體的凸透鏡成像，必然要使用“透鏡成像作圖法”。然而實(shí)踐證明，當(dāng)兩條特征光線接近平行時，用這作圖方法根本無法確定交點(diǎn)的位置。另外，實(shí)際生活中見到的都是有形狀、大小的真實(shí)物體，當(dāng)真實(shí)物體從無窮遠(yuǎn)處經(jīng)過2f 、 f 移至鏡面時，其凸透鏡所成之像如何變化？尤其是經(jīng)過界面f 時究竟是如何發(fā)散的，能否畫出它的影像？我們的目的就是要找出描繪真實(shí)物體凸透鏡成像的有效方法，精確確定它的位置。二 .方法、步驟 :精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1.應(yīng)用“凸透鏡成像的基本原理”,也就是體現(xiàn)理想凸透鏡光學(xué)本質(zhì)的三條特征光線。2.思路：1)任何復(fù)雜物體都可以用相對比較簡單的幾何圖形來“逼近”。例如,球體可用正多面體來逼

3、近。增加它的面數(shù),即可提高它的精度。圓形可用正多邊來逼近2） 三維空間的物體可用正投影的方法,先將它投影到平面上。再用平面的凸透鏡成像方法確定其三維空間的像的位置。3)平面幾何圖形的凸透鏡成像問題可歸結(jié)為線段的凸透鏡成像: 在同一光路圖中分別畫出組成該幾何圖形的所有線段的光路圖, 即可得到整個幾何圖形的凸透鏡成像。3. 重點(diǎn)是要借助于數(shù)學(xué)方法“非線性變換”，實(shí)現(xiàn)精確定位。三凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型的建立:透鏡成像作圖法誤差太大。為精確定位物點(diǎn)（光點(diǎn)）的凸透鏡成像位置，我們建立數(shù)學(xué)模型：首先，假設(shè)透鏡為理想透鏡。即1. 透鏡相對于物體足夠大。2. 透鏡足夠薄，以至于可以認(rèn)為厚度為零。3.具有凸透鏡三條

4、特征光線的基本性質(zhì)。4.不考慮色散。將一光點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)S0 以平行于光軸的方式移至凸透鏡表面Sn ，對其成像軌跡進(jìn)行分析。建立直角坐標(biāo)系。把透鏡光心放在坐標(biāo)原點(diǎn)O,光軸與OX 軸重合。參考圖1.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案設(shè)透鏡焦距為f ，物點(diǎn) S0 的坐標(biāo)為 (X0 , Y0 ) ,X 0 的范國從負(fù)無窮到0; 其像點(diǎn)的坐標(biāo)為 (X, Y) 。設(shè)像點(diǎn)與光心 (即原點(diǎn) )連線的方程為Y=KX ，由通過光心光線的基本性質(zhì)，其對應(yīng)的物點(diǎn)也必在此直線上, 故K=Y 0/X 0所以得連線方程為Y=Y 0*X/X 0(1)由平行于光軸光線的基本性質(zhì)，物點(diǎn)凸透鏡成像軌跡為過焦點(diǎn)的一直線。直線斜率為Y0 /f ，截距

5、為 Y0 。所以此直線方程為Y=-Y 0*X/f+Y 0(2)則物點(diǎn) S 對應(yīng)像點(diǎn) S的位置必須由方程(1) 、 (2) 決定。解之得X=X 0*f/(X 0 +f)(3)Y=Y 0*f/(X0 +f)(4)結(jié)論 : 對任何物點(diǎn) S，只要已知它的坐標(biāo)(X 0,Y0 ),其像的位置（ X,Y）便可由公式 (3) 、(4) 唯一確定，并精確計(jì)算出來。此結(jié)果被稱之為“凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型”。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圖 1四討論：1. “凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型” 公式證明了 : 當(dāng)物點(diǎn)從無窮遠(yuǎn) S0 平移移至鏡面Sn 時，其像為一“直線”。它從焦點(diǎn) F出發(fā)，延直線SnF經(jīng) S5 、 S7 移至無窮遠(yuǎn)S9 ，然后

6、再從直線Sn F的另一端的S9 經(jīng) S11 返還到點(diǎn)Sn 。此“直線”中間斷開、兩端發(fā)散，方程為Y=-Y 0 *X/f+Y 0。 如圖 1 。例 1: 用公式（ 3 ）、（ 4 ）計(jì)算并分析物點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)移至鏡面，其像的坐標(biāo)位置及大小變化。1 ）當(dāng)物點(diǎn)S 在高度為Y0 的無窮遠(yuǎn)處S0 時 ,其像S0 的位置為X= X 0 * f /(X 0+ f) = f /(1+ f /X0 )= f(當(dāng) X0 = - 時, f /X 0 趨于 0)Y= Y 0 * f /(X 0 + f) = 0(當(dāng) X0= - 時 , Y0 * f / (X 0 + f) 趨于 0)即 S0 的坐標(biāo)為(f, 0), 它的

7、像就是焦點(diǎn)F。2) 當(dāng)物點(diǎn) S 在 S3 (-4f, Y 0 )時 , X= -4f * f / (-4f + f) = 4f /3Y= Y0 * f / (-4f + f) = -Y0 /3像點(diǎn) S3 的坐標(biāo)為 (4f /3, -Y 0 /3) 。若把它看成一蠟燭，其像則為一縮小三倍的倒立實(shí)像。3) 同理可以算得 ,對物點(diǎn) S5 (-2f, Y 0 )有像點(diǎn) S5 (2f, -Y 0 )。其像為等高倒立實(shí)像。4) 物點(diǎn) S7 (-3f /2, Y 0) 有像點(diǎn) S7 (3f, -2Y 0 ) 。為放大二倍的倒立實(shí)像。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案5) 當(dāng)物點(diǎn) S 在 S9 (-f, Y 0 )時 ,像

8、點(diǎn) S9 的坐標(biāo)為X= -f * f / ( -f + f) = -Y=Y0 * f /( -f + f)= +像點(diǎn)被定位在直線Y=-Y 0 *X/f +Y0 的無窮遠(yuǎn)“端點(diǎn)”處。6) 當(dāng)物點(diǎn) S 在 S11 (-f /2, Y0 )時X= (-f /2) * f /(- f /2)+ f)= - fY= Y 0* f / ( (-f /2)+ f) = 2Y0即像點(diǎn) S11 (-f, 2Y 0 ),為一正立放大二倍的虛像。通過此例可清晰地看到，物點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)、兩倍焦距2f 外移至 f 和小于 f時，它的像從一焦點(diǎn)逐漸變?yōu)榈沽⒖s小實(shí)像、倒立放大實(shí)像，至無窮遠(yuǎn)，然后轉(zhuǎn)化為正立放大虛像的完整過程。凸

9、透鏡成像的數(shù)學(xué)模型公式(3) 、(4) 同時也證明了，任何線段的凸透鏡成像均為一“直線”。而當(dāng)線段跨越界面F 時，此直線便分裂成兩半，發(fā)散至無窮。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圖 2例 2. 利用凸透鏡成像的數(shù)學(xué)模型(3) 、 (4) ，精確畫出一跨越界面2F 的圓，和一跨越界面F 的三角形的凸透鏡成像。如圖2、圖 3 。只要設(shè)定圖形拐點(diǎn)坐標(biāo)，利用公式(3) 、(4) 計(jì)算出對應(yīng)像點(diǎn)坐標(biāo)，便可在直角坐標(biāo)系中精確描繪出它的圖像。需要精細(xì)的部位，可適當(dāng)增加幾個點(diǎn)。若使用“ EXCEL”或“幾何畫板”，則數(shù)據(jù)表和圖像可自動生成，更方便、快捷。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圖 32.使用凸透鏡成像的數(shù)學(xué)模型(3) 、 (

10、4) 不但可以計(jì)算出物像的精確位置, 也可以在已知物點(diǎn)的像的坐標(biāo)位置時, 尋找到物點(diǎn)的位置。解方程組 (3) 、 (4) ：可得X 0 = - X * f /(X- f)(5)Y0 = - Y * f /(X- f)(6)3. 用“ 凸透鏡成像的數(shù)學(xué)模型” 驗(yàn)證“ 高斯定理”：由圖 1 可見 ,此時 U=-X 0 , V=X,由公式 (3) ,1/U 十 1/V=1/(-X0 )十 1/X=1/(-X0) 十(X 0 十 f)/(X 0 * f)=(- f +X0+ f) /(X0 * f)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案= X 0 /(X 0 * f)= 1/ f這就是物距、像距和焦距之間的經(jīng)典凸透鏡成

11、像關(guān)系式“高斯定理”4. 在空間直角坐標(biāo)系中，若置透鏡于 OYZ 平面，光軸與 OX 軸重合。用建立平面凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型類似的方法，可得空間物體凸透鏡成像的數(shù)學(xué)模型。便可在空間直角坐標(biāo)系中精確繪出空間物體的凸透鏡成像。五 .結(jié)論 :1.本文突破了傳統(tǒng)透鏡成像作圖法的羈絆，通過在坐標(biāo)系中深入探究“線段的凸透鏡成像”規(guī)律,創(chuàng)建了全新的“凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型”。它可精確確定每一像點(diǎn)的位置及“無窮遠(yuǎn)”的方位。一切物體都可以此“凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型”繪制出“數(shù)據(jù)光路圖”，得到該物體的凸透鏡精確成像。從而為進(jìn)一步創(chuàng)建“空間物體凸透鏡數(shù)據(jù)成像”奠定基礎(chǔ)。2. 本文所建立的凸透鏡成像數(shù)學(xué)模型由于能精確地計(jì)算出物體像的位置, 可廣泛應(yīng)用于透鏡設(shè)計(jì)與誤差分析、精密光學(xué)儀器的研究、制造，并提供可靠數(shù)據(jù)和理論依據(jù)。3.