人教版必修五解三角形精選難題及其答案

1、人教版必修五“解三角形”精選難題及其答案人教版必修五“解三角形”精選難題及其答案一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1 .銳角力8c中，己知。=根，力=一則川+。2 + 3兒的取值范圍是（）A. （5, 15 B. （7, 15 C. （7, 11 D. （11, 152 .在48C中，角4B. C的對邊分別為a, b, c，且滿足sin/=2sinBcosC,則ABC 的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形3 .在48C中，乙力= 60。，b = l, S.abcW，則”2b+c的值等于 sin4-2sinB+sinC（）A.2B. -V3C. -V

2、3D. 2於3334.在力8c中，有正弦定理：三二吃二三二定值，這個定值就是力8c的外接圓 sinA sinB sinC的直徑.如圖2所示， DEF中，已知OE = DF,點M在直線E尸上從左到右運動（點 M不與從尸重合），對于M的每一個位置，記ADEM的外接圓而積與ADMF的外A. a先變小再變大B.僅當(dāng)時為線段ee的中點時，a取得最大值c. 4先變大再變小d. a是一個定值5 .已知三角形A8C中，AB=AC,nC邊上的中線長為3,當(dāng)三角形A8C的面積最大 時，AB的長為（）A. 2/5B. 3v6C. 2J3D. 129 . 在力BC中，若sinBsinC = cos?； 則力8。是()

3、A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10 .在力8c中，已知乙C = 60.a, b, c分別為乙4,乙B ,乙C的對邊，則三+=為 b+c c+a()A. 3 -2V3 B. 1仁3-2機或1 D. 3 + 2611 .設(shè)銳角ABC的三內(nèi)角A、8、C所對邊的邊長分別為“、氏c,且a = 1, B = 2A,則的取值范圍為()A. (V2, V3) B. (1, V3) C. (V2, 2) D. (0, 2)12 .在力BC中，內(nèi)角力，B, C所對邊的長分別為a, b, c，且滿足2bcos8 = acosC +ccosA,若b = yj3f則a + c的最大值為()

4、A. 2f3B. 3C. -D. 9二、填空題(本大題共7小題，共35.0分)13 .設(shè)/BC的內(nèi)角4, B, C所對的邊分別為a. b, c且acosC + gc = b，則角A的大 小為 :若a = 1，則力8c的周長/的取值范圍為 .14 .在/8C中，乙力，乙B,乙C所對邊的長分別為a. b, c.己知q +，5c = 2b, sinB = V2sinCt 則sin= .15 .已知力BC中，角A、B、C的對邊分別是、h c,若a b = ccosB ccos力，則 ABC的形狀是 .16 .在MBC中，若 =巴* 則/8C的形狀為 .b tanB17 .在力BC中，角A, B, C的

5、對邊分別為a, b, c，若(a - b)sin8 = asin力一 csinC, 且q2 + b2-6(a + b) + 18 = 0,則函就 + 記涓 + 27 通= .18 .如果滿足乙4BC = 60。，AC =12, 8C = Ze的三角形恰有一個，那么女的取值范圍是19 .已知心幺8。的三個內(nèi)角aB, C的對邊依次為a, b, c，外接圓半徑為1，且滿足鬻=等,則力8c而積的最大值為 三、解答題(本大題共11小題，共132.0分)20 .在銳角力BC中，a, b, c是角力，B, C的對邊，且的a = 2csin4.(1)求角C的大小：(2)若a = 2,且ABC的面積為學(xué)，求c的

6、值.21 .在力BC中，角力，B, C的對邊分別為a, b, c.已知asinB = Vbcos力.(1)求角A的大?。?2)若a =V7, b = 2,求力BC的面積.22 .已知48C中，內(nèi)角B, C所對的邊分別為a, b, c，且滿足asin/- csinC = (a - b)sinB.(1)求角。的大小：(2)若邊長c =6，求力BC的周長最大值.23 .已知函數(shù)f(x) = V3sinxcosx cos2% 一 ：, x E R.(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知力BC內(nèi)角力，B, C的對邊分別為a, b, c,且c = 3, f(C) = 0，若向量 m = (1

7、 r sin4)與元=(2. sinB)共線，求a, b的值.24 .已知力 8c 中，A B C f a = cosB , b = cosA, c = sinC(1)求ABC的外接圓半徑和角。的值；(2)求a + b+c的取值范圍.25 . 力BC中，用A, B, C的對邊分別是a, b, c且滿足(2a c)cosB = bcosC, (1)求角8的大?。?2)若4 ABC的面積為為學(xué)且b =怖，求a + c的值.26 .已知a, b. c分別為力BC的三個內(nèi)角力，B, C的對邊,a = 2且(2 + b)(sin月一 sinB) = (c b)sinC(1)求角A的大?。?2)求4月8c

8、的面積的最大值.27 .已知函數(shù)f (%) = 2cos2% + 2V3sinxcosx(x G R).(I)當(dāng)4 6 0,用時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：(11)若方程/() 1=1在40,芻內(nèi)恒有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)，的取值 范圍.28 .已知A、B、。是Zk/BC的三個內(nèi)角，向量沆=(cos力+ 1,避),元=(sin4, 1)， 且記/n：(1)求角A：(2)若l+sin2Bcos 2B-sin 2B-3,29 .在A8C中，角力，B , C的對邊分別是a，b, c,已知sinC+cosC = 1-sin?求sinC的值(2)若滔+b2 =4(a + b)-8,求邊c的值.3

9、0 .在力8c中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且滿足：(a + c)(sin4 sinC)= sinB(a b)(1)求角。的大小；()若c = 2,求a + b的取值范圍.1/1答案和解析【答案】.D2. A3. A4.05. A6. A l.D8.B9. B10. B11. A12. A13. 60； (2, 314.5415 .等腰三角形或直角三角形16 .等腰三角形或直角三角形17 . -y18 . 0 2故C=（2 = 2,且ABC的面積為卓，根據(jù)力 BC 的面超 Is = -acsinB = -X2XbXsin- = 2232解得：6 = 3.由余弦定理得 c2

10、= a2 + b2- 2abcosC = 4 + 9 - 2X3 = 7c = V7故得。的值為21.（本題滿分為14分）解：（1） v asinB = 3bcosA 由正弦定理得siivlsinB = 0sinBcos4 （3分） 又sinB = 0,從而tan月=V5.（5分）由于0 V 4 V 7T,所以4 = . （7 分）(2)解法一：由余弦定理=匕2 + ,2 - 2bccos4,而a =b=2,力=g (9分)得7 = 4 + c2 2c = 13, HJc2 2c 3 = 0.因為c0,所以c = 3.(11分)故4 /8C的而枳為S = gbcsin/ =乎.(14分)解法二

11、：由正弦定理，得急=亮 從而sinB =U，（9分） 又由a b知A B,故sinC = sin(/4 + 8) = sin(B + -) = sinBcos- + cosBsin-=5更,(12分) 33314所以 48c的面積為bcsinA =尊.(14分) 22.解：(1)由已知,根據(jù)正弦定理,asinA csinC = (a b)sinB得，a2 c2 = (a KPa2 +b2 c2 = ab.由余弦定理得cosC = 二： 2ab 2又C 6 (0 , n).所以c = 3.(2) v C = - / c = V3/ A + B = 33a b y 3c27rA 7 = -J =

12、2 可得：a = 2sinH, b = 2sinB = 2sin(7 一 力)， ，2 a + b + c = y/3 + 2sh4 + 2sin(學(xué)一A)=V3 + 2sinA + 2(? cos 月 + |sin4)=2 岳 in(A + -) + /3 6 由OVHV 且可知，-1 + -,可得：-l + -)l. 366626 a +b + c的取值范圍(26，3問.23 .解：(1)由于函數(shù)f(x) = V5sinxcosx cos?% = = ：sin2x 上=sin(2x 2 - 1,故函數(shù)的最小值為-2,最小正周期為學(xué)=見(2)M8C中，由于f(C) = sin(2C l =

13、0,可得2C -:. C =三.人教版必修五“解三角形”精選難題及其答案再由向量記=(1/ sin4)與元=(2, sinB)共線可得sinB 2sin4 = 0. 再結(jié)合正弦定理可得b= 2a,且8 = 丁一力.故仃sin(三 /) = 2sin/,化簡可得tan/=1，二 / = ” :. B =?.再由=2=-可得= Ar =sinA sinB sinC sinT sinT sinT OerO解得a = /3/ b = 23.24 .解：(1)由正弦定理三=2R = 1, ，R = sm c乙再由 a = cos8, b = cos A,可得卻 =匯與，故有 siivlcos?! = s

14、in8cos8, sirvl smB即 sin2 力=sin2B.再由力B C,可得2月+ 2B =n,.C =三.(2)由于a + b + c = cosB + cosA + sinC = sinA + cosA + 1 =夜 sin(4 +：) + 1.再由ova VI 可得土 力 + 三 三，sin0 +-) 、44224,2 0/ . cosB =又0 V 8 V 兀，則8 = (2)/8C的面積為誓,sinB = sin：=生，1, V3- T7 16 n7rl/. S = -acsinB = ac =,ac = 3，乂b = V3，cosB = cos- = -t 24432由余弦

15、定理b? = a2 + c2 - 2qccos8得：a2 + c2 ac = (a + c)2 3ac = (a + c)2 9 = 3,(a + c)? = 12,則a + c = 2/3 26.解:(1) A 月8C中， a = 2,且(2 + b)(sin4 sinB) = (c b)sinC,利用正弦定理可得(2 + b)(a - b) = (c b)c,即產(chǎn)+ c2 -加=4,即接+c2-4 = bc, b2+c2-a2 be 1： cosA =-，(2)再由b2 +一 be = 4,利用基本不等式可得4 2bc bc = be, be 4,當(dāng)且僅當(dāng)b = c=2時，取等號，1/1人

16、教版必修五“解三角形”精選難題及其答案此時，力8c為等邊三角形，它的面積為Ucsin力= -X2X2X =如， 222故A8C的面積的最大值為：V3.27 .解：(7)/(%) = 2cos2% + 2V3sinxcosx = cos2x + /3sin2x + 12sin(2x +-) +1 6令-+ 2kn 2% + - +2kn(k E Z) 26解得：kn-xkn + keZ) oo由于X G 0/ nf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：0, B和g，n.(H)依題意：由2sin(2x + $ + l = t + l解得：t = 2sin(2x +設(shè)函數(shù)月=t與刈 = 2sin(2x +3由于在

17、同一坐標系內(nèi)兩函數(shù)在工 0, 內(nèi)恒有兩個不相等的交點.因為：xE0,3所以：2%+臺后，y根據(jù)函數(shù)的圖象:當(dāng)2x +占礙，sin(2x + ) G 1 W 1，2當(dāng)+馬時，sin(2x+W，1, te -1, 2所以：1 t 228 .解：(1) v m/n , y/SsinA cosA = 1, 2(sin力 : cosA :) = 1., sin(A ：) = ： 0V/V7T, 一汴/一汴手. n n . n，A= 力 =-(2)由題知_3(cosB+sinB)2(cosB+sinB)(cosB-sinB)-31/1cosB+sinB -=-3cosB-si nB1+tanB - -er

18、=-3， tann = 2. 1-tanB tanC = tan7r (4 + B) = tan(4 + B) = 29.解：(1) v sinC + cosC = 1 - sinc c o c2C2C2 2sin cos + 1 2sin2 = 1 - sin?C CC 2sin 2sin cos =sin222CCC 2sin (sin cos )=sin/CC1 sin cos =-222CC1 sin2 sinC +cos2 =一2243 sinC =-4(2)由sing - cos| =0得彳V三 vg即: C nV7cosC =4v a2 +b2 = 4(a + b) - 8(a

19、2)2 + (b - 2)2 = 0 a = 2, b = 2由余弦定理得 c? = a2 + b2 2abcosC = 8 + 2V7 c = 1 + /7 30.(本題滿分為12分)解：(/)在4 月8c中，(a + c)(sinH - sinC) = sinB(a b),工由正弦定理可得：(a + c)(a - c) = b(a b)9 BPa2 + b2 c2 = abf .(3)，cosC =一， 2由。為三角形內(nèi)角，C = g.（6分）()由(1)可知2R = ；=1 = M，(7分) a + b = (sinA + sinB)=券sinA + sin(A + ?)=等(：sin4

20、 +；cos 力)=4sin(i4 +1)(10 分)V 0 24 3 .2力+乙笆， 666 1 sin(i4 + 3)4 1, 2 4 + ) 4a + b的取值范圍為(2, 4.(12分)【解析】1 .解：由正弦定理可得，*=總=竟E=2,2 b = 2sin8, c = 2sinC 為銳角三角形， . 0 B 90, 0 C 90。且8 + C = 120, 30。V 8 V 90v be = 4sinBsin(120 B) = 4sin8(：cosB + sinB)=2/3sinBcosB + 2sin2B = V3sin2B + (1 - cos2B) = 2sin(2B 30)

21、+ 1,v 300 V B V 90, 30 V 28 30 150。，a isin(2B-30) 1,a 22sin(2B-30) + l4,即2 bc所以sin8cosc sinCcosB = 0,即sin(B C)=。，因為力，B, C是三角形內(nèi)角，所以B = C.三角形為等腰三角形.故選：A.通過三角形的內(nèi)角和，以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡方程，求出角的關(guān)系，即可判斷三 角形的形狀.本題考查兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，三角形的判斷，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3 .解：v z_A = 60 b = 1, S6ABe = V3 = besinA = ：XlXcX： c = 4, a2x2xXx

22、4x2sine = 71 - cos =一9廣貨4x-根據(jù)公式三角形而積5 = 5bsin6 =乙X 2“ 2./9?。? =尸, 24-2.當(dāng)/ = 5時，三角形而積有最大值.此時 = Vs.A8 的長：2V5. = b2 + c2 - 2bccosA = 1 + 14 2X1X4x9=13,2 a = fl3ta-2b+c _ a _ .1? _ 2 頻sinl-2sinB+ sinC si nA3 2故選：A.先利用而積公式求得c的值，進而利用余弦定理可求a,再利用正弦定理求解比值.本題的考點是正弦定理，主要考查正弦定理的運用，關(guān)鍵是利用面積公式，求出邊，再 利用正弦定理求解.4 .解：

23、設(shè)ADEM的外接圓半徑為的外接圓半徑為&，則由題意，塔=九點M在直線EF上從左到右運動（點M不與邑F重合），對于的每一個位置，由正弦定理可得：rV，又DE = DF, sin乙DME = sin乙DMF，可得：Rl =r2,可得：A=l.故選：D.設(shè)ADEM的外接圓半徑為DMF的外接圓半徑為&，則由題意，震=義，由正弦定理可得：R =淙，& =結(jié)合DE = DF，sinZDME = sinDMF，可得入=1,即可得解.本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用, 屬于基礎(chǔ)題.5 .解：設(shè)力8 = AC = 2xt AD = x.設(shè)三角形的頂角仇則由余弦定理得C

24、OS。=（2x）2+x2-9 _ 5%。9故選：4設(shè)力8=力。=2%,三角形的頂角8,則由余弦定理求得cos。的表達式，進而根據(jù)同角三 角函數(shù)基本關(guān)系求得sin。，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形而積的表達式，根據(jù) 一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得而積的最大值時的即可.本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函 數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運算能力.運算量較大./ Azi 一sinB 1-cosB.一6 .解：力BL|， b = c, =， /. sinBcosA +sinA cosAcosBsinA = sinH,即si

25、n（力 + 8） = sin（7T C） = sinC = sinA.A = C, 又b = c, .ABC為等邊三角形.A SoACB = Su。 + S,abc=L 0力 OB - sine + -AB2 -sin- = X2 Xl X sin6 + （O + OB2 - 20A OB 223 24 vCOS0）=sin6 73cos6 += 2sin（0 三）+434OV6V7T,.一563a, bsinA 1, xsin30 a, bsiMVa,即可確 定出x的范圍.此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，畫出正確的圖形是解本題的關(guān)鍵.A8 .解：由于通+就=2言，由向量加法的幾何

26、意義，電/。為邊BC中點，/8C的外接圓的圓心為。，半徑為1,E /L0 2.，三角形應(yīng)該是以3c邊為斜邊的直角三角形，48月C = p斜邊BC = 2,又|麗=|就|，a AC = 1， AB = 7BC2-AC2 = g-M =汽,Sabc = 7 x |/B| X AC = X 1 X V3 =.故選：B.由萬+AC = 2而，利用向量加法的幾何意義得出 ABC是以A為直角的直角三角形, 又|三| = |前|，從而可求|AC|, |/8|的值，利用三角形面積公式即可得解.本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，三角形而積的求法，屬于基本知識的考查.9.解：由題意sinBsinC =之二 即 sin

27、BsinC = 1 cosCcosB, 亦即 cos(C - 8) = 1,* C9 B G (0 9 7i),* C = B,故選：B.利用cos?g =上箸可得sinBsinC 二卡,再利用兩角和差的余弦可求.本題主要考查兩角和差的余弦公式的運用，考查三角函數(shù)與解三角形的結(jié)合.屬于基礎(chǔ) 題.i n hji a2b2-c2110.解：ab = a2 +b2 - c29_a_b_ _ 所+? +匕-+* _ 不+戶+9+匕)._ 1匕+c c+a ab+(a+b)c+c2 a2+b2+(a+b)c故選民先通過余弦定理求得ab和+ / - c2的關(guān)系式對原式進行通分，把ah的表達式代入 即可.本

28、題主要考查了余弦定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是找到a, b和c的關(guān)系式.11.解：銳角力BC中，角A、B、C所對的邊分別為N 反以8 = 24 0 V2力V?,且B+力=3463 一 cosA 4 asi nA V2 2cosA 於，則的取值范圍為（V5, V3）.故選A由題意可得0V2/V9且13/ 2ac - ac = ac,二即有：ac = 3 + 3ac 12,a + c的最大值為2vl.故選：A.利用正弦定理化邊為角，可求導(dǎo)cosB,由此可得B,由余弦定理可得：3 = a2+c2-ac, 由基本不等式可得：ac3,代入：3 = （。+4cosC + 2cosnsinC, sinC = 2c

29、os力sinC,即sinC（2cos力-1） = 0,由sinCWO,得到cos力=g,又A為三角形的內(nèi)角，則4 = 60。；V a = 1, sini4 = , B + C = 120S 即C = 120-B，sin(120 8),2si nAsinB sinC 3則 HBC 的周長 I = a+b + c = l+ -sinB + sin(120 B).2V3 ,3 . D . V3 、=1 + -y-QsinB + cosB)=1 + 2dsin8 + / cosB)=1 +2sin(8 + 30),v 0 B 120 30 V 8+30 V 150，,? sin(B + 30) 1,即

30、2 V 1 + 2sin(B + 30) 8用時,三角形無睇、(2) AC = BCsinZ.ABC,矽 12 = Asin60,即k = 8M時,三角形有、解 (3)BCsinABC AC BC, Win60 12 k, SP12 k8梅，三角形有2個解;(4)當(dāng)0V8C4/C,即0VLK12時，三角形有1個解.綜上所述：當(dāng)0 V k412歐=8梅時，三角形恰有一個解.故答案為：0 V k lcosB + cossinB = sin(A + 8) = sinC = 2sinCcos4 .cos/ 即Tb2+c2-a21 COSA =一，2bc 2 be = b2 + c2 - a2 = b2

31、 + c2 - (2rsin4)2 = b2 + c2 3 2bc 3, 3(當(dāng)且僅當(dāng)b = c時，取等號)，ABC而積為S = -besinA - X 3 X =2224則力8c面積的最大值為：逋.4故答案為：” 4利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡己知等式的左邊，利用正弦定理化簡已知的等式右 邊，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0,可得出 cos/的值，然后利用余弦定理表示出cos4根據(jù)cos4的值，得出兒=川+。2一。2,再 利用正弦定理表示出“，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡后，再利用基本不等式可得出兒 的最大值，進而由si1的值及be的最大值，利用三角形的

32、面積公式即可求出三角形ABC 面積的最大值.此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式， 誘導(dǎo)公式，三角形的而積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題 的關(guān)鍵，屬于中檔題.20 . (1)利用正弦定理可求角C的大小(2)直接利用4 /8C的面積S = gacsinB求解出b,再用余弦定理可得.本題考查了正弦定理，余弦定理的運用和計算能力.21 .由弦定理化簡已知可得sin4sin8 = 3sinBcosA 結(jié)合sinB H 0,可求tanX =悔， 結(jié)合范圍OV/Vtt,可求A的值.(2)解法一：由余弦定理整理可得：c2-2c-3 = 0.即可

33、解得。的值，利用三角形面積 公式即可計算得解.解法二：由正弦定理可求sinB的值，利用大邊對大角可求8為銳角，利用同角三角函數(shù) 基本關(guān)系式可求cosB,利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC,進而利用三角形面積公式 即可計算得解.本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，大邊對大角，同角三角函數(shù)基 本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題. 22. (1)通過正弦定理化簡已知表達式，然后利用余弦定理求出。的余弦值，得到。的 值.(2)由已知利用正弦定理可得a = 2siM, b = 2sin( 一，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求a+b + c =

34、2bsinp+2+福，根據(jù)4+的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象 oO和性質(zhì)得到結(jié)果.本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的值的求法，以及三角函數(shù)恒等變換的 應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.23. (1)化簡函數(shù)f(x)的解析式為sin(2x - l,可得函數(shù)的最小值為2,最小正周 期為日.(2)2A8C中，由f(C) = sin(2C - 1 = 0,求得C = g.再由向量記=(1, sin/)與元= (2, sinB)共線可得sinB - 2sin/= 0,再由B =芋一/可得sin(半一4) = 2sin/l,化簡求 得4=，故8 =千,再由正弦定理求得如的值. O乙本題主要考查兩角和差的正弦公式、正弦定理、兩個向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題.24. (1)由正弦定理求得外接圓半徑R.再由a=cos8, b = cosA，可得鬻=篝，化簡 得 sin2 力=sin2B.再由/VBVC,可得24 + 28 =，由此可得C的值.(2)由于。+ b + c = cosB + cosA + sinC =慮sin(4 + g) + L再由。V n V g,利用正弦 函數(shù)的定義域和值域求得sin(A + 1 V V7+