求數(shù)列通項(xiàng)八法

1、八法求通項(xiàng)湖北 何先付一、歸納法：觀察所給數(shù)列每一項(xiàng)的特點(diǎn)，分析項(xiàng)數(shù) n 與數(shù)值 an 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找出規(guī)律：一是找出每項(xiàng)中與項(xiàng)數(shù)無關(guān)的因素， 讓其保持不變； 二是找出隨項(xiàng)數(shù)變化的因素與項(xiàng)數(shù) n 的聯(lián)系，寫出通項(xiàng)公式，再代回檢驗(yàn)，如有不符適當(dāng)調(diào)整。當(dāng)然正確與否還要用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。例 1、11 ，13 ， 15 ，17， 22426282解析：觀察整式部分為 1；分母為偶數(shù)2n 的平方；分子為奇數(shù)2n-1；符號(hào)奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)偶為負(fù)可用 (-1)n-1 表示，因而通項(xiàng)為 an1 ( 1) n 1 2n21 .(2n)例 2、 1，2+3，4+5+6， 7+8+9+10，11+12+13

2、+14+15， 解析：它為自然數(shù)列的前 n 項(xiàng)的和 Sn 被分成第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)為后兩項(xiàng)的和，第三項(xiàng)為后三項(xiàng)的和，依此類推 a11， 216 3，410 6，3 1，3=S a =S -S a =S -S a =S -Sa5=S15-S10， ，注意到 S 的腳標(biāo)，歸納得anS1 2 3nS123n 1Sn( n 1)Sn (n 1)22n( n1) n(n 1)n(n1)n(n1)2(21)2(21)n( n21).222二、定義法：若能根據(jù)條件先判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可用公式：an=a1+(n-1)d 或 an=a1qn-1 求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。例 3、已知數(shù)列 a n 滿

3、足 a1=1， an 12an(nN*) ，求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公an2式。解析：在 an 12an兩邊取倒數(shù)，得11 1111，所以an 2an 12 anan 1an2數(shù) 列 1 為 等 差 數(shù) 列 ， 公 差 為 d1，首項(xiàng)為 11， 因 此an2a111 (n 1) 1 n 1 ，故 an2 。an22n 1例 4、已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且有 a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解析：由 3Sn=5an-an-1+3Sn-1，得 3（Sn-Sn-1）=5an-an-1，即 3an=5an-an-1，所以an1， 數(shù) 列 a n

4、為 等 比 數(shù) 列 ， 公 比 為 q1， 首 項(xiàng) 為 a1=2， 故an 122an2 (1 )n 1( 1) n 2 。22三、公式法：若知道一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)形式， 則可根據(jù)題目條件，確定待定系數(shù)，從而求出其通項(xiàng)公式。例 5、設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和是 Sn，bn= 1 ，且 a3 b3= 1 S3 +S5=21。求Sn2數(shù)列 an 和 b n 的通項(xiàng)公式。解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和公式，得11a11(a1 2d )23a1 3dd.(3a13d) (5a110d )211所以 an=1+(n-1)=n， bn112。Snn(n1) n( nn1)2四、前 n

5、項(xiàng)和法：時(shí)， nnn-1；驗(yàn)證所得的通項(xiàng)公確定當(dāng) n=1 時(shí)， a1 1；推出2=Sna =S -S式， n=1 時(shí) an 與 1 的關(guān)系，若1適合 時(shí)， n 的表達(dá)式，則可合并，否則寫aan2a成 ana1 (n1)=SnSn 1 ( n 2)例 6、設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和是 Sn=3n2-n（nN*），求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。解析：當(dāng) n=1 時(shí)， a1= S1=2；當(dāng) n 2 時(shí)， an=Sn-Sn-1=(3n2-n)-3(n-1) 2-(n-1)=6n-4.些式對(duì) n=1 也適用。所以 an=6n-4.例 7、已知數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和是 Sn，且滿足 a1= 1 ，

6、an=-2Sn Sn-1（n2）。2求數(shù)列 1 是否為等差數(shù)列？請(qǐng)證明你的結(jié)論。Sn解析：因an=Sn-Sn-1 ，所以Sn -Sn-1= -2Sn Sn-1 ，兩邊同除以-Sn Sn-1 ，得1 11 ，所以數(shù)列 1 為等差數(shù)列。SnSn 12Sn五、累差法：，則可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求n ；若若 ann-1常數(shù)n1a -a-a =d()a =a +(n-1)d-aa=f(n)(與 n 有關(guān)的式子 )，則可用累差法： a=（a -a ） +（ a）+ +n n-12）（ 2nn n-1n-1 n-2（ a3+1） 1 求 n 。-aa -a +aa1(n2) ，求數(shù)列 a n 的通例 8、已

7、知數(shù)列 a n ，滿足 a1=1，an =an-1 +n( n1)項(xiàng)公式。解析：由條件，知 ann-1111，所以-a=-n(n 1)n1 nan =（ an-an-1）+（an-1-an-2）+（ a3 -a2）+ （a2-a1）+a1（1 1） +（11）+ +（11）+（11）+1=2-1=-2-1-.n 1 nn 2 n 132n六、累商法：若 an=q(常數(shù)，則可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式n 1 n-1求 an；若 an=f(n)(與an 1)a =a qan 1n 有關(guān)的式子 )，則可用累商法：nan· an 1· · a3· a2·a1

8、 求 n 。a =an 1an 2a2a1a2 2例 9、設(shè) a n 是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且（ n+1）an+1 -n an + an+1an=0(n=1，2，3， )，求它的通項(xiàng)公式。解析：原式可分解為（ an+1 +an）（n+1）an+1-n an=0 ，因an 為“正項(xiàng)數(shù)列”，所以（ n+1） an+1n ，從而 an 1n，故-n a =0n1annan·an 1· ·a3·a21n 1·n 2· ·2·1· 1=1a =an 1an 2a2a1·a=n 132.nn七、遞推法：

9、若給出數(shù)列的遞推公式， 則可適當(dāng)遞推得出所要的結(jié)論， 再轉(zhuǎn)化處理。 但要特別注意，在遞推時(shí)， n 的取值范圍的變化。例 10、(2004 全國高考卷 I，理 15) 已知數(shù)列 an ，滿足 a1=1，an =a1 +2a2 +33n-1n 的通項(xiàng) an1n1a + +（n-1）a(n 2) ，則數(shù)列 a_n2解析：由條件遞推，得 an-1 123（n-2） n-23) =a+2a +3 a +a (n-，得 ann-1n，所以 nn-1，即 ann(n3)，- a=(n-1)aa =naan 1又由，知 a21，=a =1所以 an=an· an1· · a3 &

10、#183; a2=n(n-1)×3(n3)ana24an121n1,21n1an=n(n 1)432n(n1)4 3n3n!222n例 11、（2005 山東濟(jì)寧一模， 18）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 a n 中，Sn 是a 與 1 的等差中項(xiàng)，其中 S 是其前 n 項(xiàng)和，求數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式。nnn解析：由條件，得 2Snan14Snan22an1 遞推，得4Sn 1an212an11 （ n 2） -，得 4( SnSn1 )an2an212an2an1即 4an an2an2 12an2an 12(anan 1 ) (anan 1 )( anan 1 )因數(shù)列 a n 各項(xiàng)均為正數(shù)，所以 an an12 （n2），從而數(shù)列 a n 為等差數(shù)列，公差為 d=2，由，令 n=1，注意到 S11，可求得1 。=aa =1故 an=1+(n-1)× 2=2n-1.八、待定系數(shù)法：若已知an+1=pan+q，則可設(shè)an+1+x=p(an+x) ，展開合并，比較對(duì)應(yīng)系數(shù)，得xq， 故 an 1qp(anq ) ， 所 以 數(shù) 列 anq 是 首 項(xiàng) 為p1p1p 1p 1a1q，公比為 p 的等