復(fù)數(shù)講義(絕對經(jīng)典)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念1 虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于1 ，即 i 21 ；（ 2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立（ 3） i 與 1 的關(guān)系 :i 就是 1的一個(gè)平方根，即方程x21 的一個(gè)根，方程x21 的另一個(gè)根是 -i （4） i的周期性：i 4n 1i ， i 4n 21 ，i 4n 3i ，i 4 n1 實(shí)數(shù) a( b0)2 數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)abi 虛數(shù) a bi( b0)純虛數(shù)bi( a0)0)非純虛數(shù) abi( a3 復(fù)數(shù)的定義：形如a，R )的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部， b 叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做bi( a b復(fù)數(shù)集，用字

2、母C 表示4 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 :通常用字母 z 表示，即 za bi (a ，bR) ，把復(fù)數(shù)表示成 abi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式5 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0 的關(guān)系：對于復(fù)數(shù) a bi( a ，bR) ，當(dāng)且僅當(dāng)b0時(shí)，復(fù)數(shù) abi( a ，bR) 是實(shí)數(shù) a ；當(dāng) b 0 時(shí)，復(fù)數(shù)z abi 叫做虛數(shù)；當(dāng) a0 且 b0時(shí)， zbi 叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng) a b 0 時(shí)， z 就是實(shí)數(shù) 06 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N 苘ZQ 苘 RC7 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等這就是說，如果 a ，a ，b ，d ，c ， dR ，那么

3、 abicdiac ， bd文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)二、復(fù)數(shù)的幾何意義1 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)z，R )與有序?qū)崝?shù)對a ，b 是一一對應(yīng)關(guān)系 建立一一對應(yīng)的關(guān)系點(diǎn)Z的橫坐a bi( a b標(biāo)是 a ，縱坐標(biāo)是 b ，復(fù)數(shù) zabi( a ，bR ) 可用點(diǎn) Z a ，b 表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x 軸叫做實(shí)軸，y 軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)2 對于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為0 ，0，它所確定的復(fù)數(shù)是z 0 0i 0表示是實(shí)數(shù)除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)3復(fù)數(shù) z a bi一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z (a ，b)這就是復(fù)數(shù)的一種幾

4、何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1 復(fù)數(shù) z1 與 z2 的和的定義：z1z2abicdiacbd i2 復(fù)數(shù) z1 與 z2 的差的定義：12a bic dia cb d izz3 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1z2z2z14 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律: ( z1z2 )z3z1( z2z3 )5 乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè) z1abi ， z2c di ( a 、 b 、 c 、 dR ) 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積 z1 z2abic diacbdbcad i其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i 2換成 1 ，并且把實(shí)部與虛部分別合并

5、兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)6 乘法運(yùn)算律：（1） z1 z2 z3z1z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z1 z2z3z1 z2z1 z37 復(fù)數(shù)除法定義：滿足 cdix yiabi 的復(fù)數(shù) xyi ( x 、 yR ) 叫復(fù)數(shù) abi 除以復(fù)數(shù) c di 的商，記為：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(a bi)c di 或者 abicdi8 除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù) abi (a、 bR ) ，除以 cdi(c ， dR ) ，其商為 xyi （ x 、 yR ) ，即 ( abi)cdixyi xyicdicxdydxcy i cxdydxcy iabixacbdcxdya2

6、2由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個(gè)方程組，得cd，dxcyb，bcadyc2d 2于是有 :(abi)cdiacbdbcadc2d22d2ic利用 cdicdic2d2 于是將 abi 的分母有理化得：cdi原式abi(abi)( cdi) acbi(di)(bcad )icdi(cdi)( cdi)c2d 2(acbd )(bcad)iacbdbcadc2d2c2d2c2d2 i ( (a bi)cdiacbdbcadi22c22cdd點(diǎn)評 : 是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù) cdi 與復(fù)數(shù) cdi ，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的32 的對偶式32 ，它

7、們之積為1是有理數(shù)，而cdicdi22把這種方法叫做分母cd是正實(shí)數(shù)所以可以分母實(shí)數(shù)化實(shí)數(shù)化法9 共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0 的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例題精講1 復(fù)數(shù)的概念【例 1】 已知aia，b 的值分別為（）12 bi(i 為虛數(shù)單位），那么實(shí)數(shù)i3A2，5B -3，1C-11D2，2【答案】 D【例 2】 計(jì)算： i 0! + i 1! + i 2! + i 100!（ i 表示虛數(shù)單位）【答案】 952i【解析】 i 41 ，而 4 | k! （ k4 ），故 i 0!+ i 1! + i 2! + i1

8、00!i i ( 1) ( 1) 1 97 95 2i【例 3】 設(shè) z(2t 25t3)(t 22t2)i ， tR ，則下列命題中一定正確的是（）A z 的對應(yīng)點(diǎn) Z 在第一象限B z 的對應(yīng)點(diǎn) Z 在第四象限C z 不是純虛數(shù)D z 是虛數(shù)【答案】 D22t 2(t210【解析】 t1)【例 4】 在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；若 ( x21) (x23x 2)i 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x1 ； z 是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是z zR ；若 a ，b 是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則( ab)( ab)i 是純虛數(shù)； zR 的一個(gè)充要條件是zz z1 的充要條件是 z1 zA 1B

9、2C 3D 4【答案】 B【解析】 復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)， 可以比較大小， 錯(cuò)； x1 時(shí)，22，錯(cuò)； z 為實(shí)數(shù)時(shí)，( x1) ( x 3x 2)i 0也有 zz R ，錯(cuò)； ab0 時(shí)， (ab)(ab)i0 ，錯(cuò)；正確2 復(fù)數(shù)的幾何意義文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【例 5】 復(fù)數(shù) zm2i（ mR ， i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）12iA第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】 A【解析】 由已知 zm2i(m2i )(12i )112i(12i )(12i )( m 4) 2(m 1)i 在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)如果在第一象限，則5m 4 0 ，而此不等式組無解即在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第

10、一象限 m 1 0【例6】若3 ，5 ，復(fù)數(shù) (cossin)(sincos )i 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（）44A第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】 B【解析】 結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)3 ，5 時(shí)， cossin0 ，sincos0 44【例 7】 如果復(fù)數(shù) z 滿足 zi z i2 ，那么 zi 1的最小值是（）A 1B 2C 2D 5【答案】 A【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面的對應(yīng)點(diǎn)為Z ，因?yàn)?ziz i 2 ，所以點(diǎn) Z 的集合是y 軸上以 Z1 (0 ，1) 、 Z 2 (0 ， 1) 為端點(diǎn)的線段z i 1 表示線段 Z1Z2 上的點(diǎn)到點(diǎn) ( 1， 1) 的距

11、離此距離的最小值為點(diǎn)Z2 (0 ， 1)到點(diǎn) ( 1， 1)的距離，其距離為1【例 8】 滿足 z1 及 z1z3 的復(fù)數(shù) z 的集合是（）22A13 i ， 13 iB111122i ，i222222C22 i ， 22 iD 13 i ，13 i22222222【答案】 D【解析】 復(fù)數(shù) z 表示的點(diǎn)在單位圓與直線x1z1z31 ，與點(diǎn)3 ，的距離上（2表示 z 到點(diǎn)002222相等，故軌跡為直線x1 ），故選 D2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【例 9】 已知復(fù)數(shù) ( x2)yi( x ，yR ) 的模為3 ，則 y 的最大值為 _x【答案】3【解析】 x2yi3 ，yOCx ( x2)2y23 ，故 (

12、 x，y) 在以 C(2 ，0) 為圓心，3 為半徑的圓上，y 表示圓上的點(diǎn) ( x， y) 與原點(diǎn)連線的斜率x如圖，由平面幾何知識(shí)，易知y 的最大值為3 x【例 10】復(fù)數(shù) z 滿足條件：2 z1zi ，那么 z 對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線【答案】 A【解析】 A；設(shè) zx yi ，則有 (2 x1) 2 yi x ( y1)i ，2222，(2 x 1)(2 y)x( y 1)22化簡得：x2y15 ，故為圓339【點(diǎn)評】 zz0的幾何意義為點(diǎn)z 到點(diǎn) z0 的距離； zz0r (r0)中 z 所對應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)z0 所對應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為r 的圓上的點(diǎn)【例 11】復(fù)

13、數(shù) z1 ， z2 滿足 z1 z20， z1 z2z1z2 ，證明：z120 z 22【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z1 ， z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為Z1， Z2，由 z1z2z1z2 知，以 OZ1， OZ2為鄰邊的平z1z22 22行四邊形為矩形，OZ1OZ 2 ，故可設(shè)ki( k R， k0)，所以1k ik0 zz222也可設(shè) z1a bi ，z2cdi ，則由向量 (a ，b) 與向量 (c ，d ) 垂直知 acbd0，z1a bi(acbd )(bc ad)ibcad2z120 ，故z10 z2c di2d2c2d2 i2z2cz2【例 12】已知復(fù)數(shù) z1 ， z2滿足 z17 1 ，

14、 z27 1 ，且 z1z24 ，求 z1與 z1 z2 的值z2【答案】47 i ； 43【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z1 ， z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為Z1， Z2 ，由于 (71)2(71)242 ，222故 z1z2z1z2 ，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)故以 OZ1， OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而OZ1OZ 2，則 z171i47i ；z2713z1 z2z1 z24 【例 13】已知 z1 ，z2C ， z1z2 1 ， z1 z23 ，求 z1z2 【解析】 設(shè)復(fù)數(shù) z1，z2 ， z1z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為Z1 ，Z2，Z 3 ，由 z1z21知，以 OZ1 ， OZ2 為鄰邊的平行四邊形是

15、菱形，記O 所對應(yīng)的頂點(diǎn)為P ，由 z1 z23 知，PZ1O 120 （可由余弦定理得到） ，故Z1OZ260 ，從而 z1z21 【例 14】已知復(fù)數(shù) z 滿足 z (23i)z (23i)4 ，求 dz 的最大值與最小值【答案】 dmax221， d min13【解析】 設(shè) zxyi ，則 ( x，y) 滿足方程 ( x2)2y214dxyx41(x2) 3x228 ，8222233又 1 x 3 ，故當(dāng) x1，y0 時(shí)， dmin1；當(dāng) x8 ，y2 5時(shí)，有 d max2 213333 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【例 15】已知 mR ，若 (m664i ，則 m 等于（）mi)A 2B 2C

16、2D 4【答案】 B【解析】 (m mi)663662 m (2i)8im64i m 8 m【例 16】計(jì)算： (22i )12( 2 3i)100( 13i )9(123i )100【答案】 51121212(i100126【解析】 原式(1i)2 3)2(2i)193 i) 91003 i) 9 ( i)1002151129 (1 i(i23)29 (12222【例 17】已知復(fù)數(shù) z1cosi ， z2sini ，則 z1 z2 的最大值為（）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)A 3B 2C 6D 322【答案】 A【解析】 z1 z2(cosi)(sini)(cossin1)(cossin )i(cos s

17、in 1)2(cos sin )2cos2sin 221sin22 2，4故當(dāng) sin 21 時(shí)，z1z2有最大值123 42【例 18】對任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z ，定義集合 M z w | wnN z ，n（）設(shè) z 是方程 x10 的一個(gè)根，試用列舉法表示集合M z 若在 M z 中任取兩個(gè)數(shù)，求其和x為零的概率 P ；（ 2）若集合 M z 中只有3 個(gè)元素，試寫出滿足條件的一個(gè)z 值，并說明理由【答案】（ 1） 1 ；（ 2） z13i 322【解析】 （ 1） z 是方程 x210的根， zi 或 zi ，不論 zi 或 zi ， M z i ，i2，i3 ，i4 i ， 1， i ，1

18、，于是 P21C423（2）取 z13 i ，則 z213 i 及 z31 2222于是 M z z，z2 ，z3 或取 z13i （說明：只需寫出一個(gè)正確答案）2225x6(x2)i0 【例 19】解關(guān)于 x 的方程 x【答案】 x1 3 i ，x2 2 25x60x或x3【解析】 錯(cuò)解：由復(fù)數(shù)相等的定義得x22 x20x2x分析：“ a bi c diac ，且 bd 成立” 的前提條件是 a ，b ，c ，dR ，但本題并未告訴x 是否為實(shí)數(shù)法一：原方程變形為x2(5i) x62i0 ，(5i) 24(62i)2i(1 i) 2 由一元二次方程求根公式得x1(5i) (1i)i， x2(

19、5 i)(1i)2322 原方程的解為x13i ， x22 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)法二：設(shè) xabi( a ，bR) ，則有 (abi) 25(abi) 6( abi2)i0 ，(a2b25ab6) (2 ab 5ba2)i0a2b25a b 6 02ab 5ba20，由得： a5b2，代入中解得：a3或 a2 ，2b1b1b0故方程的根為 x13i ，x2 2 【例 20】已知22， z2(x2a)i ，對于任意 xR，均有 1az1xix12 成立，試求實(shí)數(shù)的取值范zz圍【答案】 a1，12【解析】 z1z242122， xx( xa) ， (12(120對 xR 恒成立2a)xa )當(dāng) 12a0

20、，即 a1 時(shí)，不等式恒成立；2當(dāng) 12a0 時(shí)，12 a01 a1 4(12a)(1a2 ) 02綜上， a1，12【例 21】關(guān)于 x 的方程 x2(2ai )xai10 有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍【答案】 a1【解析】 誤： 方程有實(shí)根，(2 ai )2ai )2504(14a解得 a 5或 a 522析：判別式只能用來判定實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的情況，而該方程中 2a i與 1ai 并非實(shí)數(shù)正：設(shè) x0 是其實(shí)根，代入原方程變形為x022ax01( a x0 )i0 ，由復(fù)數(shù)相等的定義，得x022ax010 ，解得 a1 x0a 0【例 22】設(shè)方程 x22x

21、 k0 的根分別為，且22 ，求實(shí)數(shù) k 的值【答案】 k1 或 k3 4 4k 0 且2)2()244 4k (2 2) 2 ，【解析】 若，為實(shí)數(shù)，則(文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解得 k1 若 ，為虛數(shù)，則44k0 且，共軛，2()2()2444k (2 2)2 ，解得 k 3 綜上， k1或 k3 【例 23】用數(shù)學(xué)歸納法證明：(cosisin)ncos()isin(n)，nNn并證明 (cosisin) 1cosisin，從而 (cosisin)ncos(n )isin( n ) 【解析】 n 1時(shí)，結(jié)論顯然成立；若對 nk 時(shí)，有結(jié)論成立，即(cosisin)kcos(k)isin( k ) ，則

22、對 nk 1 ， (cosisink1(cosisin)(cosisink)由歸納假設(shè)知，上式(cosisin)cos(k )isin( k )(coscosksinsin k )icossin( k )sin cos kcos(k1)isin( k1) ，從而知對 nk1 ，命題成立綜上知，對任意 nN ，有n(cosisin)cos(n)isin( n，)n N易直接推導(dǎo)知：(cosisin)(cosisin )(cos()isin()(cosisin)cos0isin 0 1故有 (cosisin1cosisin)(cosisin) n(cosisin) n(cos()isin() nc

23、os( n )isin( n)cos(n)isin( n) 【例 24】若 cosisinnn1n 2an 1 xan0 （ a1 ，a2 ， ，anR ）的解，是方程 xa1xa2 x求證： a1 sina2 sin 2an sin n0 【解析】 將解代入原方程得：(cosisin)na1 (cosisin) n 1an0 ，將此式兩邊同除以(cosisin)n ，則有：1a1 (cosisin) 1a2 (cosisin) 2an (cosisin ) n0，即1a1 (cosisin)a2 (cos2isin2 )an (cos nisin n)0，(1a1 cosa2 cos2an

24、cos n )i( a1 sina2 sin 2an sin n)0 ，由復(fù)數(shù)相等的定義得a1 sina2 sin 2an sin n0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【例 25】設(shè) x 、 y 為實(shí)數(shù)，且xy5，則 x y =_1 i12i13i【答案】 4【解析】 由x1y5知， x (1i )y (12i )5 (1 3i ) ，1i2i1 3i2510即 (5 x2 y5)(5 x4y15)i0 ，故 5x2 y50 ，解得x1 ，故 xy4 5x4 y150y5【例 26】已知z是純虛數(shù)，求z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡z 1【答案】以1 ，為圓心， 1 為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0 ，0) 和點(diǎn) (1，0)

25、022【解析】 法一：設(shè) zxyi （ x ，yR ），則zx yix(x1)y2yi是純虛數(shù)，( x 1)2y2z 1 x 1 yi故 x2y2x 0( y0) ，即 z 的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以1 ，為圓心， 1為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0 ，0) 和點(diǎn) (1，0) 202法二：z是純虛數(shù)，zz0（ z0 且 z1）11z1zzzzz( z 1)0，得到 22z z，1z0 ， z(z 1)zz1設(shè) zxyi （ x，yR ），則 x2y2x （ y0 ） z 的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡以1 ，為圓心，1 為半徑的圓，并去掉點(diǎn)(0 ，0) 和點(diǎn) (1，0) 022【例 27】設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 z2 ，求 z2z4 的最值2zz4 ，則 z2z 4 z2zzz z( z 1 z) 【解析】 由題意， z設(shè) z abi(2 a 2 ， 2 b 2) ，則 z2z 4 2 a bi 1 abi 2 2a 1 當(dāng) a1 時(shí)， z2z4 min0，此時(shí) z115 i ；222文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)當(dāng) a2 時(shí)， z2z4 min10，此時(shí) z 2 【例 28】若 f (z)2zz3i， f (z i )6 3i ，試求 f ( z) 【答案】 6 4i【解析】 f (z)2zz3i， f ( z i)2(zi)( zi)3i2z2izi 3i2zz2i.又知 f ( zi)63i ， 2z