數(shù)模競(jìng)賽中部分幾何物理問(wèn)題解析

1、數(shù)模競(jìng)賽中部分幾何物理問(wèn)題解析數(shù)模競(jìng)賽中部分幾何物理問(wèn)題解析譚勁英譚勁英14/07/181. CUMCM-1995A： 一個(gè)飛行管理問(wèn)題一個(gè)飛行管理問(wèn)題 2. CUMCM-2000D： 空洞探測(cè)空洞探測(cè)3. CUMCM-2010A： 儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定CUMCM-1995A：一個(gè)飛行管理問(wèn)題：一個(gè)飛行管理問(wèn)題 在約在約10000m高空的某邊長(zhǎng)高空的某邊長(zhǎng)160km的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均若干架飛機(jī)作水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架

2、欲進(jìn)入該區(qū)由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)邊界區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并域的飛機(jī)到達(dá)邊界區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與其區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)判斷是否會(huì)與其區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架算如何調(diào)整各架(包括新進(jìn)入的包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行的方向角，以避免碰撞。飛機(jī)飛行的方向角，以避免碰撞?，F(xiàn)假設(shè)條件如下：現(xiàn)假設(shè)條件如下： 1) 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km； 2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)30度；度；

3、3)所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)為所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)為800km； 4)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在離應(yīng)在 60km以上；以上； 5)最多考慮最多考慮6架飛機(jī)；架飛機(jī)； 6)不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的狀況。不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的狀況。 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。列出計(jì)請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過(guò)方向角誤差不超過(guò)0.01度度)，要求，要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量

4、小。 設(shè)該區(qū)域設(shè)該區(qū)域4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄數(shù)據(jù)為：記錄數(shù)據(jù)為： 飛機(jī)編號(hào)飛機(jī)編號(hào) 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)x 縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)y 方向角方向角(度度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新進(jìn)入新進(jìn)入 0 0 52注：方向角指飛行方向與注：方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。軸正向的夾角。初始位置：初始位置： 時(shí)刻時(shí)刻t飛機(jī)的位置：飛機(jī)的位置：兩架飛機(jī)的距離（平方）：兩架飛機(jī)的距離（平方）：兩架飛機(jī)不碰撞的條件兩架飛機(jī)不碰撞的條件222)

5、()()(tjttjtijyyxxtrii ,sin,cos00iitiitivtyyvtxxi 064)()(2 trtfijij（0 t Tij） Ti為第為第i架飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)刻：架飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)刻：不碰撞條件：不碰撞條件：000),(iiiyx iii 0不必考慮在區(qū)域外的碰撞！不必考慮在區(qū)域外的碰撞！兩架飛機(jī)都在區(qū)域中的時(shí)間：兩架飛機(jī)都在區(qū)域中的時(shí)間：),min(jiijTTT 00000000000000000000tan,223tan,23,sin,tan,23tan,2,cos,tan,2tan,20,sin,tan,223tan,20,cosiiiiiiiiiiiiiii

6、iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixDyorxyifvyxyorxyDifvxxyDorxDyDifvyDxDyorxDyDifvxDT 具體來(lái)看，第具體來(lái)看，第i架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的時(shí)間：架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的時(shí)間：飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)刻飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)刻0 i.)(2ijijijijijczbztf 整理：整理： fij(t)的最小值的最小值 (- bij2 / 4 + cij ) ；此時(shí)；此時(shí)其中：其中： .2sin4*jiijijvbt 不碰撞條件的等價(jià)表述不碰撞條件的等價(jià)表述 最后，優(yōu)化模型為最后，優(yōu)化模型為 0*ijt若fij(t) 大于等于肯定成立大于等于肯定成立ijijTt

7、 *若fij(t) 大于等于等價(jià)于大于等于等價(jià)于0)(ijijTfijijTt *0若fij(t) 大于等于等價(jià)于大于等于等價(jià)于0)(*ijtfij, 042ijijcb000),(iiiyxiii0.61iiMin其他目標(biāo)：其他目標(biāo)：調(diào)整后的方向角：調(diào)整后的方向角： 總的調(diào)整量最?。嚎偟恼{(diào)整量最?。?|max6,.,1iiMin最大調(diào)整量最?。鹤畲笳{(diào)整量最?。?初始位置與方向角：初始位置與方向角： 山體隧道壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測(cè)量山體隧道壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測(cè)量來(lái)確定。簡(jiǎn)化問(wèn)題可敘述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩來(lái)確定。簡(jiǎn)化問(wèn)題可敘述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿空

8、氣的空洞。形平板內(nèi)有一些充滿空氣的空洞。 在平板的兩個(gè)鄰邊分別等距地設(shè)置若干波源，在在平板的兩個(gè)鄰邊分別等距地設(shè)置若干波源，在他們的對(duì)邊對(duì)等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波他們的對(duì)邊對(duì)等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個(gè)波源到達(dá)對(duì)邊上每個(gè)接收器的時(shí)間。根據(jù)彈性由每個(gè)波源到達(dá)對(duì)邊上每個(gè)接收器的時(shí)間。根據(jù)彈性波在介質(zhì)和在空氣中不同的傳播速度來(lái)確定板內(nèi)空洞波在介質(zhì)和在空氣中不同的傳播速度來(lái)確定板內(nèi)空洞的位置。的位置。CUMCM-2000D：空洞探測(cè)：空洞探測(cè)具體問(wèn)題：具體問(wèn)題： 一塊一塊 240(米米)240(米米) 的平板的平板ABCD： 在在AB 邊等距地設(shè)置邊等距地設(shè)置 7 個(gè)波源個(gè)波源P

9、i (i=1,7)，在，在 CD 邊等距地設(shè)置邊等距地設(shè)置7個(gè)接收器個(gè)接收器Qj (j=1,7)，記錄由，記錄由 Pi 發(fā)出的彈性波到達(dá)發(fā)出的彈性波到達(dá) Qj 的時(shí)間的時(shí)間 tij(秒秒) ； 在在AD 邊等距地設(shè)置邊等距地設(shè)置 7 個(gè)波源個(gè)波源Ri (i=1,7)，在，在 BC 邊等距地設(shè)置邊等距地設(shè)置7個(gè)接收器個(gè)接收器Sj (j=1,7)，記錄由，記錄由 Ri 發(fā)出的彈性波到達(dá)發(fā)出的彈性波到達(dá) Sj 的時(shí)間的時(shí)間 ij(秒秒)。 已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880(米米/秒秒)和和320(米米/秒秒)，且彈性波沿板邊緣的傳播，且彈性波沿

10、板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。CBADP2Q4R3S6TP=(tij)tij Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7P1 .0611 .0895 .1996 .2032 .4181 .4923 .5646P2 .0989 .0592 .4413 .4318 .4770 .5242 .3805P3 .3052 .4131 .0598 .4153 .4156 .3563 .1919P4 .3221 .4453 .4040 .0738 .1789 .0740 .2122P5 .3490 .4529 .2263 .1917 .0839 .1768 .1810

11、P6 .3807 .3177 .2364 .3064 .2217 .0939 .1031P7 .4311 .3397 .3566 .1954 .0760 .0688 .1042TR=(ij)ij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7R1 .0645 .0602 .0813 .3516 .3867 .4314 .5721R2 .0753 .0700 .2852 .4341 .3491 .4800 .4980R3 .3456 .3205 .0974 .4093 .4240 .4540 .3112R4 .3655 .3289 .4247 .1007 .3249 .2134 .1017R5 .31

12、65 .2509 .3214 .3256 .0904 .1874 .2130R6 .2749 .3891 .5895 .3016 .2058 .0841 .0706R7 .4434 .4919 .3904 .0786 .0709 .0914 .0583要求：要求：(1) 確定該平面內(nèi)空洞的位置。確定該平面內(nèi)空洞的位置。(2) 只根據(jù)只根據(jù)Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj的時(shí)間的時(shí)間tij 能確定能確定空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接收器的方法。的前提下，減少波源和接收器的方法。分析：分析： 彈性波沿平板邊緣的理論傳播

13、時(shí)間：彈性波沿平板邊緣的理論傳播時(shí)間： t=240/2880=0.0833(秒秒) 彈性波沿平板邊緣的實(shí)際傳播時(shí)間：彈性波沿平板邊緣的實(shí)際傳播時(shí)間： t11=.0611, t77=.1042, 11=.0645, 77=.0583 題目中已假設(shè)題目中已假設(shè)“彈性波沿板邊緣的傳播速度與彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同在介質(zhì)中的傳播速度相同”。觀測(cè)數(shù)據(jù)的最大絕對(duì)。觀測(cè)數(shù)據(jù)的最大絕對(duì)誤差為誤差為d=0.025秒。可以認(rèn)為，秒?？梢哉J(rèn)為，0.025*320 = 8 (米）米）以下的空洞是探測(cè)不出的。以下的空洞是探測(cè)不出的。假設(shè)假設(shè)1. 觀測(cè)數(shù)據(jù)有測(cè)量誤差。觀測(cè)數(shù)據(jù)除測(cè)量誤差外是可觀測(cè)數(shù)

14、據(jù)有測(cè)量誤差。觀測(cè)數(shù)據(jù)除測(cè)量誤差外是可靠的?？康?。2. 波在傳播過(guò)程中沿直線單向傳播，且不考慮波的反波在傳播過(guò)程中沿直線單向傳播，且不考慮波的反射、折射以及干涉等現(xiàn)象。射、折射以及干涉等現(xiàn)象。3. 空氣密度和介質(zhì)密度都均勻?？諝饷芏群徒橘|(zhì)密度都均勻。4. “彈性波彈性波”在傳播過(guò)程中沒(méi)有能量損失。其波速僅與在傳播過(guò)程中沒(méi)有能量損失。其波速僅與介質(zhì)有關(guān)，且在同一均勻介質(zhì)中波速不變。彈性波介質(zhì)有關(guān)，且在同一均勻介質(zhì)中波速不變。彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。5. 假設(shè)平板可劃分化為網(wǎng)格，空洞定位于每個(gè)網(wǎng)格單假設(shè)平板可劃分化為網(wǎng)格，空洞定

15、位于每個(gè)網(wǎng)格單元內(nèi)，空洞大小大致相同。元內(nèi)，空洞大小大致相同。波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算 (k,l) ; 521 20,; 71 1 ,40kjikjikjikjikbijkl，且且或或如如果果或或如如果果記波源記波源Pi與接收器與接收器Qj 決定的決定的波線與每個(gè)單元（波線與每個(gè)單元（k，l）的）的交線長(zhǎng)度為交線長(zhǎng)度為bijkl i=j 時(shí)，時(shí)，123456654321PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)左邊緣直線方程左邊緣直線方程 x = 40(k-1)波線與單元波線與單

16、元 (k,l) 左邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的左邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的 y 坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y1ijkl = 240(k-i)/(j-i)， 其中其中 l-1 6(k-i)/(j-i) l (k,l)波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算 PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)右邊緣直線方程右邊緣直線方程 x = 40k波線與單元波線與單元(k,l)右邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的右邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的y坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y2ijkl = 240(k+1-i)/(j-i)， 其中其中 l-1 6(k+1-i)/(j-i) l (k,l)波

17、線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算 PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)下邊緣直線方程下邊緣直線方程 y = 40(l-1)波線與單元波線與單元(k,l)下邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的下邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的y坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y3ijkl = 40(l-1)， 其中其中 0 6(i-k)-(i-j)(l-1) 6 (k,l)波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算 PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)上邊

18、緣直線方程上邊緣直線方程 y = 40l波線與單元波線與單元(k,l)上邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的上邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的y坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y4ijkl = 40l， 其中其中 0 6(i-k)-(i-j)l 6 (k,l)波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算 交線在交線在y軸的投影長(zhǎng)度軸的投影長(zhǎng)度(交點(diǎn)條件最多只有交點(diǎn)條件最多只有2個(gè)成立個(gè)成立)i=j 以外的情況以外的情況dyijkl= max(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl) - min(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)由相似三角形關(guān)系由相似三角形關(guān)系QjABCDPiRiSjPjdyijkl(k,

19、l)bijklEFGbijkl = aij dyijkl / 240 )(624024022jiaiji=j 也成立也成立波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算 由對(duì)稱性，由對(duì)稱性，RiSj與單元與單元(k,l)的交線長(zhǎng)度的交線長(zhǎng)度ci,j,k,l= bj,i,l,7-k波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算 參量、變量：參量、變量：xkl：?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?k,l)是否為空洞是否為空洞(1：是；：是；0：否：否)aij：波源：波源 Pi與接收器與接收器 Qj，或，或 Ri與與Sj 之間的距離之間的距離Pij：經(jīng)過(guò)介質(zhì)的長(zhǎng)度：經(jīng)過(guò)介質(zhì)的長(zhǎng)度, qij經(jīng)過(guò)空氣的長(zhǎng)度經(jīng)過(guò)空氣的長(zhǎng)度t

20、ij (同樣同樣 ij): 傳播時(shí)間觀測(cè)值傳播時(shí)間觀測(cè)值優(yōu)化模型（擬合回歸）優(yōu)化模型（擬合回歸） 71k,lklijklijijijijxbaqap 71k,lklijklijxbq若沒(méi)有誤差：若沒(méi)有誤差：tij =pij /v1+qij/v2271171/vxbvxbatk,lklijklk,lklijklijij 同理：同理：271171/vxcvxcak,lklijklk,lklijklijij 模型：模型：22711712271171/min vxcvxcavxbvxbatk,lklijklk,lklijklijijk,lklijklk,lklijklijij 優(yōu)化模型（擬合回歸）優(yōu)化

21、模型（擬合回歸）計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果空洞空洞X( P2, Q2) 1X( P2, Q3) 1X( P2, Q5) 1X( P3, Q2) 1X( P3, Q3) 1X( P3, Q4) 1X( P4, Q4) 1X( P5, Q3) 1 通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)

22、油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。的變化情況。 許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。CUMCM-2010A：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定 圖圖1 1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及

23、形狀示意圖，其是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。主體為圓柱體，兩端為球冠體。 圖圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖。是其罐體縱向傾斜變位的示意圖。 圖圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。 請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。（1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為體無(wú)變位和傾斜

24、角為 的縱向變位兩種情況做了實(shí)的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。的罐容表標(biāo)定值。4.1（2）對(duì)于圖）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度變位參數(shù)（縱向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 ）之間）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)的

25、一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。附件附件1 1：小橢圓儲(chǔ)油罐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（略）：小橢圓儲(chǔ)油罐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（略）附件附件2 2：實(shí)際儲(chǔ)油罐的檢測(cè)數(shù)據(jù)（略）：實(shí)際儲(chǔ)油罐的檢測(cè)數(shù)據(jù)（略）問(wèn)題分析問(wèn)題分析 該問(wèn)題是來(lái)自于

26、加油站設(shè)備研究生產(chǎn)企業(yè)的一該問(wèn)題是來(lái)自于加油站設(shè)備研究生產(chǎn)企業(yè)的一個(gè)實(shí)際課題，問(wèn)題由兩大部分組成：個(gè)實(shí)際課題，問(wèn)題由兩大部分組成： 第一部分：為了了解罐體變位對(duì)罐容表的影響，第一部分：為了了解罐體變位對(duì)罐容表的影響，對(duì)于小橢圓形儲(chǔ)油罐（實(shí)驗(yàn)罐），在已知變位參數(shù)對(duì)于小橢圓形儲(chǔ)油罐（實(shí)驗(yàn)罐），在已知變位參數(shù)的情況下，檢測(cè)出油位高度與油量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，要的情況下，檢測(cè)出油位高度與油量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，要求建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容求建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表。表。 這一部分屬于這一部分屬于“正問(wèn)題正問(wèn)題”。 具體而言，第一部分有以下幾個(gè)問(wèn)題要完成。具體而言，第一部分有以下幾

27、個(gè)問(wèn)題要完成。 （1）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，要給出它在無(wú)變位情）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，要給出它在無(wú)變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式（模型）。形下油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式（模型）。 （2）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，要給出它在縱向傾斜）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，要給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量計(jì)算的修正模型。變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量計(jì)算的修正模型。 這里需要考慮罐體兩端有油這里需要考慮罐體兩端有油/無(wú)油的不同情況。無(wú)油的不同情況。 （3 3）對(duì)于（對(duì)于（2）得到的實(shí)驗(yàn)罐在縱向傾斜變位情形）得到的實(shí)驗(yàn)罐在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量的模型，將變位參數(shù)下油位高度與儲(chǔ)油量的模型，將變位參數(shù) 代

28、入代入計(jì)算，得出修正后的油位高度間隔為計(jì)算，得出修正后的油位高度間隔為1cm1cm的罐容表標(biāo)定的罐容表標(biāo)定值。并與原標(biāo)定值比較，分析罐體變位的影響。值。并與原標(biāo)定值比較，分析罐體變位的影響。4.1 第二部分：根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，識(shí)別實(shí)際儲(chǔ)油罐罐第二部分：根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，識(shí)別實(shí)際儲(chǔ)油罐罐體是如何變位的，估計(jì)出變位參數(shù)，給出實(shí)際罐罐容表體是如何變位的，估計(jì)出變位參數(shù)，給出實(shí)際罐罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果。并分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性和方的修正標(biāo)定方法和結(jié)果。并分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性和方法的可靠性。法的可靠性。 這一部分屬于這一部分屬于“反問(wèn)題反問(wèn)題”。 （4 4）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲(chǔ)油）對(duì)

29、于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲(chǔ)油量量V與油位高度與油位高度h及縱向傾斜角度及縱向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 之間的關(guān)系模型，即之間的關(guān)系模型，即 的關(guān)系模型。的關(guān)系模型。( , , )VFh 具體而言，第二部分有以下幾個(gè)問(wèn)題要完成。具體而言，第二部分有以下幾個(gè)問(wèn)題要完成。 這一問(wèn)要根據(jù)油位高度分別考慮兩端有油或一端有這一問(wèn)要根據(jù)油位高度分別考慮兩端有油或一端有油的情況，同時(shí)考慮偏轉(zhuǎn)情況，所以，具體的解析表達(dá)油的情況，同時(shí)考慮偏轉(zhuǎn)情況，所以，具體的解析表達(dá)式可能會(huì)比較復(fù)雜。式可能會(huì)比較復(fù)雜。 由于實(shí)際罐內(nèi)油量初值未知，所以，罐內(nèi)對(duì)應(yīng)于某由于實(shí)際罐內(nèi)油量初值未知，所以，罐內(nèi)對(duì)應(yīng)于某

30、一油位高度的儲(chǔ)油量準(zhǔn)確值未知。因此，不能由（一油位高度的儲(chǔ)油量準(zhǔn)確值未知。因此，不能由（4 4）求出的表達(dá)式解出求出的表達(dá)式解出 和和 。 （5 5）根據(jù)附件）根據(jù)附件2 2的檢測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱的檢測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 。 所以，這一問(wèn)要給出估計(jì)參數(shù)所以，這一問(wèn)要給出估計(jì)參數(shù) 和和 的準(zhǔn)則，然的準(zhǔn)則，然后再進(jìn)行估計(jì)。后再進(jìn)行估計(jì)。 （6 6）根據(jù)（）根據(jù)（4 4）得到模型）得到模型 和參數(shù)估和參數(shù)估計(jì)值計(jì)值 和和 ，給出罐體變位后油位高度，給出罐體變位后油位高度h間隔為間隔為10cm10cm的罐容表標(biāo)定值。的罐容表標(biāo)定值。( ,

31、 , )VFh （7 7）利用附件）利用附件2 2的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牡膶?shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性和方法的可靠性。正確性和方法的可靠性。解題思路解題思路 （1 1）對(duì)于）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，給出它在無(wú)變位情形小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，給出它在無(wú)變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式（模型）。下油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式（模型）。xyOhab 利用積分可以計(jì)算出油位高度為利用積分可以計(jì)算出油位高度為h時(shí)實(shí)驗(yàn)罐的截面時(shí)實(shí)驗(yàn)罐的截面面積，于是得到油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式：面積，于是得到油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式：2( )() 2arcsin2ahbV habhbbhhabLbb 其中其中a，

32、b，L分別是實(shí)驗(yàn)罐截面橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸分別是實(shí)驗(yàn)罐截面橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸和罐體長(zhǎng)度，和罐體長(zhǎng)度，h為油位高度。為油位高度。 這個(gè)計(jì)算公式也可以從相關(guān)文獻(xiàn)中查到。這個(gè)計(jì)算公式也可以從相關(guān)文獻(xiàn)中查到。 將實(shí)驗(yàn)罐的實(shí)際參數(shù)代入計(jì)算，容易得到實(shí)驗(yàn)罐無(wú)將實(shí)驗(yàn)罐的實(shí)際參數(shù)代入計(jì)算，容易得到實(shí)驗(yàn)罐無(wú)變位情形的正常罐容表。變位情形的正常罐容表。 （2 2）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，給出它在縱向傾斜變對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量計(jì)算的修正模型。位情形下油位高度與儲(chǔ)油量計(jì)算的修正模型。 油面下降到油面下降到區(qū)時(shí)，油浮顯示油位高度總是區(qū)時(shí)，油浮顯示油位高度總是0 0，不隨實(shí)際油，不

33、隨實(shí)際油量的變化而變化，無(wú)需要考慮油面在量的變化而變化，無(wú)需要考慮油面在I I區(qū)內(nèi)油量的計(jì)算公式。區(qū)內(nèi)油量的計(jì)算公式。 同理，當(dāng)油位高度上升到同理，當(dāng)油位高度上升到區(qū)時(shí)，由于油浮顯示油位高度總區(qū)時(shí)，由于油浮顯示油位高度總是是2 2b，也無(wú)需考慮油面在，也無(wú)需考慮油面在區(qū)內(nèi)的油量計(jì)算公式。區(qū)內(nèi)的油量計(jì)算公式。2b 因而，只需討論油面分別處于因而，只需討論油面分別處于、三個(gè)區(qū)域三個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，儲(chǔ)油量與油位高度、油罐縱向傾角的關(guān)系表達(dá)式。內(nèi)時(shí)，儲(chǔ)油量與油位高度、油罐縱向傾角的關(guān)系表達(dá)式。 當(dāng)油面分別處于當(dāng)油面分別處于、三個(gè)區(qū)域內(nèi)，計(jì)算儲(chǔ)油三個(gè)區(qū)域內(nèi)，計(jì)算儲(chǔ)油量的截面面積沿量的截面面積沿x軸積分，可分別

34、得到當(dāng)軸積分，可分別得到當(dāng)h處于不同高度處于不同高度時(shí)儲(chǔ)油量的計(jì)算公式：時(shí)儲(chǔ)油量的計(jì)算公式： 2tan2222tan222tan2222arcsin,0tantan2( , )arcsin,()tan2tantan2arcsin,0tan2h a lah a lh aL la hLabzaz azadzhLlaabzaVhz azadzLlhalaazaL abz azadzhLla tanl 其中，其中，l為探針到左側(cè)面的距離。為探針到左側(cè)面的距離。 （3 3）將變位參數(shù)將變位參數(shù) 代入上述公式代入上述公式計(jì)算，得出計(jì)算，得出修正后的油位高度間隔為修正后的油位高度間隔為10cm10cm的罐容

35、表標(biāo)定值。的罐容表標(biāo)定值。4.1罐體變位后高度間隔為罐體變位后高度間隔為10cm10cm的罐容表標(biāo)定值的罐容表標(biāo)定值油面高度油面高度油的容量油的容量油面高度油面高度油的容量油的容量油面高度油面高度油的容量油的容量101070.1370.1350501371.881371.8890903072.433072.432020281.86281.8660601798.521798.521001003450.723450.723030595.25595.2570702232.502232.501101103776.643776.644040965.66965.6680802661.422661.4212

36、01204012.754012.75 進(jìn)一步，與正常的標(biāo)定值比較分析可知，實(shí)驗(yàn)罐在縱向傾進(jìn)一步，與正常的標(biāo)定值比較分析可知，實(shí)驗(yàn)罐在縱向傾斜變位情形，實(shí)際油量與原標(biāo)定值的最大誤差在斜變位情形，實(shí)際油量與原標(biāo)定值的最大誤差在257L以上，平以上，平均誤差達(dá)均誤差達(dá)190L以上，平均相對(duì)誤差達(dá)到以上，平均相對(duì)誤差達(dá)到30%以上以上。 （4 4）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲(chǔ)油）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲(chǔ)油量量V與油位高度與油位高度h及縱向傾斜角度及縱向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 之間的關(guān)系模型，即之間的關(guān)系模型，即 。( , , )VFh 由于本問(wèn)較復(fù)雜，需要分情況建立

37、模型，可以先考由于本問(wèn)較復(fù)雜，需要分情況建立模型，可以先考慮只發(fā)生縱向變位的情況。慮只發(fā)生縱向變位的情況。其中其中 球冠球冠的體積表達(dá)式為：的體積表達(dá)式為：其中其中 球冠球冠III的體積表達(dá)式為：的體積表達(dá)式為：其中其中 圓柱體圓柱體II的體積表達(dá)式為：的體積表達(dá)式為： 在不考慮罐體橫向變位的情況下（即在不考慮罐體橫向變位的情況下（即 ），儲(chǔ)油），儲(chǔ)油罐的體積與輔助變量罐的體積與輔助變量 的關(guān)系表達(dá)式為：的關(guān)系表達(dá)式為：01H 在不考慮橫向變位的情況下（即在不考慮橫向變位的情況下（即 ），儲(chǔ)油罐的），儲(chǔ)油罐的油位高油位高 與輔助變量與輔助變量 的關(guān)系表達(dá)式為：的關(guān)系表達(dá)式為：01H11110,

38、0tan,tan,tan2tan2 ,2tan2()tanHmhHmmHrmbrmHrmn縱h縱 根據(jù)以上根據(jù)以上 與與 的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就可以得到罐體內(nèi)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就可以得到罐體內(nèi)油量與油位高油量與油位高 及縱向傾斜角及縱向傾斜角 的關(guān)系表達(dá)式的關(guān)系表達(dá)式1H( ,)Vh縱h縱h縱 進(jìn)一步，考慮罐體在產(chǎn)生縱向變位的基礎(chǔ)上，又產(chǎn)進(jìn)一步，考慮罐體在產(chǎn)生縱向變位的基礎(chǔ)上，又產(chǎn)生了橫向變位，此時(shí)罐體的位置如下圖：生了橫向變位，此時(shí)罐體的位置如下圖： 由于罐體只產(chǎn)生縱向變位時(shí)油位高度由于罐體只產(chǎn)生縱向變位時(shí)油位高度 與儲(chǔ)油量與儲(chǔ)油量 的對(duì)應(yīng)關(guān)系已得到，再根據(jù)上面推導(dǎo)出的的對(duì)應(yīng)關(guān)系已得到，再根據(jù)上面推導(dǎo)出的

39、 與與同時(shí)發(fā)生縱向和橫向變位時(shí)油位高同時(shí)發(fā)生縱向和橫向變位時(shí)油位高h(yuǎn)，就可以求出一般，就可以求出一般情況下，即罐體同時(shí)產(chǎn)生情況下，即罐體同時(shí)產(chǎn)生縱向和縱向和橫向變位的油位高橫向變位的油位高h(yuǎn)與與儲(chǔ)油量?jī)?chǔ)油量V之間的關(guān)系模型之間的關(guān)系模型 。( ,)Vh縱h縱h縱( , , )VFh 未產(chǎn)生橫向變位時(shí)油位高未產(chǎn)生橫向變位時(shí)油位高 與產(chǎn)生橫向變位后油位與產(chǎn)生橫向變位后油位高高h(yuǎn)之間滿足如下關(guān)系：之間滿足如下關(guān)系：h縱0,0(1 cos),(1 cos)(1 cos),cos2 ,(1 cos)2hrrhhrrhrrrhr縱縱縱縱 （5 5）根據(jù)附件）根據(jù)附件2 2的檢測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱的檢

40、測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 。 根據(jù)附件根據(jù)附件2 2數(shù)據(jù)可以得到不同時(shí)刻的出油量數(shù)據(jù)可以得到不同時(shí)刻的出油量 ，同時(shí)可以計(jì)算對(duì)應(yīng)的油位改變量同時(shí)可以計(jì)算對(duì)應(yīng)的油位改變量 。iV1iiihhh 這一問(wèn)就可以歸結(jié)為求解非線性最小二乘問(wèn)題：這一問(wèn)就可以歸結(jié)為求解非線性最小二乘問(wèn)題： 根據(jù)前一問(wèn)的模型表達(dá)式根據(jù)前一問(wèn)的模型表達(dá)式 ，可以得，可以得到理論上儲(chǔ)油量的改變量到理論上儲(chǔ)油量的改變量 。( , , )VFh 1( , ,)( , ,)iiiVFhFh 或或21min ( , )()niiiSVV 21min ( , )niiiiiVVShh 2

41、.1 ,4.3 利用附件利用附件2 2的部分?jǐn)?shù)據(jù)（例如前半部分），借助軟的部分?jǐn)?shù)據(jù)（例如前半部分），借助軟件和各種數(shù)值方法可以估計(jì)出實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角件和各種數(shù)值方法可以估計(jì)出實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。 事實(shí)上，儲(chǔ)油量對(duì)橫向偏轉(zhuǎn)變位角不敏感。如果經(jīng)事實(shí)上，儲(chǔ)油量對(duì)橫向偏轉(zhuǎn)變位角不敏感。如果經(jīng)分析說(shuō)明了這一點(diǎn)，這一問(wèn)也可以直接考慮縱向變位的分析說(shuō)明了這一點(diǎn)，這一問(wèn)也可以直接考慮縱向變位的單參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。單參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。 具體的估計(jì)值依所用的計(jì)算方法不同而有差別，一具體的估計(jì)值依所用的計(jì)算方法不同而有差別，一般地，般地， （6 6）根據(jù)模型）根據(jù)模型 和前一問(wèn)得到的參數(shù)和前一問(wèn)得到的參數(shù)估計(jì)值估計(jì)值 和和 ，就可以給出罐體變位后的罐容表標(biāo)定，就可以給出罐體變位后的罐容表標(biāo)定值。值。( , , )VFh h1020304050607080