萬有引力中的能量

1、普渡教育彭老師工作室WWW .pen 同理在2到3的過程中引力做功在rn-1到rn的過程中引力做功W2 =GMmr2r3W2 =-GMm （丄一丄）n5-1所以在1到rn的過程中引力做功W = M +W2 屮=-GMm （丄丄） r1 rn無限遠rf （引力勢能為零），Ep =W "罟，適用于均勻球體或質(zhì)點間。注意:Z k占心上述方法也是求r1 1=k（-）r12的常用方法（積分）。物理訓(xùn)練課講義時間:訓(xùn)練課老師：李武星內(nèi)容訓(xùn)練目標要求訓(xùn)練內(nèi)容五.人造衛(wèi)星、天體的運動1.引力勢：質(zhì)量為m的物體離地心的距離為 r，設(shè)地球的質(zhì)量為 M，則物體的引力勢能（嚴格上是地球

2、和物體共有的,EG m1m2E p = -G且取無限遠引力勢能為零）Pr證：把物體移到無限遠，弓I力做功等于引力勢能的減小量，只要求出引力的功，可求出引力勢能。把 物體移動過程分為無限段過程，每一過程都為無限小.在ri到2的過程中引力做功W1=_G 罌合=-G 更（2 -） =-GMm （丄-丄）12121 r292.宇宙速度:第一宇宙速度（環(huán)繞速度）2V=m一rV得衛(wèi)星的速度-GM當(dāng)r=R時，衛(wèi)星繞地球表面作圓周運動的速度VifGM=jRg3=7.9x10 m/s.1 2 -mv2 2-G 如 Jmv2-G 如R 2r第二宇宙速度（脫離速度），由機械能守恒: 衛(wèi)星脫離地球的條件是當(dāng) f 時，

3、V邊，得V2至少為，V2T聲刃兩=1侮103m/s.第三宇宙速度（逃逸速度），已知 M日=2>dO30kg,r日地=1.5<1011m.-mv32飛船脫離太陽條件（太陽和飛船組成的系統(tǒng)）：2日地=1 mv2 -G2M日m>0r2GM日v3 =J即脫離地球后相對太陽的速度至少'日地=42.2x103m/s.注意：發(fā)射衛(wèi)星時發(fā)射的方向、地點和時間的選擇？3 地球繞太陽公轉(zhuǎn)的線速度v=2町日地/T=29.8>c10 m/s.3脫離地球時，相對地球的速度v3”=v3'-v=12.4x10 m/s.即在地球上發(fā)射的速度3=?時，才能使脫離地球時相對地球的速度3V3

4、”=12.4X10 m/s。-mv2 G由機械能守恒定律（地球和飛船組成的系統(tǒng)）：2風(fēng)地,2G M 地 m _ 12 因R地 Wmv2，所以 v3 =Jv；+v3“2 =j11.22 +12.42)<103=316.7X10 m/s3.天體運動的軌道與能量從理論上可以證明行星的運動（或衛(wèi)星繞地球的運動）軌道為三種圓錐曲線，即橢圓 雙曲線。它們的運動軌道跟哪些因素有關(guān)呢？（1）.橢圓軌道（包括圓）、拋物線和2 2X-+X-=12 2橢圓方程為a b，長半軸為c =7,-，質(zhì)量為M的太陽在其焦點S（C, 0）處，如圖所示。a、短半軸為 b，半焦距質(zhì)量為m的行星繞太陽做橢圓軌道運動時，L 12

5、 MmE = mv -G2r。設(shè)行星在橢圓軌道頂點時的速率分別為v1和v2，行星繞太陽運動時機械能守恒，即1 2 _ Mm 12_ MmE =mv -G =- mv1 -G 2 2a-c，要求出行星的能量，（即v1用M、G、a、c來表示）。v1可用二種方法求解，另一種是根據(jù)機械能守恒定律和曲線運動向心力公式求得。我們先根據(jù)機械能守恒定律和開普勒第二定律求解。1 2 - Mm 12 -mv1 G = mv2 G2 a -c 2行星和太陽構(gòu)成的引力勢能和動能之和（以下簡稱能量）為:必須先求出行星在橢圓軌道的頂點1處的速率Vi一種是根據(jù)機械能守恒定律和開普勒第二定律求得，根據(jù)機械能守恒定律:Mma+

6、c。根據(jù)開普勒第二定律: v1 (a -c) =V2(a +c)。由上述二式解得:+cv1 =,Ja2 -c2浮v2占呼。則行星做橢圓軌道運動時具有的能量:1 2 Mm1r a+c !'GM )MmMmE = mv1 G= m I JG = G 芝 02 a_c2a 丿ac-2a我們再根據(jù)機械能守恒定律和曲線運動向心力公式求解。1 2 - Mm 12 - Mmmv1 -G = mv2 -G 2 a-C 2a+c。p1 和 R。貝 U2。根據(jù)機械能守恒定律: 設(shè)橢圓頂點1和2的曲率半徑分別為在頂點1，由曲線運動向心力公式:2Vi=m A。在頂點2，由曲線運動向心力公式:MmG (a +c

7、) 2=mP2。由上述四式解得:（根據(jù)橢圓的半焦距2 件=也_ a1nvia +c J GMa c )GMv2 = J0* a。2 2 2c、長半軸a、短半軸b的關(guān)系：c =a -b可得橢圓頂點 1和2的曲率半徑b!a，頂點3和4的曲率半徑2 2a3nb，證略)E =丄 mv2 -G Mm 則行星做橢圓軌道運動時具有的能量：2即行星的能量小于零時，行星做橢圓軌道運動。（2）拋物線軌道"塑0a Y 2a0?S（ 4a ）處，如 V0,質(zhì)量為m的行星繞太陽做拋物線 時機械能守恒定律，行星的能量等于在拋物線軌道頂點時的能量，其E =1mv2 -G Mm =1 mv2 -4a G M m21

8、/4a2。機械能守恒定律和開普勒第二定律求行星在拋物線軌道頂點時的速率 面我們根據(jù)等效類比法先求拋物線頂點的曲率半徑，再根據(jù)曲線運動 出行星在拋物線軌道頂點時的速率_ 2拋物線的方程為y二ax，質(zhì)量為M的太陽在其焦點 行星在拋物線軌道頂點時的速率為05VJf圖所示。設(shè) 軌道運動 能量為：V0。根據(jù)V0比較復(fù)雜。下 向心力公式求 因平拋運動的軌跡為拋物線，如圖所示。設(shè)平拋運動的初速度為V0；則平拋運動的水平位移為x=V0t,豎直高度為4cg21 ,2y =xy =_gty ov"22 ，平拋運動的軌跡為2v0 。比較g 2 y=Tx2v0和2 "六 y =ax，當(dāng) 2v0，或

9、_c *3g =2av0時平拋運_ 2動的軌跡與拋物線yax的軌跡相同。根據(jù)機械能守恒定律，物體在任一點（點P）時的速度大小：v = Jv02+2gy。2C把y MX和g =2avo代入上式得V =v0 Jl +4a2x2在P點物體的法向加速度:V0an =g = V2avo3vo2所以拋物線yax曲率半徑與x關(guān)系:2P=Van3V32av0_(1 +4a2x2)3/2 2a2拋物線yax頂點(x=0)的曲率半徑:a也可直接求頂點的曲率半徑：g_ 1-2aO根據(jù)曲線運動向心力公式，行星在拋物線2y二ax軌道頂點時的速率由:2MmvoG=m Si(1/4a )P ,得到 Vo =j8aGM o行

10、星做拋物線軌道運動時具有的能量： 即行星的能量等于零時，行星做拋物線軌道運動。(3).雙曲線軌道11 E =-mv0 -4aGMm =- m(j8aGM )2 -4aGMm =022o2 2x y 1b"V-TF TF 2 . 2y = X雙曲線的方程為a b，實半軸為a、虛半軸為b，半焦距c=a +b ，漸近線方程為a ，質(zhì)量為M的太陽在其焦點 S (C, 0)處，如圖所示。設(shè)行星在雙曲線軌道頂點時的速率為 太陽做雙曲線軌道運動時機械能守恒定律，行星的能量等于在雙E-lmv2 -G如2Ca o點時的能量，其能量為:遠離太陽時的速率為 V邊_b因rsina =SG，又因oED與心OS

11、G全 飛Vo,質(zhì)量為m的行星繞”舀式話島0)*曲線軌道頂設(shè)行星rsin a =SG =DE =bo根據(jù)開普勒第二定律:v£ sin a=v0 (c -a)o12 - Mm-mvo -G根據(jù)機械能守恒定律：2c-a1 2=一 mvc2o雙曲線的半焦距C、實半軸a、虛半軸b的關(guān)系:C2 =a2 +b2o由上述三式解得行星在雙曲線軌道頂點時的速率:( C +avo =JGM V a (c-a)o得行星做雙曲線軌道運動時具有的能量:c-a 2 艸a(c-a)丿弋c-a2ao即行星的能量大于零時，行星做雙曲線軌道運動。J33 gm以"-V2"1 "02 ' R的速度沿地面發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，不計空氣阻力，求衛(wèi)星的周期。半徑 R=6.4x106m)(答案：1.42咒 104s)宇宙飛船繞地球中心作圓周運動 ，飛船質(zhì)量為m,軌道半徑為2R（R為地 球的半徑，已知地球的質(zhì)量為 M）,現(xiàn)將飛船轉(zhuǎn)移