圖論法用于供水管網(wǎng)水力計(jì)算的研究

1、圖論法用于供水管網(wǎng)水力計(jì)算的研究    摘要：圖論理論是網(wǎng)絡(luò)分析的主要工具，現(xiàn)用于管網(wǎng)的水力平衡計(jì)算 ，既充分發(fā)揮了圖論理論的優(yōu)勢，使計(jì)算變得簡便、迅捷，又可將管網(wǎng)附件加入計(jì)算，使結(jié)果更準(zhǔn)確、更符合實(shí)際。文中采用峰陣輸入管網(wǎng)結(jié)構(gòu)，使輸入數(shù)據(jù)的工作量大大減少，易于編制程序，計(jì)算大型的復(fù)雜管網(wǎng)。  關(guān)鍵詞：供水管網(wǎng) 水力計(jì)算 圖論法  前 言供水管網(wǎng)的水力平衡計(jì)算是供水系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)評價(jià)和運(yùn)管理的基礎(chǔ)。水力平衡計(jì)算的目的就是在確定管徑的情況下求出滿足連續(xù)方程和能量方程的各節(jié)點(diǎn)壓力水頭和各管段流量。

2、目前常用的水力平衡計(jì)算方法有哈代-克羅斯法(Hardy-Cross)，牛頓-萊福遜法(New ton-Raphson)，線性理論法(Linear-Theory)，有限元法(Finite Element)等等。所有這些方法各有所長，適用范圍各不相同，有的還需人工假設(shè)管段流量，使輸入數(shù)據(jù)工作量增大，且未考慮管網(wǎng)附件的影響。本文介紹的圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，用峰陣輸入原始數(shù)據(jù)來描述管網(wǎng)結(jié)構(gòu)，輸入的數(shù)據(jù)量最少，不易出錯(cuò)，易于計(jì)算大型的復(fù)雜管網(wǎng)。其計(jì)算過程可同時(shí)考慮管網(wǎng)附件，如控制閥、加壓泵、逆止閥、減壓閥等，使計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際。1 圖論原理將供水管網(wǎng)中的管段概

3、化成一條線段(即圖中的邊)，將有附件的管段看成圖中的特殊管段，邊與邊由節(jié)點(diǎn)相連。這樣，一個(gè)供水系統(tǒng)的管網(wǎng)圖就轉(zhuǎn)化為圖論中的網(wǎng)絡(luò)圖。而且管道中的水流是有方向的，所以管網(wǎng)圖是有向圖。根據(jù)以上所述原則，可將圖1所示管網(wǎng)系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化為圖2所示的網(wǎng)絡(luò)圖。 圖1圖2圖1中有一水庫A，三個(gè)給水點(diǎn)B、C、D，Q1表示水庫節(jié)點(diǎn)供水量，Q2,Q3,Q4分別表示B、C、D節(jié)點(diǎn)的用水量。管段視為網(wǎng)絡(luò)圖中的對應(yīng)邊，管段的直徑、管長、管道流量、摩損系數(shù)等作為管段對應(yīng)邊的權(quán)。至此，與管網(wǎng)同構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)圖生成了。圖中箭頭表示各條邊的方向，即管段中水流方向。網(wǎng)絡(luò)圖中節(jié)點(diǎn)與邊的關(guān)聯(lián)函數(shù)可以用完全關(guān)聯(lián)矩陣I4×5表示如式(1)

4、所示。           頂點(diǎn)                                 邊的編號(hào)        

5、;                  (1)式中：Iij=  1，表示j管段與i節(jié)點(diǎn)相連，且管內(nèi)水流流離該節(jié)點(diǎn)；             0，表示此管段不與該節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)；             -1，

6、表示j管段與i節(jié)點(diǎn)相連，且管內(nèi)水流流入該節(jié)點(diǎn)。完全關(guān)聯(lián)矩陣與管段流量列向量q以及節(jié)點(diǎn)流量列向量Q可組成管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)方程(即連續(xù)方程)Iij×q+Q=0,q=(q1,q2,q3,q4,q5)T,Q=(Q1,Q2,Q3,Q4)T。網(wǎng)絡(luò)圖的生成樹(全涉及樹)可以有很多種，在計(jì)算時(shí)可以任選一種。在本例中，選1、2、4這3條邊為圖的生成樹，則補(bǔ)樹(余樹)的各邊(弦)為3、5.各弦將與枝構(gòu)成基本回路，一個(gè)基本回路中有且僅有1條弦。用基本回路矩陣Bf表示則如式(2)所示。     枝124弦35Bf=-11010(2)1-1-101式中每一行表示一個(gè)基本回路(環(huán)

7、)。環(huán)的方向以該環(huán)對應(yīng)弦的方向?yàn)闇?zhǔn)?！?1”表示管段中的流向與環(huán)中弦的方向相反，“1”表示相同，“0”表示該管段不在此環(huán)內(nèi)。Bf可用矩陣B和單位陣U表示為式(3)。    Bf=BU,其中B=-110(3)1-1-1環(huán)陣與管段摩損列向量hf構(gòu)成環(huán)方程如式(4)所示。摩損向量的元素順序與Bf中每行元素所對應(yīng)的管段順序相同。    Bf×hf=0。其中hf=(h1,h2,h4,h3,h5)T(4)圖論理論中，連續(xù)方程用割方程代替。每個(gè)割方程只含一根枝，并和相關(guān)的弦構(gòu)成割集，將圖2分割成互不連通的脫離體。這樣，

8、圖中就有3個(gè)割集。割集和割集陣Af如式(5)所示：割集K：      割陣： Af=    枝1 2   4   弦3  5        (5)            K1=(e1,e3,e5)           &

9、#160;      1    0   0   1    -1                    K2=(e2,e3,e5)                

10、  0    1   0   -1   1                     K3=(e4,e5)                    0 &

11、#160;  0   1   0    1         割陣Af中，每一行表示一個(gè)割集。圖中有3根枝，所以就有3個(gè)割集。割陣中，“+1”表示該管段在此割集內(nèi)，且管段流向與此割集內(nèi)的枝中的流向相同，“-1”表示流向相反，“0”表示該管段不在此割集內(nèi)。式(5)的割陣Af和割集K一一對應(yīng)。割陣Af可用一個(gè)矩陣A和一個(gè)單位陣U表示為：    Af=UA,其中A=1-1-1101割陣與流量列向量可構(gòu)成割方程。根據(jù)圖論理論，割陣的行向量與環(huán)陣的行向量正交，這種關(guān)系可用式(6)表示。