因式分解地普通方法(方法完整完整)

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介紹因式分解：因式分解是指將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，換元法等因式分解的一般步驟是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù) 法、試除法、拆項(xiàng)(添項(xiàng))等方法；。注意：將一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解應(yīng)分解到不能再分解為止。、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)、運(yùn)用公式法.

2、在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因2-b2=(a+b)(a -b);2 ±2ab+b2=(a ± b)2； 3+b3=(a+b)(a 2-ab+bj ; 3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).式分解中常用的公式，例如:(1) (a+b)(a-b) = a 2-b2a(2) (a ± b)2 = a 2 ± 2ab+b2a(3) (a+b)(a2-ab+bj =a 3+b3a(4) (a -b)(a 2+ab+b2) = a 3-b3a 卜面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+

3、b+c) 2;(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a, b, c是 ABC的三邊，且a2 b2 c2 ab bc ca,則ABC的形狀是()A.直角三角形B等腰三角形 C等邊三角形 D等腰直角三角形解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca222(a b) (b c) (c a) 0三、分組分解法.(一)分組后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a,后兩項(xiàng)都

4、含有b,因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考 慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)每組之間還有公因式！ =(m n)(a b)例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。解：原式=(2ax 10ay) (5by bx) = 2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b)練習(xí)：分解因式 1、a2 ab ac bc解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第二、三項(xiàng)為一組。原式=(2ax bx) ( 10ay 5by)=x(2a b) 5y(2a b)=(2a b)(x 5y)2、

5、xy x y 1(二)分組后能直接運(yùn)用公式22例3、分解因式：x y ax ay分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因 式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。- 一， ，22、，、解：原式=(xy )(ax ay)=(xy)(xy) a(xy)=(xy)(xy a)例4、分解因式：a2 2ab b2 c2, 一.2 一22解：原式=(a 2ab b ) c22=(a b) c=(a b c)(a b c)練習(xí)：分解因式 3、x2 x 9y2 3y.24、 x2z 2yz綜合練習(xí)：(1) x3 x2y xy2 y3(3) x2 6xy 9y2 16a2 8a 1(

6、5) a4 2a3 a2 92,2 ax bx bx ax a b22(4) a2 6ab 12b 9b2 4a.2.2. 2. 2(6) 4a x 4a y b x b y2222 x2xyxz yz y(8) a 2ab 2b 2ab 1(9) y(y2)(m 1)(m1)(10)(a c)(ac) b(b 2a)(ll)a2(b c) b2(a c) c2(a b) 2abc(12)a3 b3 c3 3abc四、十字相乘法.(一)二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)進(jìn)行分解。特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；(3) 一

7、次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？2例.已知0V a W5,且a為整數(shù)，若2x 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三項(xiàng) 式ax2+bx+c ,都要求 b2 4ac >0而且是一個(gè)完全平方數(shù)。于是 9 8a為完全平方數(shù)，a 1例5、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X 3的分解適合，即 2+3=5。1二 2解：x2 5x 6=x2 (2 3)x 2 31 -3=(x 2)(x 3)1X2+

8、1X3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù) 的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：x2解：原式=x27x 6(1) ( 6)x ( 1)( 6)1)(x 6)1 i -11-6(-1) + (-6) = -7練習(xí)5、分解因式(1) x214x 24 (2) a2 15a236 (3) x 4x 5練習(xí)6、分解因式(1) x22(2) y 2y 152 x 10x 24=(x(二)二次項(xiàng)系數(shù)不為 條件：(1) a a1a2(2)c C1C2(3) b a1c2分解結(jié)果：ax2 bx1的二次三項(xiàng)式 ax2 bx ca1 aC1C2a2C1c = (a1 xc1

9、)(a2x C2)a。 a2C1例7、分解因式：3x2 11x 10分析：1、_-23 -5(-6) + (-5) = -11 解：3x2 11x 10 = (x 2)(3x 5)練習(xí) 7、分解因式：(1) 5x2 7x 6(2)3x2 7x 2練習(xí)9、分解因式：(1) 15x2 7xy 4y22(3) 10x2 17x 32(4) 6y 11y 10(三)二次項(xiàng)系數(shù)為 1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。1 - 8b1 2-16b8b+(-16b)= -8b,2 一一 22_解：a 8ab 128

10、b =a 8b ( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)練習(xí)8、分解因式(1)x2 3xy 2y22222(四)二次項(xiàng)系數(shù)不為1例 9、2x2 7xy1-2y2-3y的齊次多項(xiàng)式6y2(2) m 6mn 8n (3) a ab 6b-22例 10、x y 3xy 2把xy看作一個(gè)整體1-11-2(-1)+(-2)= -3解：原式= (xy 1)(xy 2)2 2(2) a x 6ax 8(-3y)+(-4y尸-7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)綜合練習(xí) 10、(1) 8x6 7x3 1 12x2 1僅y 15y222(3) (x y) 3(x y) 10(4) (a

11、 b) 4a 4b 322222.2(5) x y 5x y 6x(6) m 4mn 4n 3m 6n 2222222 x 4xy 4y2x 4y 3(8) 5(a b)23(a b ) 10(a b)222222(9)4x 4xy 6x 3y y 10 (10)12(x y) 11(x y ) 2(x y)思考：分解因式：abcx2 (a2b2 c2)x abc五、換元法。(1)、換單項(xiàng)式例1分解因式x6+ 14x3y + 49y2.分析：注意到x6= (x3) 2,若把單項(xiàng)式x3換元，設(shè)x3 = m,則x6= m2, 原式變形為m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y) 2=

12、( x3 + 7y)2.(2)、換多項(xiàng)式例 2分解因式(x2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2分析：本題前面的兩個(gè)多項(xiàng)式有相同的部分，我們可以只把相同部分換元，設(shè) x2 +6= m,貝(J x2+4x+6= m+4x , x2+6x+6= m+6x ,原式變形為(m+4x)(m+6x)+x 2= m2 +10mx+24x 2+x2= m2 +10mx+25x 2=(m+5x) 2= ( x2 +6+5x)2=(x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3)2.以上這種換元法，只換了多項(xiàng)式的一部分，所以稱為“局部換元法” 當(dāng)然，我們還可以把前兩個(gè)多項(xiàng)式中的任何一個(gè)全部換元，就

13、成了 “整體換元法”.比如，設(shè)x2+4x+6=m ,則x2+6x+6=m+2x ,原式變形為m(m+2x)+ x 2 = m2+2mx+x 2= (m+x) 2= ( x2+4x+6+x) 2= ( x2+5x+6)2=(x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3)2另外，還可以取前兩個(gè)多項(xiàng)式的平均數(shù)進(jìn)行換元，這種換元的方法被1稱為“均值換元法”，可以借用平方差公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.對(duì)于本例，設(shè)m= 2(x 2+4x+6) + (x 2+6x+6)= x 2+5x+6 ,則 x2+4x+6=m-x , x2+6x+6=m+x ,(m+x)(m-x)+x 2= m2-x2+x2 = m2= (x

14、2+5x+6) 2= (x+2)(x+3) 2 =(x+2) 2 (x+3)2 例 3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：這道題的前面是四個(gè)多項(xiàng)式的乘積，可以把它們分成兩組相乘，使之轉(zhuǎn)化成為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積.無論如何分組，最高項(xiàng)都是x2,常數(shù)項(xiàng)不相等，所以只能設(shè)法使一次項(xiàng)相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分組為(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x 2+x-12),從而轉(zhuǎn)化成例 2 形式加以解決.1我們米用 均值換兀法，設(shè)m= 2 (x2+x-2)+ (x 2+x-12)=x 2+x-7 ,則x2+x-2=m+5

15、, x2+x-2= m-5 ,原式變形為(m+5)(m-5)+24=m 2-25+24=m 2-1=(m+1)(m-1)=( x 2+x-7+1)( x 2+x-7-1) =(x2+x-6)( x 2+x-8)= (x-2)(x+3)( x 2+x-8).(3)、換常數(shù)例 1 分解因式 x2(x+1)-2003 X 2004x.分析：此題若按照一般思路解答，很難奏效.注意到2003、2004兩個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，把其中一個(gè)常數(shù)換元.比如，設(shè)m=2003,則2004=m+1. 于是，原式變形為x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x 2+x-m2-m)=x(x 2

16、 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m) =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例 13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1)設(shè) 2005= a ,則原式=ax2 (a2 1)x a =(ax 1)(x a)= (2005x 1)(x 2005)(2)型女q abcd e的多項(xiàng)式,分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。222原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x設(shè) x2 5x 6 A,則 x2 7x 6 A

17、2x.原式=(A 2x)A x2= A2 2Ax x2=(A x)2 = (x2 6x 6)2練習(xí) 13、分解因式(1) (x2 xy y2)2 4xy(x2 y2)(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90(3) (a2 1)2 (a2 5)2 4(a2 3)2例 14、分解因式（1） 2x4 x3 6x2 x 2觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)一一是關(guān)于£的降的排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少 1, 并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式商于“等距離多項(xiàng)式”。一方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元替一解：原式=x2(2x2 x 6 -工)=x2 2(x2 口) (x 1) 6

18、x xxx設(shè)xt,則x2 3 t2 2 xx.,原式= x22(t2 2) t 6 =x2 2t2 t 102221= x2t 5t 2=x 2x 5 x 2xx2122=x 2x 5xx 2=2x5x 2 x 2x 1xx=(x 1)2(2x 1)(x 2)(2) x4 4x3 x2 4x 141c c 11斛：原式=x (x 4x 12-) = x x 4 x 1x xxx1212 c設(shè)x-y,貝Ux 2y 2xx._. .2 22，原式二 x(y 4y 3)=x(y 1)( y_2/1=x (x x 練習(xí) 14、(1) 6x4 7x3(2) x4 2x3121)(x3)= xx36x2

19、7x 6x2 1 2(x x2)3)x1 x2 3x 1六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例15、分解因式(1) x3 3x2 4解法1拆項(xiàng)。原式=x3 1 3x2 32-=(x 1)( xx 1) 3(x 1)(x2=(x 1)(x2 x 1 3x 3)=(x 1)(x2 4x 4)=(x 1)(x 2)2解法2添項(xiàng)。3- 2.原式=x 3x 4x 4x 4，、，2 一 、，、1)= x(x 3x 4) (4x 4)=x(x 1)( x 4) 4( x 1)=(x 1)(x2 4x 4) =(x 1)(x 2)2 x9 x6 x3 3解：原式=(x9 1) (x6 1) (x3 1)363333=(x

20、1)(xx1) (x 1)(x1) (x 1),3 八，63/3/、=(x1)(xx1 x1 1)26_ 3練習(xí)15、分解因式(1) x3 9x 8(3) x4 7x2 1(5) x4 y4 (x y)4=(x 1)(x x 1)(x 2x 3)4224(2)(x1)(x1)(x 1)422(4)xx2ax1a(6) 2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4 b4 c4七、待定系數(shù)法。例16、分解因式x2 xy 6y2 x 13y 6分析：原式的前3項(xiàng)x2 xy 6y2可以分為(x 3y)(x 2y),則原多項(xiàng)式必定可分為(x 3y m)(x 2y n)解：設(shè) x2 xy 6y2 x 13y

21、6 = (x 3y m)(x 2y n)22. (x 3y m)(x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n 2m)y mn2222x xy 6y x 13y 6 = x xy 6y (m n)x (3n 2m) y mnm n 1對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得3n 2m 13,解得mn 6.原式=(x 3y 2)( x 2y 3)5 y 6能分解因式，并分1和x 2 ,求a b的值。例17、(1)當(dāng)m為何值時(shí)，多項(xiàng)式 x2 y2 mx 解此多項(xiàng)式。32(2)如果x ax bx 8有兩個(gè)因式為x(1)分析:解：設(shè)x2則x2前兩項(xiàng)可以分解為(x y)(x y),故此多項(xiàng)式分解的形式必

22、為(x y a)(x y b)2ymx5y6 = (xya)(x y b)222ymx5 y6 = xy (a b)x (ba) y aba b ma 2 a 2比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得:b a 5 ,解得：b 3或b 3ab 6當(dāng)m 1時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng) m 1 時(shí)，原式=(x y 2)(x y 3);當(dāng) m 1 時(shí)，原式=(x y 2)(x y 3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘,c的一次二項(xiàng)式。1)(x 2)(x c) (3 c)x2 (2 3c)xa 7解得b 14, c 42c因此第三個(gè)因式必為形如 x解：設(shè) x3 ax2 bx 8= (

23、x貝U x3 ax2 bx 8= x3a 3 cb 2 3c2c 81- a b=2126p能分解成兩個(gè)一次因式練習(xí)17、(1)分解因式x23xy10y2x 9y(2)分解因式x23xy2y25x 7y(3)已知：x2 2xy 3y2 6x 14y之積，求常數(shù) p并且分解因式。(4) k為何值時(shí)，x2 2xy ky2 3x 5y 2能分解成兩個(gè)一次 因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的 的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解 因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x 2-4y 2= .24、分解因式：x 4x 4=5 .將xn-yn

24、分解因式的 結(jié)果為(x 2+y2)(x+y)(x-y)，則n的 值22226 .x y 5，xy 64uxy xy =,2x 2y =二、選擇題3 2-22 37、多項(xiàng)式15m n 5m n 20m n的公因式是()2 222A、5mn b 、5m n c、5m n d、5mn8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是(). a 3 a 3 a2 9a2 b2 a b a bA、B 、C、2a 4a 5 a a 4 52m 2m 310 .下列多項(xiàng)式能分解因式的是()(A)x 2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4211 .把(xy) (y x)分解因式為()A. (

25、xy) (xy 1)B. (y x) (xy1)C. (yx) (y x 1)D. (y x) (yx+1)12 .下列各個(gè)分解因式中正確的是()A. 10ab2c+ 6ac2+2ac = 2ac (5b2+3c)B. (ab) 2 (b a) 2= (a b) 2(a b+1)C. x (b+ca) y (ab c) a+bc= (b+c a) (x + y1)D. (a2b) (3a+b) 5 (2ba) 2= (a2b) (11b 2a)13 .若k-12xy+9x 2是一個(gè)完全平方式，那么 k應(yīng)為（）A.2B.4 C.2y 2 D.4y 2三、把下列各式分解因式：14、nx ny15、

26、4m2 9n2322、a 2a b ab18、16x2199(m n)2 16(m n)2.五、解答題 20、如圖，在一塊邊長(zhǎng)a=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個(gè)邊長(zhǎng) b =3.33cm 的正方形。求紙片剩余部分的面積。21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑d 45cm,外徑D 75cm，長(zhǎng)l 3m。利用分解因式計(jì)算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？(22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個(gè)等式。2 x 1 x 1 x 1 x41x21x1 x 1 x81x41x21 x 1x 1 x16 1x8 1 x4 1 x2 1 x 1 x 1(5) 經(jīng)

27、典二：1. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例1.分解因式x5 x4 x3 x2 x 1分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把 x5 x4 x3和 x2 x 1分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把x5 x4,x3 x2, x 1分別看成一組, 此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。解一：原式(x5 x4 x3) (x2 x 1)x3(x2 x 1)(x2x 1)(x3 1)(x2 x 1)22(x 1)(x x 1)(x x 1)解二：原式二(x5 x4)(x3 x2) (x 1)x4 (x 1)x2(x 1) (x 1)(x1)(x4x

28、1)422(x1)(x42x21)x2(x1)(x2x1)(x2x 1)2. 通過變形達(dá)到分解的目的例1.分解因式x33x2 4解一：將3x2拆成2x2 x2 ,則有原式 x3 2x2 (x2 4)2 一一 一x2(x 2) (x 2)(x 2)2(x 2)(x2 x 2)2(x 1)(x 2)2解二：將常數(shù) 4拆成1 3,則有原式 x3 1 (3x23)2(x 1)(x2 x 1) (x 1)(3x 3)2(x 1)(x2 4x 4)2(x 1)(x 2)23. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式(x2 4)(x2 10x 21) 100的值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是

29、完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：(x2 4)(x210x 21) 100(x 2)(x2)(x3)(x7)100(x 2)(x7)(x2)(x3)10022(x2 5x14)(x25x6)100設(shè)y x2 5x ,則原式(y 14)(y 6) 100 y2 8y 16 (y 4)2無論y取何值都有(y 4)2 0(x2 4)(x2 10x 21) 100的值一定是非負(fù)數(shù)4.因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：(a 2b c)3 (a b)3 (b c)3分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b, b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代

30、換的方法。解：設(shè) a+b=A, b+c=B, a+2b+c=A+B原式(A B)3 A3 B3A 3 3A2B 3AB 2 B3 A3 B3223A2B 3AB 23AB (A B)3(a b)(b c)(a 2b c)說明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要 的。中考點(diǎn)撥例 1.在 ABC 中，三邊 a,b,c 滿足 a1 2(x -)(x -)2 2 1xx 1 16b2 c2 6ab I0bc 0求證：a c 2b證明： a2 16b2 c2 6ab I0bc 0 2_22_2_a26ab9 b2c210bc25b20即(a3b)2(c 5b)20(a8bc)(a 2

31、bc)0abca8bc,即 a8bc 0于是有a 2b c 0即 a c 2b說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不 能丟分。例2.已知：x - 2,則x211 c說明：利用x2 (x -)2 2等式化繁為易。xx 4 xx3解：x3 4 (x )(x2 1 ) x xx題型展示1.若x為任意整數(shù)，求證:(7 x)(3 x)(4 x2(a a 1)6272 422(36 6 1)24321849說明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算。)的值不大于 100。解：(7 x)(3 x)(4 x2) 100(x 7)(x 2)(x 3)( x 2) 10022(x2 5x 14)(x

32、2 5x 6) 10022(x2 5x) 8(x2 5x) 1622(x2 5x 4)20_2(7 x)(3 x)(4 x2) 100說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個(gè)多項(xiàng)式的值不大 于100,即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2.將a2 (a 1)2 (a2 a)2分解因式，并用分解結(jié)果計(jì)算62 72 422。解：a2 (a 1)2(a2 a)222 -22a2a2 2a 1 (a2a)22222(a2a) 1 (a2a)2實(shí)戰(zhàn)模擬1 .分解因式：(1) 3x5 10x4 8x3 3x2 10x 82 2(2)(a3a 3)(a3

33、a 1) 52 2(3)x2xy 3y3x 5y 23(4)x 7x 62.已知：x y 6, xy1,求：x3 y3的值。3.矩形的周長(zhǎng)是28cmx兩邊x,y使x3x2y xy2 y3 0 ,求矩形的面積。4. 求證：n3 5n是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5. 已知： a 、 bc 是非零實(shí)數(shù)，且,22b c1,1 11 1a(b c) b(c a)1 1c(- -)3 ,求 a+b+c 的值。a b6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較 a2 b2 c2和4a2b2的大小。經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選一、填空：(30分) 21、若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，則 m的值等于。

34、222、x x m (x n)貝U m =n =3、 2x3y2與12x6y的公因式是 m n22244、右 xy = (x y )(x y )(x y ),貝U m=, n=2 .35 .5、在多項(xiàng)式3y ?5y15y中，可以用平方差公式分解因式的有 ,其結(jié)果是。6、若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，則 m=。7、x2 ()x 2 (x 2)(x )22004200520068、已知 1 x x x x Q 則 x .29、若16(a b) M 25是完全平方式 M=。10、x2 6x _ (x 3)2, x2 9 (x 3)2，.一 22 一、 4 一、. 一.11、右9xky是元

35、全平萬式，則k=。-22_ _12、若x4x4的值為0,則3x12x5的值是。213、右 x ax 15 (x 1)(x 15)則2=。2214、右 x y 4, x y 6 則 xy215、萬程x 4x 0 ,的解是。二、選擇題：(10分)1、多項(xiàng)式 a(a x)(x b) ab(a x)(b x)的公因式是()A、一a、B、a(a x)(x b) C、 a(a x) D、 a(x a)222、若mxkx 9 (2x 3)，則m, k的值分別是()A、m= 2, k=6 , B、m=2 , k=12 , C、m=4, k=-12、D m=4 , k=12、 3、下列名式：x2 y2, x2

36、y2, x2 y2,（ x）2 （ y）2,x4 y4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 個(gè)，B、2 個(gè)，C、3個(gè),D、4 個(gè)1111 ，4、計(jì)算（1 R（1 -3） （1滔）（1存）的值是（） 23910A、1-1 rB、, C.一, D.20101120、分解因式：（30分）4321、x 2x 35x2 、 3x6 3x23 、25(x 2y)2 4(2y x)2224、x 4xy 1 4y55、x x6、x3 1227、axbxbxax b a_4一 2一8、x18x81429、9x 36y10、(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24四、代數(shù)式求值（15分）已知 2x y

37、1，xy2 ,求 2x4y3 x3y4 的值。4 ,求x、y的值2、若x、y互為相反數(shù)，且（x 2）2 （y 1）22 .2.2 一. 2 . 23、已知a b 2,求(a b )8(ab )的值五、計(jì)算： (15)，、3 ，(1) 0.75 3.66 2.66420012000(2)(3) 2 562 8 56 22 2 442六、試說明：（8分）22 .1、對(duì)于任意自然數(shù) n, （n 7） （n 5）都能被動(dòng)24整除。2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計(jì)算（8分）1、一種光盤的外 D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7

38、厘米，求光盤的面積。（結(jié)果 保留兩位有效數(shù)字）2、正方形1的周長(zhǎng)比正方形 2的周長(zhǎng)長(zhǎng)96厘米，其面積相差 960平方厘 米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。八、老師給了一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)分別對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn) 行了描述：甲：這是一個(gè)三次四項(xiàng)式乙：三次項(xiàng)系數(shù)為 1,常數(shù)項(xiàng)為1。丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法若這四個(gè)同學(xué)描述都正確請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的多項(xiàng)式，并將它分解因式。（4分）經(jīng)典四:一、 選擇題1、代數(shù)式 a3b2- -a2b3,2A、a3b2 B、a2b2因式分解1 a3b4+ a4b3,a 4b2 a2b4 的公因式是(2C、a2b3D、a3b

39、32、用提提公因式法分解因式 5a(xy) 10b (x y),提出的公 因式應(yīng)當(dāng)為()A、5a-10b B、5a+10bC、5(x-y) D、y-x3、把一8吊+12m+ 4m分解因式，結(jié)果是()A、 4m(2m2 3m)B、4m(2m2+ 3m- 1)C、-4m(2m2-3m- 1)D、- 2m(4m2 6m+ 2)4、把多項(xiàng)式一2x4 4x2分解因式，其結(jié)果是()A、2(x4 2x2)B、一2(x4+ 2x2)G -x2(2x2+ 4) D、一2x2(x2+2)5、A(- 2) 1998+ ( 2) 1999 年一 21998B 2e98Q1999一 2199912f1212-12A、(

40、2x12)2B、2(x-2)2C、(x1)2 D、3 (x-1)2、(4+x2)( 4 x2)、(2+x)3(2x)6、把16 x4分解因式，其結(jié)果是A (2 -x)4BC、(4 +x2)(2 +x)(2 -x) D7、把a(bǔ)4-2a2b2+b4分解因式，結(jié)果是()A a2(a2-2b2)+ b4 B、(a2- b2)2C 、(a - b)4 D 、(a +b) 2(a b)28、把多項(xiàng)式2x2- 2x+分解因式，其結(jié)果是()29、若9a2+ 6(k 3)a + 1是完全平方式，則 k的值是()A、±4 B、±2C、3 D、4或 210、一(2x y) (2x + y)是下列

41、哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果 ()A、4x2 y2 B 、4x2+ y2 C 、一4x2 y2 D 、一 4x2 + y2 11、多項(xiàng)式x2+ 3x 54分解因式為(A (x+6)(x -9)B、(x6)(x +9)C、(x+6)(x +9)D、 (x 6)(x -9)二、填空題1、2x2 4xy-2x =(x -2y- 1)2、4a3b2 10a2b3 = 2a2b2()3、(1 a)mn+ a 1=()(mn 1)4、m(m- n)2(n m)2 =()()2_ 225、x -() + 16y=()6、x2 () 2=(x + 5y)( x 5y)7、a2 - 4(a - b) 2=() ()

42、8、 a(x + y z) + b(x + y z) c(x + y z尸 (x + y z) - ()2 29、16(x y) - 9(x+ y) =() ()310、(a+b) (a + b)=(a +b) () ()2- 一11、x +3x + 2=()()12、已知 x2+ px+12=(x2)(x -6),貝U p=.三、解答題326y + 3y1、把下列各式因式分解。(1)x22x3(2)3y(3)a 2(x -2a)2- a(x - 2a)2(4)(x-2)2- x+2 1997219971996 1998(5)25m2 10mrH- n2 x)(6)12a2b(x y) 4ab

43、(y (x 1)2(3x 2) + (23x)(8)a2_一+ 5a+ 6(9)x 2-11x+24(10)y2 12y-282(11)x 2 + 4x 5(12)y4 - 3y3 - 28y22、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。(1) 9992 + 999(2)2022 542+256 X 3523、已知：x + y=1,xy=1.求 x3y + 2x2y2+ xy3 的值。 2四、探究創(chuàng)新樂園1、若 a b=2,a c=-,求(b c) 2+ 3(b - c) + -的值。242、求證：1111 1110 119=119X109五、證明（求值）1 .已知 a+b=0,求 a3 2b3 + a2b 2ab2

44、 的值.2 .求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1, 一定是一個(gè)完全平 方數(shù).3 .證明：(ac bd)2+(bc+ad)2=(a2 + b2)(c 2+d2).4 .已知 a=k+ 3, b=2k+2, c=3k 1,求 a2+b2 + c2+2ab 2bc-2ac 的值.5 .若 x2+ m奸n=(x3)(x +4),求(m+ n)2的值.6 .當(dāng)a為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+7xy + ay2 5x+43y24可以 分解為兩個(gè)一次因式的乘積.22 ,7 .右x, y為任息有理數(shù)，比較 6xy與x + 9y的大小.8 .兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是 4的倍數(shù).經(jīng)典五:因式分解分類練習(xí)題因式分解一提公因式法

45、1、下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是（）222222A. x y B. x 2x c. x y D. x xy y.232、在把a(bǔ) x ay a xy分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）.2A. aB. aC. axd. ay3、下列變形是因式分解的是（）2x 3 (x 1)2 22xy 1 (xy 1)( xy 1)a3b4a4b3的公因式項(xiàng)式則 代 數(shù) 式_ O,34 x z x y ；(4)A. 3x2y xy yC.n 2 n 1 nD. x x x x. 一 一 3. 24 、 多項(xiàng)式a b5 、(x y z)(x y z)6 、 已 知a(a b c) b(a b7、用提公因式法將下列 ax ay ;y(3x2 x) B. x2 2x yn(x2 x 1) a2b3, a4b2 a2b4,多(y z x)(z x y)=a 2 b c ,c) c(a b c) 式因式分解：)6xyz 3xz2 ；36aby 12abx 6ab ;(6)m)3x(a b) 2y(b a)x(m x)(m y) m(x m)( y8、若 7a 8b 5,求(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(8b 7a)的值。9、利用因式分解計(jì)算：(1)31 X 3.14+27 X