基本不等式學習知識梳理

1、基本不等式【考綱要求】1 .了解基本不等式 Tab a-b的證明過程，理解基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號 "方2取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；2 .會用基本不等式 Tab a-b解決最大（?。┲祮栴}.23 .會應用基本不等式求某些函數的最值；能夠解決一些簡單的實際問題【知識網絡】【考點梳理】考點一：重要不等式及幾何意義1 .重要不等式：如果a,b R,那么a2 b2 2ab （當且僅當a b時取等號“="）.2 .基本不等式：如果a,b是正數，那么ab Tab （當且僅當a b時取等號“="）.2要點詮釋：a2 b2 2ab和a一-Vab兩者的

2、異同：2（1）成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數，而后者要求 a,b都是正數;(2)取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當a b時取等號”。22,、22_ 、一a b a b 、一a b 2(3) a b 2ab可以變形為： ab , JOb可以變形為： ab ().2223.如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC a,BC b ,過點C作DC AB交圓于點D,連接AD、BD.易證 Rt ACD Rt DCB ,那么 CD2 CA CB ,即 CD Tab.這個圓的半徑為ab,它大于或等于CD,即ab Jab,其中當且僅當點 C與圓心重合，即a b 22時，等號成

3、立.a b要點詮釋：1.在數學中，我們稱為a,b的算術平均數，稱Jab為a,b的幾何平均數.因此基本不2等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數,一.a b 一2.如果把a看作是正數a,b的等差中項，5ab看作是正數a,b的等比中項，那么基本不等式可以2敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項考點二：基本不等式疝b的證明21 .幾何面積法如圖，在正方形ABCD中有四個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a、b,那么正方形的邊長為 Ja2 b2。這樣,4個直角三角形22的面積的和是2ab,正萬形ABCD的面積為a b。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以

4、：a2 b2 2ab。當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a b時，正方形EFGH縮為一個點，這時,2,2有 a b 2ab。得到結論：如果a,b R+,那么a2 b2 2ab （當且僅當a b時取等號“二”）特別的，如果a 0, b 0,我們用 幾、Jb分別代替a、b,可得：如果a 0, b 0,則a b 2。而，（當且僅當a b時取等號“="）.通常我們把上式寫作：如果 a 0, b 0jab a-b ,（當且僅當a b時取等號“=”）22.代數法22_2. a b 2ab （a b） 0,2_當 a b 時，（a b） 0；. 一 .2當 a b 時，（a b） 0 .22所以（

5、a b ） 2ab,（當且僅當a b時取等號“="）.特別的，如果a 0, b 0,我們用、而分別代替a、b,可得：如果a 0, b 0,則a b 2保，（當且僅當a b時取等號“二"）.通常我們把上式寫作：如果a 0, b 0,病 ab ,（當且僅當a b時取等號“="）.2a b要點三、用基本不等式 Jab 求最大（小）值2在用基本不等式求函數的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等。一正：函數的解析式中，各項均為正數；二定：函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值；三取等：函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值。要點四、幾個常見的不等式 2

6、21） a b 2ab a,b R ,當且僅當a=b時取“二”號。2） - aab a,b R ,當且僅當a=b時取"="號。 2、a b13） 2 a b 0 ；特力1J地：a 2 a 0 ；b aa、a2 b24)、-2aba,b R5) a4 a,b【典型例題】類型一:基本不等式b .-的理解2例1. a 0, b 0,給出下列推導，其中正確的有（填序號）1（1） a b:的最小值為2亞； .ab,、11 ，（2） （a b）（一石）的最小值為4；1（3） a 的最小值為 2.a 4【解析】（1） ; （2）(1) a0, b 0, - a b< 2dab/一

7、ab、. ab2近（當且僅當a b及時取等號）.20, b0, .(a1b)( 一ab) 2ab W4 （當且僅當a b時取等號）(3) at 4 2(a 4)1 4 a 4a 42,3時取等號），1 rr(當且僅當a 4 即a 4 1, aa 4一，八什 r1a 0,與a 3矛盾，上式不能取等號，即 a 2a 4【總結升華】在用基本不等式求函數的最值時，必須同時具備三個條件：一正二定三取等，缺一不可舉一反三:【變式1】給出下面四個推導過程: x,y R , . lgx lg y 2Jlg x 1g y ；2, ( x)( y) 2.y xA.B.C.D.【解析】a,b R ,R ,符合基本不

8、等式的條件，故推導正確.x, y R , xy 0,-(-)(-)y x y x其中正確的推導為()雖然x,y R，但當x (0,1)或y (0,1)時，lgx,lg y是負數，的推導是錯誤的4八4由a R,不符合基本不等式白條件， 一a 2卜 a 4是錯誤的 aa由xy 0,得丫，3均為負數，但在推導過程中，將整體 x yx y , ,xy、工提出負號后，(一)(工)均變y xyx為正數，符合基本不等式的條件，故正確.選D.【變式2】下列命題正確的是()-1 ，A.函數y x 一的最小值為2.C.函數y 2 3x 4(x 0)最大值為2 4M xB.函數y x=的最小值為2x2 2一4，一，

9、D.函數 y 2 3x -(x 0)的最小值為2x1-【解析】A選項中，.x 0,，當x 0,時由基本不等式x - 2； x，c ,1-，當x 0時x 2 .，選項A錯誤.xx2 3 x2 2 1 _1B 選項中,y j- Jx2 -/的取小值為 2x2 2x2 2x2 2(當且僅當Jx2 2 1時，成立)但是Jx2 2 2, .這是不可能的.，選項B錯誤.4 _4C 選項中，.x 0, - y 2 3x - 2 (3x -) 2 4V3 ,故選項 C 正確。xx類型二：利用基本不等式 Tab ab求最值一 .20,則aaba(a1，一的最小值是b）A. 1B.C. 3D.【解析】aba(a

10、b)abababa(a b)a(ab)a(ab)(ababa(ab)當且僅當1 a(ab)即a【解析】因為abf(x)ab0,求 f (x)0,所以x9(4x _)x、, 2, b-2時取等號24x 9的最大值. x0,由基本不等式得：(4x) ( x) 2, ( 4x)(9) x2.36 12,，9 r（當且僅當 4x 一即x.3故當x 一時，f (x) 4x23時，取等號）29取得最大值12.x【變式2】已知x 0,求f （x） 204x的最大值.x【解析】x 0, ( x)2( x) 4x4 （當且僅當，即x 2時，等號成立）f(x)2044( x) x20 44 （當且僅當4八，一，一

11、,即x 2時，等號成立）x故當x2時，f（x）的最大值為4.例3.已知a>0,1b > 0, a+ b = 2 ,則 y= 一 a的最小值是7A. 2B. 4C.D. 50,b0,答案選C【變式1】【解析】一.10,1 14、，()(a2 ab0,y 0,且 2 x0,282x y1b) 2(52(5 21,求xy的最小值.xy，2（當且僅當一 x4, y 16時，等號成立） xy64 （當且僅當x4,y 16時，等號成立）故當x4, y 16時,xy的最小值為64.【變式2】已知x>0 , y>0,且9 1,求 x+y y的最小值。-19,【解析】 一 一 1 , -

12、 x yx y(x 19v) 一 一y 9x10 -（當且僅當時，取等號）八 八 y 9x. x>0 , y> 0, . . x y9x,即y=3x y.x=4 , y=12y=12 時，x+y取最小值16。類型三：基本不等式應用例4.設x, yR ,xy 1，求證:11(x -)(y -)254【證明】2542xy25 dxy 14257xy33Txyxy8 xyQ xy成立【變式1】【例5】若a(2)求證:xy已知8 xy(當且僅當(2015 春3,求證: a東城區(qū)期末(a3)已知a2/3(a 3)a5，等號成立)0,b 0,c 0,1，1的值為 c2.4 31.(1)由題意可

13、得(2)由題意和基本不等式可得1 _一帶入計算可得32Vab 0, a c0, b2.bc 01/1/1 , abc,abc,abc-1-1-111a b cabcb c a c a b 2 bc 2 , ac 2、, ab8a b c a b c舉一反三:【變式】(2015 石家莊一模)已知函數f Xjx 1 |x 3|m的定義域為r.(1)求實數m的取值范圍 (2)若m的最大值為n ,當正數a、b滿足 一2 1 n時，求7a+4 b的最小值.3a b a 2b【解析】(1)因為函數的定義域為 R,x1x3m0恒成立設函數g x x 1 x3則m不大于g x的最小值Q x1x3x1 x 34

14、即gx的最小值為4, m 4(2)由(1)知 n=42 1 43ab a 2b1 217a 4b 6a 2b a 2b 4 3a 2b a 2b1 二 2 3a 2b 2 a 2b 1 二。3a 2b a 2b 955 2 2,4 a 2b 3a b 4，a 2b 3ab 4當且僅當a 2b 3a b時，即b2a時取等號r97a 4b的最小值為一4類型四：基本不等式在實際問題中的應用例6.某農場有廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12m,現準備在該地區(qū)重新建立一座豬圈， 平面圖為矩形, 面積為112m2,預計(1)修復1m舊墻的費用是建造1m新墻費用的25% , (2)拆去1m舊墻用以改造建 成1m新

15、墻的費用是建1m新墻的50%, (3)為安裝圈門，要在圍墻的適當處留出 1m的空缺。試問：這里 建造豬圈的圍墻應怎樣利用舊墻，才能使所需的總費用最小？【解析】顯然，使舊墻全部得到利用，并把圈門留在新墻處為好。設修復成新墻的舊墻為 xm，則拆改成新墻的舊墻為 （12 x）m,112224于是還需要建造新墻的長為2 （x 1） （12 x） 2x 13.xx設建造1m新墻需用a元，建造圍墻的總造價為y元，,224貝U y x a 25% （12 x）a 50% （2x 13）axa（7x 當 7） a（28、2 7） 4 x“ 7x 224 r-,（當且僅當 即x 842時，等號成立）4 x故拆除改造舊墻約為1